一、單選題
1．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，若，，則扇形(陰影部分)的面積是( )

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓周角定理求得，然后根據(jù)扇形面積公式進行計算即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴．
故選：B.
【點睛】本題考查了圓周角定理，扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形內(nèi)接于，分別以為直徑向外作半圓．若，則陰影部分的面積是（ ）

A．B．C．D．20
【答案】D
【分析】根據(jù)陰影部分面積為2個直徑分別為的半圓的面積加上矩形的面積減去直徑為矩形對角線長的圓的面積即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，

∵矩形內(nèi)接于，
∴
∴陰影部分的面積是
，
故選：D．
【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎ?，點是這段弧所在圓的圓心，為上一點，于．若，，則的長為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)垂徑定理求出長度，再根據(jù)勾股定理求出半徑長度，最后利用弧長公式即可求出答案.
【詳解】解： ，點是這段弧所在圓的圓心，
，，
，，
，
.
，，
.
設(shè)，則，
在中，，
，
.
，
，
.
故選：B.
【點睛】本題考查了圓的垂徑定理，弧長公式，解題的關(guān)鍵在于通過勾股定理求出半徑長度，從而求出所求弧長所對應(yīng)的圓心角度數(shù).
4．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為的三個等圓構(gòu)成，且三個等圓相互經(jīng)過彼此的圓心，則圖中三個陰影部分的面積之和為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓的對稱性可知：圖中三個陰影部分的面積相等，只要計算出一個陰影部分的面積即可，如圖，連接，陰影的面積＝扇形的面積，據(jù)此即可解答.
【詳解】解：根據(jù)圓的對稱性可知：圖中三個陰影部分的面積相等；
如圖，連接，則，是等邊三角形，
∴，弓形的面積相等，
∴陰影的面積＝扇形的面積，
∴圖中三個陰影部分的面積之和；
故選：C.

【點睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計算，正確添加輔助線、掌握求解的方法是解題關(guān)鍵.
5．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是邊長為的正方形，曲線是由多段的圓心角的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為的圓心依次為循環(huán)，則的長是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】曲線是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑，得到，，得出半徑，再計算弧長即可．
【詳解】解：由圖可知，曲線是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑，
，，，，
，，，，
，
，，
故的半徑為，
的弧長．
故選：A.
【點睛】此題主要考查了弧長的計算，弧長的計算公式：，找到每段弧的半徑變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
6．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰直角中，，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用扇形的面積公式求出扇形和扇形的面積，再減去的面積即可得．
【詳解】解：是等腰直角三角形，
，
，
∴圖中陰影部分的面積是
，
故選：C．
【點睛】本題考查了扇形的面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．
7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，，連接，過點作，交的延長線于點．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如圖，過作于，證明，由，即，可得，證明，可得，設(shè)，則，可得，，再利用正切的定義可得答案．
【詳解】解：如圖，過作于，

∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故選：A.
【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
二、填空題
8．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，E為的中點，連接，以E為圓心，長為半徑畫弧，分別與交于點M，N，則圖中陰影部分的面積為________．（結(jié)果保留）

【答案】
【分析】利用矩形的性質(zhì)求得，進而可得，然后根據(jù)解答即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，E為的中點，
∴，，
∴，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和不規(guī)則面積的計算，熟練掌握矩形的性質(zhì)、明確陰影面積為兩個全等的等腰直角三角形的面積減去兩個圓心角為的扇形面積是解題關(guān)鍵．
9．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，的半徑為，為的弦，點為上的一點，將沿弦翻折，使點與圓心重合，則陰影部分的面積為_______．（結(jié)果保留與根號）

【答案】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出是等邊三角形，則，，根據(jù)陰影部分面積即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于點

∵將沿弦翻折，使點與圓心重合，
∴，
又
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴,
∴陰影部分面積
故答案為：．
10．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為___________．（結(jié)果保留）

【答案】
【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及勾股定理得到，再根據(jù)圓的面積及矩形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：連接，
∵四邊形是矩形，
∴是的直徑，
∵，
∴，
∴的半徑為，
∴的面積為，矩形的面積為，
∴陰影部分的面積為；
故答案為：.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）用半徑為，面積為的扇形紙片，圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑為________．
【答案】
【分析】應(yīng)為圓錐側(cè)面母線的長就是側(cè)面展開扇形的半徑，利用圓錐側(cè)面面積公式：，就可以求出圓錐的底面圓的半徑．
【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為，，
由扇形的面積：，
得：
故答案為：.
【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面面積的相關(guān)計算，熟練掌握圓錐側(cè)面面積的計算公式是解題的關(guān)鍵，注意用扇形圍成的圓錐，扇形的半徑就是圓錐的母線．
12．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）若扇形的圓心角為，半徑為，則它的弧長為___________．
【答案】
【分析】根據(jù)弧長公式即可求解．
【詳解】解：扇形的圓心角為，半徑為，
∴它的弧長為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了求弧長，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長為，則煙囪帽的側(cè)面積為_____________．（結(jié)果保留）

