1．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，直徑與弦交于點(diǎn)．連接，過點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．若，則 °．

【答案】66
【分析】連接，則有，然后可得，則，進(jìn)而問題可求解．
【詳解】解：連接，如圖所示：

∵是的直徑，且是的切線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為：66．
【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角、弧之間的關(guān)系，熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角、弧之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖．是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，C是弦的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出長(zhǎng)l的近似值s計(jì)算公式：，當(dāng)，時(shí)， ．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
【答案】0.1
【分析】由已知求得與的值，代入得弧長(zhǎng)的近似值，利用弧長(zhǎng)公式可求弧長(zhǎng)的值，進(jìn)而即可得解．
【詳解】∵，
∴，
∵C是弦的中點(diǎn)，D在上，，
∴延長(zhǎng)可得O在上，
∴，
∴，
，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長(zhǎng)，掌握垂徑定理?；￠L(zhǎng)公式是關(guān)鍵．
二、解答題
3．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接，過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F，交點(diǎn)于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作．交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)求證：與相切．
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）連接，結(jié)合圓周角定理，根據(jù)，可得，再根據(jù)平行的性質(zhì)，即有，進(jìn)而可得，問題隨之得證；
（2）過C點(diǎn)作于點(diǎn)K，先證明四邊形是平行四邊形，即有，求出，即有，利用三角形函數(shù)有，同理，即可得，，進(jìn)而有，再證明，可得，即可得，在中，有，問題隨之得解．
【詳解】（1）連接，如圖，

∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴半徑，
∴與相切；
（2）過C點(diǎn)作于點(diǎn)K，如圖，

∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在，，
同理，
∵在中，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)以及勾股定理等知識(shí)，掌握切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰三角形的頂角，和底邊相切于點(diǎn)，并與兩腰，分別相交于，兩點(diǎn)，連接，．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，從而可得和都是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得，即可解答；
（2）連接交于點(diǎn)，利用菱形的性質(zhì)可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】（1）證明：連接，

和底邊相切于點(diǎn)，
，
，，
，
，，
和都是等邊三角形，
，，
，
四邊形是菱形；
（2）解：連接交于點(diǎn)，

四邊形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積
，
圖中陰影部分的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．若．

(1)求證：為的切線．
(2)若，，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)的半徑為
【分析】（1）連接，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，得到，等角的余角相等，得到，等邊對(duì)等角，得到，推出，得到，即可得證；
（2）連接，推出，利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，設(shè)的半徑為，證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，

∵，，
∴，
∵為的直徑，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
又為的半徑，
∴為的切線；
（2）連接，則：，

∵為的直徑，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
設(shè)的半徑為，則：，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
∴的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)．題目的綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D是上異側(cè)的兩點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且平分．

(1)求證：是的切線．
(2)若，，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)，得出．根據(jù)平分，得出，則．根據(jù)得出，進(jìn)而得出，即可求證；
（3）連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，通過證明為等邊三角形，得出，．求出．最后根據(jù)即可求解．
【詳解】（1）解：連接，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切線．
（2）解：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，
∵，
∴．
∵，，
∴為等邊三角形，
∴，．
∵，，，
∴．
∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，求扇形面積，解題的關(guān)鍵是掌握經(jīng)過半徑外端切垂直于半徑的直線是圓的切線；扇形面積公式．
7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知內(nèi)接于，為的直徑，N為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)H．

(1)如圖①，求證；
(2)如圖②，點(diǎn)D在上，連接，，，交于點(diǎn)E，若，求證；
(3)如圖③，在（2）的條件下，點(diǎn)F在上，過點(diǎn)F作，交于點(diǎn)G．，過點(diǎn)F作，垂足為R，連接，，，點(diǎn)T在的延長(zhǎng)線上，連接，過點(diǎn)T作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）連接，根據(jù)N為的中點(diǎn)，易證，再根據(jù)中位線定理得出結(jié)論；
（2）連接，先證得，再根據(jù)得，根據(jù)即可得出結(jié)論；
（3）連接，先證，再證四邊形是矩形，過A作垂足為S，先證出，再能夠證出從而，得到等腰直角，利用三角函數(shù)求出，再根據(jù)求出，最后用勾股定理求出答案即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，

