一、選擇題
1．對(duì)兩個(gè)變量x和y進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，下列統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值能夠刻畫其經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果的是( )
A.平均數(shù)B.相關(guān)系數(shù)rC.決定系數(shù)D.方差
2．已知是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，，則的值為( )
A.2B.4C.D.
3．關(guān)于復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是( )
A.在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)z和的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱
B.
C.必為實(shí)數(shù)，必為純虛數(shù)
D.若復(fù)數(shù)z為實(shí)系數(shù)一元二次方程的一根，則也必是該方程的根
4．已知M為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則M到點(diǎn)和到直線的距離之比為( )
A.1B.C.D.2
5．如圖，在四面體中，平面，，，則此四面體的外接球表面積為( )
A.B.C.D.
6．某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為，某人存入大額存款元，按照復(fù)利計(jì)算10年后得到的本利和為，下列各數(shù)中與最接近的是( )
7．已知函數(shù)，若沿x軸方向平移的圖象，總能保證平移后的曲線與直線在區(qū)間上至少有2個(gè)交點(diǎn)，至多有3個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A.B.C.D.
8．過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)Q，使得，已知線段的最小值為，則a的值為( )
A.1B.2C.3D.4
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列函數(shù)的圖象與直線相切的有( )
A.B.C.D.
10．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的有( )
A.
B.若，則為直角三角形
C.若為銳角三角形，的最小值為1
D.若為銳角三角形，則的取值范圍為
11．如圖，點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是線段的中點(diǎn)，則( )
A.若點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
B.三棱錐體積的最大值為
C.當(dāng)直線與所成的角為時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
D.當(dāng)P在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，線段長(zhǎng)度最大值為
三、填空題
12．對(duì)于非空集合P，定義函數(shù)已知集合，,若存在，使得，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為____________.
13．已知橢圓與雙曲線，橢圓的短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比大于，則雙曲線離心率的取值范圍為____________.
14．函數(shù)在范圍內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為____________.
四、解答題
15．如圖所示，半圓柱的軸截面為平面，是圓柱底面的直徑，O為底面圓心，為一條母線，E為的中點(diǎn)，且.
（1）求證：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
16．猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機(jī)選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金.假設(shè)甲猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金如下表：
（1）求甲按“A，B，C”的順序猜歌名，至少猜對(duì)兩首歌名的概率；
（2）甲決定按“A，B，C”或者“C，B，A”兩種順序猜歌名，請(qǐng)你計(jì)算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)基金的期望；為了得到更多的獎(jiǎng)勵(lì)基金，請(qǐng)你給出合理的選擇建議，并說明理由.
17．已函數(shù)，其圖象的對(duì)稱中心為.
（1）求的值；
（2）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足；數(shù)列滿足，其中.
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)于給定的正整數(shù)，在和之間插入i個(gè)數(shù)，，…，使，，，…，成等差數(shù)列.
（i）求；
（ii）是否存在正整數(shù)m，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的m的值；若不存在，說明理由.
19．直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點(diǎn)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.
（1）若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求m，n滿足的關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)不在線族：的任意一條直線上，求的取值范和直線族的包絡(luò)曲線E；
（3）在（2）的條件下，過曲線E上A，B兩點(diǎn)作曲線E的切線，，其交點(diǎn)為P.已知點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)不共線，探究是否成立？請(qǐng)說明理由.
參考答案
1．答案：C
解析：平均數(shù)與方差是用來反饋數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)與波動(dòng)程度大小的統(tǒng)計(jì)量；
變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越大，則變量y和x之間線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)；
用決定系數(shù)來刻畫回歸效果，越大說明擬合效果越好.
故選：C.
2．答案：C
解析：由可得：等比數(shù)列的公比.
，化簡(jiǎn)得，整理得，
，
又，
，
.
故選：C.
3．答案：D
解析：對(duì)于選項(xiàng)A，表示復(fù)數(shù)z和的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤：
對(duì)于選項(xiàng)B和選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)均不成立，故BC錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，若方程的可得z為實(shí)數(shù)，即，符合題意；
若，則方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為和，
此時(shí)兩根互為共軛復(fù)數(shù)，因此D正確.
故選：D.
4．答案：C
解析：在雙曲線上任一點(diǎn)，則，
則點(diǎn)到點(diǎn)和到直線的距離之比為：.