【答案】
【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，由扇形面積公式代值求解即可得到答案．
【詳解】解：圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長為，
煙囪帽的側(cè)面積（），
故答案為：．
【點睛】本題考查圓錐側(cè)面展開圖及扇形面積公式，熟記扇形面積公式是解決問題的關(guān)鍵．
14．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等邊三角形內(nèi)接于圓，且頂點A，B均在格點上．

（1）線段的長為________；
（2）若點D在圓上，與相交于點P．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點Q，使為等邊三角形，并簡要說明點Q的位置是如何找到的（不要求證明）________．
【答案】(1)
(2)畫圖見解析；如圖，取與網(wǎng)格線的交點E，F(xiàn)，連接并延長與網(wǎng)格線相交于點G；連接與網(wǎng)格線相交于點H，連接并延長與網(wǎng)格線相交于點I，連接并延長與圓相交于點K，連接并延長與的延長線相交于點Q，則點Q即為所求
【分析】（1）在網(wǎng)格中用勾股定理求解即可；
（2）取與網(wǎng)格線的交點E，F(xiàn)，連接并延長與網(wǎng)格線相交于點M，連接；連接與網(wǎng)格線相交于點G，連接并延長與網(wǎng)格線相交于點H，連接并延長與圓相交于點I，連接并延長與的延長線相交于點Q，則點Q即為所求，連接，，過點E作網(wǎng)格線，過點G作網(wǎng)格線，由圖可得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得和，根據(jù)同弧所對圓周角相等可得，進而得到和，再通過證明即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：；
故答案為：．
（2）解：如圖，取與網(wǎng)格線的交點E，F(xiàn)，連接并延長與網(wǎng)格線相交于點G；連接與網(wǎng)格線相交于點H，連接并延長與網(wǎng)格線相交于點I，連接并延長與圓相交于點K，連接并延長與的延長線相交于點Q，則點Q即為所求；
連接，，過點E作網(wǎng)格線，過點G作網(wǎng)格線，

由圖可得：∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，即，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，此時點Q即為所求；
故答案為：如圖，取與網(wǎng)格線的交點E，F(xiàn)，連接并延長與網(wǎng)格線相交于點G；連接與網(wǎng)格線相交于點H，連接并延長與網(wǎng)格線相交于點I，連接并延長與圓相交于點K，連接并延長與的延長線相交于點Q，則點Q即為所求．
【點睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，勾股定理、等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵．
15．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，垂足為．以點為圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點．若用扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為，則________________．（結(jié)果保留根號）

【答案】
【分析】由，，，，，，，，求解，，證明，可得，再分別計算圓錐的底面半徑即可．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
故答案為：
【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，扇形的弧長的計算，圓錐的底面半徑的計算，熟記圓錐的側(cè)面展開圖的扇形弧長等于底面圓的周長是解本題的關(guān)鍵．
16．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，小珍同學(xué)用半徑為，圓心角為的扇形紙片，制作一個底面半徑為的圓錐側(cè)面，則圓錐上粘貼部分的面積是________．

【答案】
【分析】由題意知，底面半徑為的圓錐的底面周長為，扇形弧長為，則扇形中未組成圓錐底面的弧長，根據(jù)圓錐上粘貼部分的面積為扇形中未組成圓錐的弧長部分所對應(yīng)的扇形面積可得圓錐上粘貼部分的面積為，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，底面半徑為的圓錐的底面周長為，扇形弧長為，
∴扇形中未組成圓錐底面的弧長，
∵圓錐上粘貼部分的面積為扇形中未組成圓錐的弧長部分所對應(yīng)的扇形面積，
∴圓錐上粘貼部分的面積為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了扇形的弧長、面積公式．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握，，其中為扇形的圓心角，為扇形的半徑．
三、解答題
17．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，與相切于點A，半徑，與相交于點D，連接．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，再由平行線的性質(zhì)得出，利用圓周角定理及等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）過點A作，過點C作的延長線于點F，根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)得出，再由正切函數(shù)確定，，再由正方形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∵與相切于點A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）過點A作，過點C作交的延長線于點F，如圖所示：

由（1）得，
∴為等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，，
由（1）得，
∵，
∴四邊形為矩形，
∵，
∴四邊形為正方形，
∴，
∵，
∴,
∴即，
解得：，
∴．
【點睛】題目主要考查圓周角定理，解直角三角形及正方形與相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．
18．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的邊為直徑作，交邊于點D，過點C作交于點E，連接．

(1)求證：；
(2)若，求和的長．
【答案】(1)見解析
(2)，
【分析】（1）根據(jù)，得到，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得到，可證明是等腰三角形，即可解答；
（2）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程，解得x的值，即可求出；解法一：過點作的垂線段，交的延長線于點F，證明，求出的長，根據(jù)勾股定理即可解出的長；解法二：連接,得到角相等，進而證得，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可解出的長．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，
；
（2）解：設(shè)，
是的直徑，
，
，
，即，
根據(jù)（1）中的結(jié)論，可得，
根據(jù)勾股定理，可得，即，
解得，（舍去），
，,
根據(jù)勾股定理，可得；
解法一：如圖，過點作的垂線段，交的延長線于點F，

