1.已知集合A={x||x?1|50)=16，則P(X0，若g(xy+1)=g(x+1)g(y+1)，?(2)=4g(2)，則( )
A. g(1)=0B. f(1)=0C. ?(1)=0D. i=?20232025?(i)=0
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若2a3?a4=4，3a2+a5=25，則S20= ______．
13.蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日圓”，且其方程為x2+y2=a2+b2.已知橢圓C：x2m+y22=1的焦點(diǎn)在x軸上，A，B為橢圓C上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線x? 3y?8=0上.若∠APB恒為銳角，根據(jù)蒙日圓的相關(guān)知識，則橢圓C離心率的取值范圍為______．
14.2021年小米重新設(shè)計(jì)了自己的品牌形象.新舊圖像如圖所示，舊lg是一個(gè)正方形，新lg可看作一個(gè)直徑為邊長的一半的圓在原正方形中運(yùn)動(dòng)，保留它運(yùn)動(dòng)過程覆蓋的區(qū)域就是新lg.類比推理，現(xiàn)有一個(gè)棱長為2的正方體，一個(gè)直徑為1的球在正方體內(nèi)部滾動(dòng)，將該球可到達(dá)的區(qū)域保留，不可到達(dá)的區(qū)域割去，得到一個(gè)幾何體，我們稱之為“小米正方體”，則“小米正方體”的體積為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足 3ccsB+ 3bcsC=2acsA．
(1)求角A的大??；
(2)若a=2 3，且△ABC的面積為3 3，求sinB+sinC的值．
16.(本小題15分)
如圖，四邊形ABCD是邊長為5的正方形，半圓面APD⊥平面ABCD，點(diǎn)P為半圓弧AD上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A，D不重合)．
(1)求證：PD⊥PB；
(2)當(dāng)點(diǎn)P為半圓弧AD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)時(shí)，求二面角A?BD?P的正弦值．
17.(本小題15分)
高三某班為緩解學(xué)生高考壓力，班委會(huì)決定在周班會(huì)課上進(jìn)行“聽音樂、猜歌名”的趣味游戲比賽，現(xiàn)將全班學(xué)生分為9組，每組5人，剩余的學(xué)生做裁判.比賽規(guī)則如下：比賽共分為兩輪，第一輪比賽中9個(gè)小組分三場進(jìn)行比賽，每場比賽有3個(gè)小組參加，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)猜對歌名最多的小組獲勝，獲勝的三個(gè)小組進(jìn)入第二輪比賽，第二輪進(jìn)行一場比賽，選出獲勝隊(duì)伍.已知甲、乙、丙3個(gè)小組的學(xué)生能成功猜對歌名的概率分別為45,34,56．
(1)現(xiàn)從乙組中任選一名學(xué)生進(jìn)行歌曲試猜，記5首歌曲中猜對的歌曲數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望；
(2)若從甲、乙、丙3個(gè)小組中任選一名學(xué)生參加猜歌游戲，求該學(xué)生猜對歌曲的概率；
(3)若第二輪比賽中丁、戊兩組并列第一，則設(shè)置以下游戲決定最終獲勝的小組，游戲規(guī)則如下：從丁、戊小組中任選一名代表，從裝有3個(gè)白球和2個(gè)紅球的不透明的盒子中有放回地隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出白球記1分，摸出紅球記2分，以0分開始計(jì)分，恰好獲得10分或11分則結(jié)束摸球.若該代表獲得10分，則該代表所在小組獲得勝利，否則另外一組獲得勝利.若該代表來自丁組，試估計(jì)丁組獲勝的概率．
18.(本小題17分)
已知直線l：y=x+1與雙曲線M：x2m?y23=1(m>0)及其漸近線分別交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D．
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)證明：AC=BD；
(3)若m=2，過雙曲線M上一點(diǎn)P向雙曲線N：x2m?y23=λ作切線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，問是否存在這樣的λ，使得k1?k2為定值？若存在，求出λ的值及定值k1?k2；若不存在，請說明理由．
19.(本小題17分)
若函數(shù)f(x)，g(x)的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，則稱該公共點(diǎn)為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“公切點(diǎn)”．
(1)若函數(shù)f(x)=mx2與g(x)=lnx存在“公切點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=x?1+klnx(k≠0)，直線l是曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t))(t>1)處的切線.求證：直線l不經(jīng)過點(diǎn)(1,0)；
(3)已知函數(shù)f(x)=x2+a,g(x)=bxex，對任意a>0，判斷是否存在b>0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“公切點(diǎn)”？并說明理由．
參考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.D
6.B
7.A
8.D
9.ACD
10.CD
11.ACD
12.590
13.(0, 427)
14.1112π+4
15.解：(1)由 3ccsB+ 3bcsC=2acsA，
根據(jù)正弦定理得 3sinCcsB+ 3sinBcsC=2sinAcsA，
即 3(sinCcsB+sinBcsC)=2sinAcsA，