故選:C.
5．答案：B
解析：將四面體補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為2、1、2，
四面體的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，
而長(zhǎng)方體的外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)外接球的半徑為R，
故，所以外接球表面積為.
故選：B.
6．答案：D
解析：存入大額存款元，按照復(fù)利計(jì)算，
可得每年末本利和是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
可得，
故選：D.
7．答案：A
解析：由可得：，
若沿x軸方向平移，考慮其任意性，不妨設(shè)得到的函數(shù).
令，即，，取，則.
依題意知，在上至少有2解，至多有3解，
則須使區(qū)間的長(zhǎng)度在到之間，即，解得.
故選：A.
8．答案：A
解析：圓心，半徑為2，則圓C與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為，
則，則，
設(shè)的中點(diǎn)為D，連接，則，
令圓心C到直線的距離為d，則，，
由，得，
因此，而的最小值為，
所以，則.
故選：A.
9．答案：AC
解析：選項(xiàng)A中，若與相切，設(shè)切點(diǎn)為，
易知，則，解得，即切點(diǎn)為，切線為，A正確；
選項(xiàng)B中，若與相切，設(shè)切點(diǎn)為，
易知，則，解得，切點(diǎn)為，切線方程為，即B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C中，若與相切，設(shè)切點(diǎn)為，
易知，則，解得，，
當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，切線方程為，C正確；
選項(xiàng)D中，易知與有三個(gè)交點(diǎn)，，，，
又，顯然在三個(gè)交點(diǎn)處的斜率均不是1，所以不是切線，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．答案：ABD
解析：對(duì)于A，中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，，則，故，所以或，
即或（舍去），即，A正確；
對(duì)于B，若，結(jié)合和正弦定理知，，
又，，所以可得，，B正確；
對(duì)于C，在銳角中，，，，即，.
故，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在銳角中，由，，
，
令，則，
易知函數(shù)單調(diào)遞增，所以可得，D正確；
故選：ABD.
11．答案：CD
解析：對(duì)于A，易知平面，平面，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為矩形，
動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為矩形的周長(zhǎng)，即為，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋冗叺拿娣e為定值，
要使三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P到平面的距離最大，
易知點(diǎn)C是正方體到平面距離最大的點(diǎn)，
所以，此時(shí)三棱錐即為棱長(zhǎng)是的正四面體，
其高為，所以，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：連接AC，，以B為圓心，為半徑畫弧，如圖1所示，
當(dāng)點(diǎn)P在線段,和弧上時(shí)，直線與所成的角為，
又，,
弧長(zhǎng)度，故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，故C正確；
對(duì)于D，取，，，，，的中點(diǎn)分別為Q，R，N，M，T，H，
連接，，，，，，，，，如圖2所示，
因?yàn)?，平面，平面，故平面?br>，平面，平面，故平面；
又，，平面，故平面平面；
又，，，
故平面與平面是同一個(gè)平面.
則點(diǎn)P的軌跡為線段：
在三角形中，，，，
則，
故三角形是以為直角的直角三角形；
故，故長(zhǎng)度的最大值為，故D正確.
故選：CD.
12．答案：
解析：由題知：可取，0，
若.則，
即集合，得，即t的取值范圍為.
故答案為：.
13．答案：
解析：依題意，對(duì)于橢圓方程，，對(duì)于雙曲線方程，.
不妨設(shè)，則，于是，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，即，故雙曲線離心率的取值范圍為.
故答案為：.
14．答案：2
解析：易知.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，和均為單調(diào)減函數(shù)，
令，，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在上是單調(diào)增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知為減函數(shù)，又，
易知，，由零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，
同理可得，，所以函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，
結(jié)合的正負(fù)情況，的零點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)，
因此函數(shù)在內(nèi)一共有2個(gè)極值點(diǎn).
故答案為：2.
15．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）由是直徑可知，則是等腰直角三角形，故，
由圓柱的特征可知平面，又平面，所以，
因?yàn)椋?，平面，則平面，
而平面，則，
因?yàn)?，則，所以，
，.
所以，
因?yàn)椋?，，，平面?br>所以平面，又平面，故.
（2）由題意及（1）易知，，兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，所以，，，
由（1）知平面，故平面的一個(gè)法向量是，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則有，取，可得
設(shè)平面與平面夾角為，
所以，
則平面與平面夾角的余弦值為.