，
，
，
，即，
，，，
，
，
，
設(shè)，則，
，
可得方程，解得，
，，
根據(jù)勾股定理，可得．
解法二：如圖，連接,

，，
，
，
又，，，
，
．
【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，正切，利用等量代換證明相關(guān)角相等是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是弦，是上一點，是延長線上一點，連接．

(1)求證：；（請用兩種證法解答）
(2)若，的半徑為3，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)8
【分析】（1）證法一：連接，得到，因為，所以；證法二：連接，可得，則，根據(jù)，可得，即可得到結(jié)果；
（2）連接，根據(jù)角度間的關(guān)系可以證得為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得邊的長，進而求得結(jié)果．
【詳解】（1）證法一：如圖，連接，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，

證法二：如圖，連接，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，

（2）解：如圖，連接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵的半徑為3，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，

【點睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角為直角，勾股定理，找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，為的直徑，點為上一點，為的平分線交于點，連接交于點．

(1)求的度數(shù)；
(2)如圖2，過點作的切線交延長線于點，過點作交于點．若，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理證明兩直線平行，再利用平行線的性質(zhì)證明角度相等即可；
（2）由勾股定理找到邊的關(guān)系，求出線段長，再利用等面積法求解即可．
【詳解】（1）∵是的直徑，
∴，
∵平分，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）如圖，連接，設(shè)，

則，，，
∵是的直徑，
∴，
在中，有勾股定理得：
由（1）得：，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∵是的切線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】此題考查了圓周角定理和勾股定理，三角形中位線定理，切線的性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握圓周角定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在邊長為的正方形中，點在邊上（不與點，重合），射線與射線交于點．
(1)若，求的長．
(2)求證：．
(3)以點為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點．若，求的長．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）證明，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解；
（2）證明，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例證明；
（3）設(shè)，則，，在中，利用勾股定理求解．
【詳解】（1）解：由題知，，
若，則．
四邊形是正方形，
，
又，
，
，
即，
．
（2）證明：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
．
（3）解：設(shè)，
則，．
在中，，
即，
解得．
．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）裝有水的水槽放置在水平臺面上，其橫截面是以為直徑的半圓，，如圖1和圖2所示，為水面截線，為臺面截線，．
計算：在圖1中，已知，作于點．
（1）求的長．
操作：將圖1中的水面沿向右作無滑動的滾動，使水流出一部分，當(dāng)時停止?jié)L動，如圖2．其中，半圓的中點為，與半圓的切點為，連接交于點．

探究：在圖2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）連接OQ并延長交GH于點F，求線段與的長度，并比較大?。?br>【答案】（1）
（2）
（3），，．
【分析】（1）連接，利用垂徑定理計算即可；
（2）由切線的性質(zhì)證明進而得到，利用銳角三角函數(shù)求，再與（1）中相減即可；
（3）由半圓的中點為得到，得到分別求出線段與的長度，再相減比較即可．
【詳解】解：（1）連接，
∵為圓心，于點，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
．

（2）∵與半圓的切點為，
∴
∵
∴于點，
∵，，
∴，
∴操作后水面高度下降高度為：
．
（3）∵于點，
∴，
∵半圓的中點為，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了垂徑定理、圓的切線的性質(zhì)、求弧長和解直角三角形的知識，解答過程中根據(jù)相關(guān)性質(zhì)構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
23．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，都是的半徑，．

(1)求證：；
(2)若，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由圓周角定理得出，，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；
（2）過點作半徑于點，根據(jù)垂徑定理得出，證明，得出，在中根據(jù)勾股定理得出，在中，根據(jù)勾股定理得出，求出即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：過點作半徑于點，則，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半徑是．

【點睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握圓周角定理．
24．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，四邊形是半徑為R的的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，直線l與三條線段、、的延長線分別交于點E、F、G．且滿足．

(1)求證：直線直線；
(2)若；
①求證：；
②若，求四邊形的周長．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析，②
【分析】（1）在中，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得，結(jié)合已知在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得；
（2）①根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補角可得，由直徑所對的圓周角是直角和（1）可得，結(jié)合已知即可證得；
②在中由，可得，結(jié)合題意易證，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入計算即可求得周長．
【詳解】（1）證明：在中，
，
，即，
在中，
，
，
即直線直線；
（2）①四邊形是半徑為R的的內(nèi)接四邊形，
，
，
，
是的直徑，
，
由（1）可知，
，
在與中，
，
，
②在中，，
，
是的直徑，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得：，
由①可知，
，
，
四邊形的周長為：
．
【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等、三角形內(nèi)角和定理、垂直的定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、鄰補角互補、直徑所對的圓周角是直角、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理解直角三角形以及周長的計算；解題的關(guān)鍵是靈活運用以上知識，綜合求解．
25．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）在中，半徑垂直于弦，垂足為D，，E為弦所對的優(yōu)弧上一點．