為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
是的中位線，
；
（2）證明：如圖，連接，

設(shè)，
，，，
，
，
，，
， ，
；
（3）解：連接，

，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
是的直徑，
，
四邊形是矩形，
，
，
過點(diǎn)A作垂足為S，
，
，
，
，
，
，
，
是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查圓的有關(guān)知識(shí)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、三角函數(shù)、勾股定理、圓周角定理等知識(shí)，構(gòu)造輔助線解決問題是解題關(guān)鍵．
8．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；玉壁，玉環(huán)為我國(guó)的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．
(1)若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為 ；
(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．
①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？
②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫出內(nèi)孔．
【答案】(1)
(2)①符合，圖見詳解；②圖見詳解
【分析】（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進(jìn)行求解；
（2）①先確定該圓環(huán)的圓心，然后利用圓規(guī)確定其比例關(guān)系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據(jù)平行線所截線段成比例可進(jìn)行作圖．
【詳解】（1）解：由圖1可知：璧的“肉”的面積為；環(huán)的“肉”的面積為，
∴它們的面積之比為；故答案為；
（2）解：①在該圓環(huán)任意畫兩條相交的線，且交點(diǎn)在外圓的圓上，且與外圓的交點(diǎn)分別為A、B、C，則分別以A、B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，同理可畫出線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心O，過圓心O畫一條直徑，以O(shè)為圓心，內(nèi)圓半徑為半徑畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可

由作圖可知滿足比例關(guān)系為的關(guān)系；
②按照①中作出圓的圓心O，過圓心畫一條直徑，過點(diǎn)A作一條射線，然后以A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，把射線三等分，交點(diǎn)分別為C、D、E，連接，然后分別過點(diǎn)C、D作的平行線，交于點(diǎn)F、G，進(jìn)而以為直徑畫圓，則問題得解；如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且．

(1)求證：EF與相切；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用圓周角定理得到，結(jié)合已知推出，再證明，推出，即可證明結(jié)論成立；
（2）設(shè)半徑為x，則，在中，利用正弦函數(shù)求得半徑的長(zhǎng)，再在中，解直角三角形即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，

∵，∴，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為半徑，
∴EF與相切；
（2）解：設(shè)半徑為x，則，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，
∴半徑為4，則，
在中，，，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是等邊三角形的外接圓，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．

(1)寫出圖中一個(gè)度數(shù)為的角：_______，圖中與全等的三角形是_______；
(2)求證：；
(3)連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
【答案】(1)、、、；
(2)證明見詳解
(3)四邊形是菱形
【分析】（1）根據(jù)外接圓得到是的角平分線，即可得到的角，根據(jù)垂徑定理得到，即可得到答案；
（2）根據(jù)（1）得到，根據(jù)垂徑定理得到，即可得到證明；
（3）連接，，結(jié)合得到 ，是等邊三角形，從而得到，即可得到證明；
【詳解】（1）解：∵是等邊三角形的外接圓，
∴是的角平分線，，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴的角有：、、、，
∵是的角平分線，
∴，，
在與中，
∵，
∴，
故答案為：、、、，；
（2）證明：∵，，
∴；
（3）解：連接，，
∵，，
∴ ，是等邊三角形，
∴，
∴四邊形是菱形．

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，菱形判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，從而得到相應(yīng)角的等量關(guān)系．
11．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，E為上一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的半徑長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)弦、弧、圓周角的關(guān)系可證，根據(jù)圓的性質(zhì)得，證明，得到，根據(jù)切線的判定定理證明；
（2）連接，，根據(jù)勾股定理得到的長(zhǎng)，根據(jù)等弧對(duì)等弦得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得，推出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，

∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∵為半徑，
∴為切線；
（2）解：連接，，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∵D是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半徑長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．
下面是小明的部分證明過程：
證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
．
，
．
是等邊三角形．
，
請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．
【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．若，則的值為__________．
【答案】感知：；探究：見解析；應(yīng)用：
【分析】感知：由圓周角定理即可求解；
探究：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證；
應(yīng)用：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過證明得，可推得是等腰直角三角形，結(jié)合與可得，代入即可求解．
【詳解】感知：
由圓周角定理可得，
故答案為：；
探究：
證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
．
，
．
是等邊三角形．
，
，
∴，，
，
是等邊三角形，
，
，
即；
應(yīng)用：
延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，鄰補(bǔ)角，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造，進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解．
13．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，連接．