16．答案：（1）0.4
（2）期望都是2200，按照“A，B，C”的順序猜歌名，理由見解析.
解析：（1）由題意可知甲按“A，B，C”的順序猜歌名，至少猜對(duì)兩首歌名分兩種情況：猜對(duì)A，B；猜對(duì)A，B，C，這兩種情況不會(huì)同時(shí)發(fā)生.
設(shè)“甲按“A，B，C”的順序猜歌名至少猜對(duì)兩首歌名”為事件E，
由甲猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立可得
.
（2）甲決定按“A，B，C”順序猜歌名，獲得的獎(jiǎng)金數(shù)記為X，
則X的所有可能取值為0,1000,3000,6000，
，
，
，
，
所以；
甲決定按“C，B，A”順序猜歌名，獲得的獎(jiǎng)金數(shù)記為Y，
則Y的所有可能取值為0,3000,5000,6000，
，
，
，
，
所以.
參考答案一：由于，
由于，所以應(yīng)該按照“A，B，C”的順序猜歌名.
參考答案二：甲按“C，B，A”的順序猜歌名時(shí)，獲得0元的概率為0.5，大于按照“A，B，C”的順序猜歌名時(shí)獲得0元的概率0.2，所以應(yīng)該按照“A，B，C”的順序猜歌名.
17．答案：（1）
（2）答案見解析
解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故為奇函數(shù)，
從而有，即，
，
，
所以，解得，
所以.
（2）由（1）可知，，，，
①當(dāng)時(shí)，，，所以在R上單調(diào)遞增，
，，
函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，，，
有兩個(gè)正根，不妨設(shè)，則，
函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，，
令，解得或，
有兩個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)時(shí)，，，
有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，不妨設(shè)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)；
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).
18．答案：（1），
（2）（i）；（ii）存在，
解析：（1）由①，當(dāng)時(shí)，②，
得，
當(dāng)時(shí)，，，
是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故，
由③.由
得，又④.
④-③得，
的所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列：
所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.
得，，.
綜上可得，.
（2）（i）在和之間新插入n個(gè)數(shù)，，…，使，，，…，，成等差數(shù)列，
設(shè)公差為，則，
則，.
⑤
則⑥
⑤-⑥得：，
所以可得.
（ii）由（1），，又，
由已知，
假設(shè)是數(shù)列或中的一項(xiàng)，
不妨設(shè)，，
因?yàn)?，，所以，而?br>所以不可能是數(shù)列中的項(xiàng).
假設(shè)是中的項(xiàng)，則.
當(dāng)時(shí)，有，即，
令，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
由，知無解.
當(dāng)時(shí)，有，即.
所以存在使得是數(shù)列中的第3項(xiàng)；
又對(duì)于任意正整數(shù)均有，所以時(shí)，方程均無解；
綜上可知，存在正整數(shù)使得是數(shù)列中的第3項(xiàng).
19．答案：（1）
（2），
（3）成立，理由見解析
解析：（1）由定義可知，與相切，
則圓的圓心到直線的距離等于1，
則，.
（2）點(diǎn)不在直線族的任意一條直線上，
所以無論a取何值時(shí)，無解.
將整理成關(guān)于a的一元二次方程，
即.
若該方程無解，則，即.
證明：在上任取一點(diǎn)在該點(diǎn)處的切線斜率為，
于是可以得到在點(diǎn)處的切線方程為：，
即.
今直線族中，
則直線為，
所以該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線，
而對(duì)任意，那是拋物線在點(diǎn)處的切線.
所以直線族的包絡(luò)曲線E為.
（3）法一：已知，設(shè)，，
則，，，；
由（2）知在點(diǎn)處的切線方程為；
同理在點(diǎn)處的切線方程為；
聯(lián)立可得，所以.
因此，
同理.
所以，，
即，可得，
所以成立.
法二：過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，，連接，，如圖所示：
則，因?yàn)椋?，顯然.
又由拋物線定義得，故為線段的中垂線，得到，即.
同理可知，，
所以，即.
則.
所以成立.
歌曲
A
B
C
猜對(duì)的概率
0.8
0.5
0.5
獲得的獎(jiǎng)勵(lì)基金金額/元
1000
2000
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