(1)如圖①，求和的大??；
(2)如圖②，與相交于點F，，過點E作的切線，與的延長線相交于點G，若，求的長．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)半徑垂直于弦，可以得到，從而得到，結(jié)合已知條件即可得到，根據(jù)即可求出；
（2）根據(jù)，結(jié)合，推算出，進一步推算出，在中，，再根據(jù)即可得到答案．
【詳解】（1）解：在中，半徑垂直于弦，

∴，得．
∵，
∴．
∵，
∴．
（2）解：如圖，連接．

同（1）得．
∵在中，，
∴．
∴．
又，
∴．
∵與相切于點E，
∴，即．
在中，，
∴．
【點睛】本題考查圓周角定理、切線的性質(zhì)和直角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)知識．
26．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，，點在上，連接并延長，交于點，連接，作，垂足為．
(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）分別證明，，從而可得結(jié)論；
（2）求解，，可得，證明，設(shè)，則，，證明，可得，可得，，，從而可得答案．
【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∵，，
∴，
∴，
∴，則，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟記圓的基本性質(zhì)與重要定理是解本題的關(guān)鍵．
27．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于是延長線上的一點，，相交于點．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)6
【分析】（1）由，為半徑，可知，，則，，，如圖1，連接，由，可得，則，即，進而結(jié)論得證；
（2）如圖2，記與交點為，連接，過作于，證明是等邊三角形，則，，設(shè)半徑為，則，由，，可得，證明，則，即，解得或（舍去）， 根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，連接，

∵，
∴，
∴，
∴，由等邊對等角可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是半徑，
∴是的切線；
（2）解：如圖2，記與交點為，連接，過作于，

∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
設(shè)半徑為，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得或（舍去），
∴，
∴ 的長為6．
【點睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，余弦、正切等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
28．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是一條弦，D是的中點，于點E，交于點F，交于點H，交于點G．

(1)求證：．
(2)若，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)5
【分析】（1）根據(jù)D是的中點，于點E，得到,得到即可得證．
（2）根據(jù)，設(shè)，運用勾股定理，得到，結(jié)合，得到，運用勾股定理，得到，從而得到，在中，利用勾股定理計算x即可．
【詳解】（1）∵D是的中點，
∴，
∵，是的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，是的直徑，
∴，
∵，
設(shè)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴的半徑為5．
【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，正弦函數(shù)，熟練掌握垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
29．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點是外一點，與相切于點，點為上的一點．連接、、，且．

(1)求證：為的切線；
(2)延長與的延長線交于點D，求證：；
(3)若，求陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）連接，證明，即可得證；
（2）根據(jù)，即可得證；
（3）根據(jù)圓周角定理得出，進而勾股定理求得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵是的切線，
∴
如圖所示，連接

在與中，
∴
∵為上的一點．
∴是的切線；
（2）∵是的切線；
∴，
∴
∴
（3）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴，
∴
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，圓周角定理，求含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求扇形面積，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，以為直徑的交于點E．平分，過點E作于點D，延長交的延長線于點P．

(1)求證：是的切線；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，利用角平分線的性質(zhì)和等邊對等角，證明，即可解答；
（2）根據(jù)，可得，求出的長，再利用勾股定理得的長，即可得到的長，最后證明，即可解答．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，

，
，
平分，
，
，
，
,
,
是的切線；
（2）解：設(shè)，則，
，解得，
，
，
根據(jù)勾股定理可得，,
，
是直徑，
，
，
，
，
，
，
．

【點睛】本題考查了切線的判定，角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正弦的概念，熟練運用上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
31．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形內(nèi)接于，對角線是的直徑．

(1)如圖1，連接，若，求證；平分；
(2)如圖2，為內(nèi)一點，滿足，若，，求弦的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用垂徑定理的推論和圓周角的性質(zhì)證明即可．
(2)證明四邊形平行四邊形，后用勾股定理計算即可．
【詳解】（1）∵對角線是的直徑，
∴，
∴，
∴平分．
（2）∵對角線是的直徑，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四邊形平行四邊形，
∴，
又∵，
∴．
【點睛】本題考查了垂徑定理的推論，直徑所對的圓周角是直角，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握垂徑定理的推論，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
32．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①，點A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長至點E，使，連結(jié)，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證．
下面是小明的部分證明過程：
證明：延長至點E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
．
，
．
是等邊三角形．
，
請你補全余下的證明過程．
【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，點P在上，且點P與點B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．若，則的值為__________．
【答案】感知：
探究：見解析
應(yīng)用：
【分析】感知：由圓周角定理即可求解；
探究：延長至點E，使，連結(jié)，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證；
應(yīng)用：延長至點E，使，連結(jié)，通過證明得，可推得是等腰直角三角形，結(jié)合與可得，代入即可求解．
【詳解】感知：
由圓周角定理可得，
故答案為：；
探究：
證明：延長至點E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
．
，
．
是等邊三角形．
，
，
∴，，
，
是等邊三角形，
，
，
即；
應(yīng)用：
延長至點E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，鄰補角，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造，進行轉(zhuǎn)換求解．
33．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，，的弦于點，．過點作的切線交的延長線于點，連接．