(1)求證：是的切線；
(2)判斷的形狀，并說明理由；
(3)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)是等腰三角形，理由見解析
(3)
【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)已知得出，根據(jù)得出，進(jìn)而根據(jù)對(duì)等角相等，以及三角形內(nèi)角和定理可得，即可得證；
（2）根據(jù)題意得出，則，證明，得出，等量代換得出，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)，，設(shè)，則，等邊對(duì)等角得出，則．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即，又是的直徑，
∴是的切線；
（2）∵，是的直徑，
∴，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
（3）∵，，
設(shè)，則，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，，垂足為E．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）如圖：，然后根據(jù)等邊對(duì)等角可得、即，再根據(jù)可得，進(jìn)而得到即可證明結(jié)論；
（2）如圖：連接，有圓周角定理可得，再解直角三角形可得，進(jìn)而得到，然后說明，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可解答．
【詳解】（1）證明：如圖：連接

∵，
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴。
∵，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線．
（2）解：如圖：連接
∵是的直徑，
∴,
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線證明、圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．
15．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，．

(1)求證：是切線；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可推出，利用已知條件進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換即可求出，最后利用可證明，從而證明是切線．
（2）根據(jù)互余的兩個(gè)角相等，利用可求出，設(shè)參數(shù)表示出和，再根據(jù)勾股定理用參數(shù)表示出和，最后利用即可求出參數(shù)的值，從而求出長(zhǎng)度，即可求的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解：連接，，如圖所示，

，為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是切線．
（2）解：連接，如圖所示，

由（1）得，，
，
，
．
，
．
設(shè)則，
在中，，
．
在中，．
，
，
．
．
，
．
．
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于利用參數(shù)表達(dá)線段長(zhǎng)度．
16．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是弦，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接．

(1)求證：；（請(qǐng)用兩種證法解答）
(2)若，的半徑為3，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析
(2)8
【分析】（1）證法一：連接，得到，因?yàn)?，所以；證法二：連接，可得，則，根據(jù)，可得，即可得到結(jié)果；
（2）連接，根據(jù)角度間的關(guān)系可以證得為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求得結(jié)果．
【詳解】（1）證法一：如圖，連接，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，

證法二：如圖，連接，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，

（2）解：如圖，連接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵的半徑為3，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角為直角，勾股定理，找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問題情境：筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．
問題設(shè)置：把筒車抽象為一個(gè)半徑為r的．如圖②，始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)時(shí)，某盛水筒恰好位于水面A處，此時(shí)，經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處．（參考數(shù)據(jù)，）

問題解決：
(1)求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)，的度數(shù)；
(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離．（結(jié)果精確到米）
【答案】(1)
(2)該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離為米
【分析】（1）先求得該盛水筒的運(yùn)動(dòng)速度，再利用周角的定義即可求解；
（2）作于點(diǎn)C，在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，據(jù)此即可求解．
【詳解】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，
∴每秒旋轉(zhuǎn)，
當(dāng)經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處時(shí)，，
∵，
∴；
（2）解：作于點(diǎn)C，設(shè)與水平面交于點(diǎn)D，則，

在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
18．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析
(2)，
【分析】（1）根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，
（2）先由“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，證是直角三角形，用勾股定理求出長(zhǎng)，再通過三角形相似即可求解．
【詳解】（1）連接

∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，為半徑，
∴為的切線，
（2）∵為直徑，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
【點(diǎn)睛】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)C，連接，．

(1)求證：；
(2)求證：是的切線；
(3)若，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)的半徑為
【分析】（1）利用兩角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相似，得出結(jié)論；
（2）連接，由圓周角定理得出，證出，由切線的判定可得出結(jié)論；
（3）由相似三角形的性質(zhì)得出，由比例線段求出和的長(zhǎng)，可求出的長(zhǎng)，則可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴；
（2）證明：連接，

∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
∴的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)O，A，B均在格點(diǎn)上，，，以O(shè)為圓心，為半徑畫圓，請(qǐng)按下列步驟完成作圖，并回答問題：
①過點(diǎn)A作切線，且（點(diǎn)C在A的上方）；
②連接，交于點(diǎn)D；
③連接，與交于點(diǎn)E．
(1)求證：為的切線；
(2)求的長(zhǎng)度．
【答案】(1)畫圖見解析，證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到，然后證明出，得到，即可證明出為的切線；
（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）如圖所示，
∵是的切線，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)D在上，
∴為的切線；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴解得．
【點(diǎn)睛】此題考查了格點(diǎn)作圖，圓切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．

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