因?yàn)閟inCcsB+sinBcsC=sin(B+C)=sin(π?A)=sinA，
所以 3sinA=2sinAcsA，
結(jié)合sinA≠0，解得csA= 32，而A∈(0,π)，可得A=π6；
(2)由題意得S△ABC=12bcsinA=3 3，所以bc=6 3sinA=12 3．
由余弦定理a2=b2+c2?2bccsA，得(2 3)2=b2+c2?2×12 3× 32，故b2+c2=48，
所以b+c= b2+c2+2bc= 48+24 3= 12(4+2 3)= 12(1+ 3)2=6+2 3，
結(jié)合正弦定理，得asinA=bsinB=csinC=4 3，
所以sinB=b4 3,sinC=c4 3，可得sinB+sinC=b+c4 3=6+2 34 3= 3+12．
16.(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)P為半圓弧AD上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合)，則PD⊥PA，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，則AB⊥AD，
因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
因?yàn)镻D?平面PAD，則AB⊥PD，
因?yàn)镻D⊥PA，PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，
所以PD⊥平面PAB，
因?yàn)镻B?平面PAB，所以PD⊥PB；
(2)解：因?yàn)锳B⊥平面PAD，CD/?/AB，則CD⊥平面PAD，
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC所在直線分別為x、y軸，
平面PAD內(nèi)過點(diǎn)D且垂直于AD的直線為z軸，
建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

當(dāng)點(diǎn)P為半圓弧AD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)時(shí)，∠PAD=30°，
由于四邊形ABCD是邊長為5的正方形，
則D(0,0,0)、B(5,5,0)、A(5,0,0)、P(54,0,5 34)，
所以DP=(54,0,5 34)，DB=(5,5,0)，
易知平面ABD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1)，
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，
則由m⊥DP，m⊥DB，可得m?DP=54x+5 34z=0m?DB=5x+5y=0，
取x= 3，可得m=( 3,? 3,?1)，
所以cs=m?n|m|?|n|=?1 7=? 77，
故sin= 1?(? 77)2= 427，
即二面角A?BD?P的正弦值為 427．
17.解：(1)由題意可知，X～B(5,34)，
所以E(X)=5×34=154；
(2)記事件A1、A2、A3分別表示該學(xué)生來自甲、乙、丙組，事件B表示該同學(xué)能猜對，
所以P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，P(B|A1)=45，P(B|A2)=34，P(B|A3)=56，
由全概率公式可得P(B)=k=13P(Ak)?P(B|Ak)=13×45+13×34+13×56=143180；
(3)由題意可知，積分增加1分的概率為35，增加2分的概率為25，
記得分為n的概率為Pn，且P1=35，P2=35×35+25=1925，
Pn=35Pn?1+25Pn?2(n≥3,n∈N?)，
所以Pn?Pn?1=?25(Pn?1?Pn?2)，且P2?P1=425，
所以數(shù)列{Pn+1?Pn}是首項(xiàng)為425，公比為?25的等比數(shù)列，
則Pn+1?Pn=425?(?25)n?1=(?25)n+1，
由累加法可得P10=P1+(P2?P1)+(P3?P2)+?+(P10?P9)=35+(?25)2+(?25)3+?+(?25)10=57+27×(25)10，
因此丁組獲勝的概率為57+27×(25)10．
18.(1)解：聯(lián)立y=x+1x2m?y23=1，得(3?m)x2?2mx?4m=0，
由題意可得，m>03?m≠04m2+16m(3?m)>0，解得01，
因?yàn)閗≠0，所以lnt=t?1t(t>1)，即lnt?1+1t=0(t>1)，
令F(t)=lnt?1+1t(t>1)，由F′(t)=1t?1t2=t?1t2>0(t>1)
假設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，則F(t)在(1,+∞)上存在零點(diǎn)，
所以F(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，
所以F(t)>F(1)=0，
故F(t)在(1,+∞)上無零點(diǎn)，
這與假設(shè)矛盾，故直線l不經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，
(3)因?yàn)閒(x)=x2+a,g(x)=bxex，所以f′(x)=2x,g′(x)=b(1?x)ex，
由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x)，得x2+a=bxex2x=b(1?x)ex，
可得x3+x2+ax?a=0，
設(shè)?(x)=x3+x2+ax?a(a>0)，
由于?(0)=?a0，且?(x)的圖象連續(xù)不斷，
所以存在x0∈(0,1)，使得?(x0)=0，
則a=x03+x021?x0，將其代入x2+a=bxex可得b=2x0ex1?x0>0，
此時(shí)x0，a，b滿足方程組，
即(x0,f(x0))是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個(gè)“公切點(diǎn)”，
所以對任意a>0，存在b>0，使得f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“公切線”．

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