(1)求證：平分；
(2)為上一點，連接交于點，若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用切線的性質(zhì)得到，利用圓周角定理得到，利用垂徑定理推出，據(jù)此可證明，即可證明平分；
（2）連接，，作于點M，利用垂徑定理求得，證明，求得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理求得，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：連接，

∵是的切線，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∵是的直徑，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：連接，，過點G作于點M，

∵是的直徑，且，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，，
在中，，即，
解得(負值已舍去)，
∴．
【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，垂徑定理定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
34．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙O的直徑，且，與為圓內(nèi)的一組平行弦，弦交于點H．點A在上，點B在上，．

(1)求證：．
(2)求證：．
(3)在⊙O中，沿弦所在的直線作劣弧的軸對稱圖形，使其交直徑于點G．若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）證明即可；
（2）連接，交于點，根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件證明垂直平分即可；
（3）利用對稱的性質(zhì)作輔助線，根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題即可．
【詳解】（1）和是所對的圓周角，
，
，
∴，
∴，
∴．
（2）連接，交于點，

與為一組平行弦，即：，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分線，
．
（3）連接、，過點作，垂足為，設(shè)點的對稱點，連接、，

，，
∴，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
為直徑，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓的綜合問題，同弧所對圓周角相等、構(gòu)建合適的輔助線是解題的關(guān)鍵；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、熟悉銳角三角函數(shù)解決直角三角形．
35．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）綜合探究
如圖1，在矩形中，對角線相交于點，點關(guān)于的對稱點為，連接交于點，連接．

(1)求證：；
(2)以點為圓心，為半徑作圓．
①如圖2，與相切，求證：；
②如圖3，與相切，，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②
【分析】（1）由點關(guān)于的對稱點為可知點E是的中點，，從而得到是的中位線，繼而得到，從而證明；
（2）①過點O作于點F，延長交于點G，先證明得到，由與相切，得到，繼而得到，從而證明是的角平分線，即，，求得，利用直角三角形兩銳角互余得到，從而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性質(zhì)得出；
②先證明四邊形是正方形，得到，再利用是的中位線得到，從而得到，，再利用平行線的性質(zhì)得到，從而證明是等腰直角三角形，，設(shè)，求得，在中，即，解得，從而得到的面積為．
【詳解】（1）∵點關(guān)于的對稱點為，
∴點E是的中點，，
又∵四邊形是矩形，
∴O是的中點，
∴是的中位線，
∴
∴，
∴
（2）①過點O作于點F，延長交于點G，則，

∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，．
∵，，，
∴，
∴．
∵與相切，為半徑，，
∴，
∴
又∵即，，
∴是的角平分線，即，
設(shè)，則，
又∵
∴
∴
又∵，即是直角三角形，
∴，即
解得：，
∴，即，
在中，，，
∴，
∴；
②過點O作于點H，

∵與相切，
∴，
∵
∴四邊形是矩形，
又∵，
∴四邊形是正方形，
∴，
又∵是的中位線，
∴
∴
∴
又∵，
∴
又∵，
∴
又∵，
∴是等腰直角三角形，，
設(shè)，則
∴
在中，，
即
∴
∴的面積為：
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，中位線的性質(zhì)定理，角平分線的判定定理等知識，掌握相關(guān)知識并正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
36．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，C是圓上一點，D是的中點，弦，垂足為點F．

(1)求證：；
(2)P是上一點，，求；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)是的平分線時，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）由D是的中點得，由垂徑定理得，得到，根據(jù)同圓中，等弧對等弦即可證明；
（2）連接，證明，設(shè)的半徑為r，利用相似三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；
（3）過點B作交于點G，證明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解．
【詳解】（1）解：∵D是的中點，
∴，
∵且為的直徑，
∴，
∴，
∴；
（2）解：連接，

∵，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)的半徑為r，
則，
解得，經(jīng)檢驗，是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如圖，過點B作交于點G，

∴
∵，是的平分線，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識，熟練掌握以上知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
37．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的直徑，，切于點，過點作交于點，若．

(1)如圖1，連接，求證：；
(2)如圖2，是上一點，在上取一點，使，連接．請問：三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)見解析
(2)，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)，是半徑，可得是的切線，根據(jù)是的切線，由切線長定理可得，進而根據(jù)，得出，，根據(jù)得出，根據(jù)垂徑定理的推論得出，進而得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出，即可證明；
（2）延長至使得，連接，，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出，證明，結(jié)合已知條件證明，進而證明，得出，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵，是半徑，
∴是的切線，
∵是的切線，
∴，
∵
∴，
∴
∴，，
∵
∴，
∴，
∵是直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下，
延長至使得，連接，，如圖所示

∵
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得，
又是直徑，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
即．
【點睛】本題考查了切線的判定，切線長定理，垂徑定理的推論，全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
38．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，直徑垂直弦于點，連接，作于點，交線段于點（不與點重合），連接．

(1)若，求的長．
(2)求證：．
(3)若，猜想的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)1
(2)見解析
(3)，證明見解析
【分析】（1）由垂徑定理可得，結(jié)合可得，根據(jù)圓周角定理可得，進而可得，通過證明可得；
（2）證明，根據(jù)對應(yīng)邊成比例可得，再根據(jù)，，可證；
（3）設(shè)，，可證，，通過證明，進而可得，即，則．
【詳解】（1）解：直徑垂直弦，
，
，
，
，
，
由圓周角定理得，
，
在和中，
，
，
；
（2）證明：是的直徑，
，
在和中，
，
，
，
，
由（1）知，
，
又，
；
（3）解：，證明如下：
如圖，連接，

，
，
直徑垂直弦，
，，
又，
，
，
設(shè)，，
則，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
即，
，
．
【點睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，難度較大，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用上述知識點，特別是第3問，需要大膽猜想，再逐步論證．
39．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知是的直徑，是的切線，交于點，．

(1)填空：的度數(shù)是_________，的長為_________；
(2)求的面積；
(3)如圖2，，垂足為．是上一點，．延長，與，的延長線分別交于點，求的值．
【答案】(1)，5
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)切線性質(zhì)和勾股定理分別求解即可；
（2）由面積法求出，再利用勾股定理求，則的面積可求；
（3）先證明，得到，利用，分別得到，進而計算，，在分別求出則問題可解；
【詳解】（1）解：∵是的直徑，是的切線，
∴的度數(shù)是；
∵，
∴；
故答案為：，5；
（2）如圖，

∵是的直徑，
∴，
，
∴由面積法，
∴
，
；
（3）方法一：如圖，

由
∴
∴
∴
∴
∴
設(shè)
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形
，
∴，
∴，
，
，
，
．
方法二：如圖

由
設(shè)
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，，
．
【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)條件證明三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答問題．
40．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是的內(nèi)心，的延長線與邊相交于點，與的外接圓相交于點．

(1)求證：；
(2)求證：；
(3)求證：；
(4)猜想：線段三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫出，不需證明．）
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
(4)
【分析】（1）過點F作，垂足分別為，則，進而表示出兩個三角形的面積，即可求解；
（2）過點A作于點，表示出兩三角形的面積，即可求解；
（3）連接，證明得出，證明，得出，即可，恒等式變形即可求解；
（4）連接，證明，得出，證明，得出，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖所示，過點F作，垂足分別為，
∵點是的內(nèi)心，
∴是的角平分線，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：如圖所示，過點A作于點，

∵，
∴，
由（1）可得，
∴；
（3）證明：連接，

∵
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
（4）解：如圖所示，連接，

∵點是的內(nèi)心，
∴是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)心的定義，同弧所對的圓周角相等，角平分線的性質(zhì)與定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形的面積公式等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
41．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點與直線上點的對應(yīng)關(guān)系，用直線上點的位置刻畫圓上點的位置，如圖，是的直徑，直線是的切線，為切點．，是圓上兩點（不與點重合，且在直徑的同側(cè)），分別作射線，交直線于點，點．

(1)如圖1，當(dāng)，的長為時，求的長．
(2)如圖2，當(dāng)，時，求的值．
(3)如圖3，當(dāng)，時，連接BP，PQ，直接寫出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)扇形的弧長公式即可求出度數(shù)，利用切線的性質(zhì)和解直角三角形即可求出的長．
（2）根據(jù)等弧所對圓周角相等推出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理推出，利用直角三角形的性質(zhì)即可求出，通過等量轉(zhuǎn)化和余弦值可求出答案．
（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)證明和，從而推出和，利用已知條件將兩個比例線段相除，根據(jù)正弦值即可求出答案
【詳解】（1）解：如圖1，連接，設(shè)的度數(shù)為．

，的長為，
．
，即．
．
直線是的切線，
．
∴．
（2）解：如圖2，連接，過點作于點，

為直徑，
．
．
，
．
，，
．
，，
．
．
（3）解：，理由如下：
如圖3，連接BQ，

，，
，，
，
，
．
，
，
．①
，，
，
．②
，
得，．
，
．
【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形以及三角函數(shù)、切線的性質(zhì)定理、扇形的弧長公式，角平分線性質(zhì)定理等，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理和相關(guān)計算公式．
42．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，為半圓的直徑，為延長線上一點，切半圓于點，，交延長線于點，交半圓于點，已知，．如圖，連接，為線段上一點，過點作的平行線分別交，于點，，過點作于點．設(shè)，．

(1)求的長和關(guān)于的函數(shù)表達式．
(2)當(dāng)，且長度分別等于，，的三條線段組成的三角形與相似時，求的值．
(3)延長交半圓于點，當(dāng)時，求的長．
【答案】(1)，
(2)或或
(3)
【分析】（1）如圖1，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，證明，得出，即可得出；證明四邊形是平行四邊形，得出，代入數(shù)據(jù)可得；
（2）根據(jù)三邊之比為，可分為三種情況．當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別列出比例式，進而即可求解．
（3）連接，，過點作于點，根據(jù)，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1，連接．

∵切半圓于點，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
如圖2，，
∴．

∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）∵，，三邊之比為（如圖2），
∴可分為三種情況．
i）當(dāng)時，
，，
解得，
∴．
ii）當(dāng)時，
，，
解得，
∴．
iii）當(dāng)時，
，，
解得，
∴．
（3）如圖3，連接，，過點作于點，

則，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，即的長為．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，分類討論，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
43．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點，是上的點，且，連接，過點作的垂線，交的延長線于點，交的延長線于點，過點作于點，交于點．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)，得出，由，得出，根據(jù)已知條件得出，證明，結(jié)合已知條件可得，即可得證；
（2）連接，根據(jù)已知條件得出，，得出，證明，得出，，進而求得，，根據(jù)，求得，進而即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，

∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）解：如圖所示，連接，

∵，，
設(shè)，則
∴，
∴，
即
解得：，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∵是直徑，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴,，
∴，
∴，
解得：，
∴
∴，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵,
,
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
44．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上異于的點．外的點在射線上，直線與垂直，垂足為，且．設(shè)的面積為的面積為．

(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)若，求常數(shù)的值．
【答案】(1)與相切，理由見解析
(2)
【分析】（1）與相切，理由如下：連接，先證得，又證，進而有，于是即可得與相切；
（2）先求得，再證，得，從而有，又，即可得解．
【詳解】（1）解：與相切，理由如下：
連接，

∵是的直徑，直線與垂直，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴與相切；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴
∵，
∴．
【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，垂線的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，熟練掌握直徑所對的圓周角是直角，垂線的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，切線的判定以及勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．
45．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖1，銳角內(nèi)接于，D為的中點，連接并延長交于點E，連接，過C作的垂線交于點F，點G在上，連接，若平分且．

(1)求的度數(shù)．
(2)①求證：．
②若，求的值，
(3)如圖2，當(dāng)點O恰好在上且時，求的長．
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②
(3)
【分析】（1）先證明，結(jié)合，，可得，從而可得答案；
（2）①證明，再證明，可得；②設(shè)， ，證明，可得，即，則，可得，從而可得答案；
（3）如圖，設(shè)的半徑為，連接交于，過作于，證明，，可得，證明，可得，，證明，，即，再解方程可得答案．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①∵為中點，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②設(shè)， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴，
∴（負根舍去）；
（3）如圖，設(shè)的半徑為，連接交于，過作于，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，而，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，（負根舍去），
由（2）①知，
∴．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，求解銳角的正切，本題的難度大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
46．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，過點的直線l交的延長線于點，交的延長線于點，且．

(1)求證：是的切線；
(2)求證：；
(3)當(dāng)，時，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)6
【分析】（1）連接，，根據(jù)圓心角，弦，弧的關(guān)系可得，根據(jù)直徑所對的圓周角是90度可得，半徑相等可得，根據(jù)等腰的判定可得是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得垂直平分，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得，即可證明；
（2）連接，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，推得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，即可求證；
（3）令與交于點，根據(jù)正弦的定義可求得，，根據(jù)勾股定理可求得，，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)可得,，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求得,即可求得．
【詳解】（1）連接，，如圖：

∵，
∴，
∵四邊形內(nèi)接于，為的直徑，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，
即是的切線；
（2）連接，如圖：

∵
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴；
（3）令與交于點，如圖：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴,
∴
∵，
∴，
∴
即，
∴,
∴．
【點睛】本題考查了圓心角，弦，弧的關(guān)系，直徑所對的圓周角是90度，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰的判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)，正弦的定義，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
47．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的直角邊為直徑作，交斜邊于點，點是的中點，連接．

(1)求證：是的切線．
(2)若，求的長．
(3)求證：．
【答案】(1)見詳解
(2)
(3)見詳解
【分析】（1）連接，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，證明，再證明即可；
（2）由（1）中結(jié)論，得，先根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理求出的長，再證明即可；
（3）證明即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：連接，

在中，，
是的直徑，
即，
在中，點是的中點，
，
又，
，
，
在上
是的切線．
（2）解：由（1）中結(jié)論，得，
在中，，
，
，
，
，
，
；
（3）證明：，
，
，
，
，
，
由（1）中結(jié)論，得，
，
，
即．
【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，判斷出是解本題的關(guān)鍵．
48．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知，是半徑為1的的弦，的另一條弦滿足，且于點H（其中點H在圓內(nèi)，且）．

(1)在圖1中用尺規(guī)作出弦與點H（不寫作法，保留作圖痕跡）．
(2)連結(jié)，猜想，當(dāng)弦的長度發(fā)生變化時，線段的長度是否變化？若發(fā)生變化，說明理由：若不變，求出的長度；
(3)如圖2，延長至點F，使得，連結(jié)，的平分線交的延長線于點P，點M為的中點，連結(jié)，若．求證：．
【答案】(1)見解析
(2)線段是定長，長度不發(fā)生變化，值為
(3)見解析
【分析】（1）以為圓心，大于長為半徑畫弧，交點為，連接，與交點為，與交點為，則，分別以為圓心，大于長為半徑畫弧，交點為，連接，則，以為圓心，長為半徑畫弧與交點為，則，以為圓心，長為半徑畫弧，交直線于，以為圓心，大于長為半徑畫弧，交點為，連接，則，與交點為，與交點為，即、點即為所求；
（2）如圖2，連結(jié)，連接并延長交于，連結(jié)，，過作于，于，證明四邊形是正方形，則可證是等腰直角三角形，則，由，可知，由是的直徑，可得，則是等腰直角三角形，；
（3）如圖3，延長、，交點為，由題意知是的中位線，則，，由，可得，證明，則，即，如圖3，作的外接圓，延長交外接圓于點，連結(jié)、，由是的平分線，可得，則，證明，則，即，由，可得，進而結(jié)論得證．
【詳解】（1）解：如圖1，、點即為所求；

（2）當(dāng)弦的長度發(fā)生變化時，線段的長度不變；
如圖2，連結(jié)，連接并延長交于，連結(jié)，，過作于，于，則四邊形是矩形，

∵，，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴線段是定長，長度不發(fā)生變化，值為；
（3）證明：如圖3，延長、，交點為，

∵，
∴點H為的中點，
又∵點M為的中點，
∴是的中位線，
∴，，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
如圖3，作的外接圓，延長交外接圓于點，連結(jié)、，
∵是的平分線，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了作垂線，同弧或等弧所對的圓周角相等，正弦，正方形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，中位線，直徑所對的圓周角為直角，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
49．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是一條不過圓心的弦，點是的三等分點，直徑交于點，連結(jié)交于點，連結(jié)，過點的切線交的延長線于點．

(1)求證： ；
(2)若，求的值；
(3)連結(jié)交于點，若的半徑為5
①若，求的長；
②若，求的周長；
③若，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)①；②；③
【分析】（1）根據(jù)點是三等分點，得出，根據(jù)是的直徑，可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，即可證明；
（2）如圖1，連接，證明，則，設(shè)，則，在中由勾股定理得，得出，進而根據(jù)正切的定義即可求解；
（3）①如圖1，連接，勾股定理確定，根據(jù)，可得；
②如圖2，連接，設(shè)，則，解得．則，證明，，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
③如圖3，過點作于點，則．設(shè)，則，證明，得出則，得出，則，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：∵點是三等分點，
∴．
由是的直徑
∴，
∵是的切線，
∴．
∴．
（2）如圖1，連結(jié)，∵，

∴．
由，則，
又∵，
∴，
∴．
設(shè)，則，
∵，
∴．
在中由勾股定理得，
∴，
∴．
∴．
（3）①如圖1，連結(jié)，∵，

∴．
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
②如圖2，連結(jié)，

∵，
∴．
∵，
∴．
設(shè)，則，
由勾股定理得，
即，
解得．
∴
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
③如圖3，過點作于點，則．

設(shè)，則，
由勾股定理得，
，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
可得方程，
解得（舍去）．
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了圓的綜合問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定熟練掌握是解題的關(guān)鍵．
50．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，以為直徑的上有兩點、，，過點作直線交的延長線于點，交的延長線于點，過作平分交于點，交于點．

(1)求證：是的切線；
(2)求證：；
(3)如果是的中點，且，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出，根據(jù)，得出，則可得，根據(jù)已知，得出，即可得證；
（2）根據(jù)角平分線的定義得出，又，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，由是的直徑，即可得證；
（3）取的中點，連接，證明，由是的中點，是的中點，得出，進而得出，設(shè)，則，勾股定理得出，,證明得出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖所示，

∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是的切線；
（2）證明：如圖所示，

∵平分
∴
又∵，
則，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如圖所示，取的中點，連接，

∵是的切線，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵是的中點，是的中點，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴
設(shè)，則，
∴
∵
∴
∴，,
∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分線，
∴到的距離相等，設(shè)為，在，設(shè)點到的距離為，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了圓的綜合問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

2023年全國中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：專題25 圓的有關(guān)計算與證明（共20題）（解析版）：

這是一份2023年全國中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：專題25 圓的有關(guān)計算與證明（共20題）（解析版），共38頁。試卷主要包含了填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題25 圓的有關(guān)計算與證明（共20道）-中考數(shù)學(xué)真題分項匯編（全國通用）：

這是一份專題25 圓的有關(guān)計算與證明（共20道）-中考數(shù)學(xué)真題分項匯編（全國通用），文件包含專題25圓的有關(guān)計算與證明共20道原卷版docx、專題25圓的有關(guān)計算與證明共20道解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共51頁， 歡迎下載使用。

專題25 圓的有關(guān)計算與證明（共50題）--2023年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編：

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