1.已知空間向量a=(2,x,1),b=(?1,2,1)，若(a?b)⊥b，則x=( )
A. 72B. 3C. 52D. 2
2.數(shù)列{an}中，a1=?14，an=1?1an?1(n≥2)，則a2023的值為( )
A. ?14B. 45C. 5D. 54
3.某電腦公司有3名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表所示：
由表中數(shù)據(jù)算出經(jīng)驗(yàn)回歸方程y?=b?x+a?中的b =726.若第4名推銷員的工作年限為7年，則估計(jì)他的年推銷金額為( )
A. 3.08萬元B. 3.14萬元C. 3.21萬元D. 3.27萬元
4.3月15日是國際消費(fèi)者權(quán)益日.中央電視臺特地推出3.15公益晚會，曝光了食品、醫(yī)美、直播等多領(lǐng)域亂象，在很大程度上震懾了一些不良商家，也增強(qiáng)了消費(fèi)者的維權(quán)意識.一名市民在某商店買了一只燈泡，結(jié)果用了兩個(gè)月就壞了，他撥打了12315投訴電話.通過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該商店將一些不合格燈泡混入一批合格燈泡中以次充好賣給顧客.假設(shè)合格燈泡在使用1000小時(shí)后損壞的概率為0.004，不合格燈泡在使用1000小時(shí)后損壞的概率為0.4，若混入的不合格燈泡數(shù)占燈泡總數(shù)的25%，現(xiàn)一顧客在該商店買一只燈泡，則該燈泡在使用1000小時(shí)后不會損壞的概率為( )
A. 0.103B. 0.301C. 0.897D. 0.699
5.2024年4月22日至23日，習(xí)近平總書記在重慶市考察調(diào)研，某街道辦派甲、乙等6名志愿者到三個(gè)路口做引導(dǎo)員，每位志愿者去一個(gè)路口，每個(gè)路口兩位引導(dǎo)員，若甲和乙不能去同一個(gè)路口，則不同的安排方案總數(shù)為( )
A. 108種B. 54種C. 36種D. 72種
6.已知圓C：x2+y2?6x?8y+21=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C為直徑的圓C′與圓C交于A、B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. 直線AB的方程為3x+4y?21=0B. |AB|=4 215
C. OA、OB均與圓C相切D. 四邊形CAOB的面積為4 21
7.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線2x?y?1=0對稱，若橢圓離心率為 63，則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A. (34,12)B. (2,3)C. (38,?14)D. (27,?37)
8.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且cs∠BAC=?45，AB⊥BD，則E的離心率為( )
A. 52B. 102C. 142D. 5
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.在下列關(guān)于二項(xiàng)式的命題中，正確的是( )
A. 若二項(xiàng)式(a+b)n的展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=5
B. 若(1?2x)8=a0+a1x+a2x2+...+a8x8，則a1+a2+a3+...+a8=0
C. 在(2x?1 x)6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為60
D. (1+x)(1?x)5的展開式中，x2的系數(shù)為5
10.如圖，棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1D1，AA1的中點(diǎn)，G為面對角線B1C上一個(gè)動點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的有( )
A. 三棱錐A1?EFG的體積為定值13
B. 無論點(diǎn)G在線段B1C的什么位置，都有平面EFG⊥平面A1B1CD
C. 線段B1C上存在G點(diǎn)，使平面EFG//平面BDC1
D. G為B1C上靠近B1的四等分點(diǎn)時(shí)，直線EG與BC1所成角最小
11.已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，A，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 若AF=2FB，則|AB|=9
B. 若|AF|=4，則△AOF的面積為 3
C. 若OA⊥OB，則|OA|?|OB|≥128
D. 若∠AFB=60°，AB的中點(diǎn)M在C的準(zhǔn)線上的投影為N，則|MN|≤|AB|
三、填空題：本題共3小題，共20分。
12.某中學(xué)2400名學(xué)生參加一分鐘跳繩測試.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，成績X近似服從正態(tài)分布N(108,σ2)，已知成績小于76的有300人，則可估計(jì)該校一分鐘跳繩成績X在108～140之間的人數(shù)約為______．
13.由0，1，2，3，4，5，6這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，且偶數(shù)數(shù)字從小到大排列(由高數(shù)位到低數(shù)位)，這樣的七位數(shù)有______個(gè).
14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)λ(λ>0,λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=12，點(diǎn)E在棱AB上，BE=2AE，動點(diǎn)P滿足BP= 3PE，若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)P對應(yīng)的軌跡的面積是______；F為C1D1的中點(diǎn)，則三棱錐P?B1CF體積的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知點(diǎn)P(1,2)，圓C：x2+y2?6y=0．
(1)若直線l過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上截距之和等于0，求直線l的方程；
(2)設(shè)A是圓C上的動點(diǎn)，求OA?OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的取值范圍．
16.(本小題12分)
已知非零數(shù)列{an}滿足：a1=1，an?an+1=2an?an+1(n∈N?).
(1)求證：{1an}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an?an+1}的前n項(xiàng)和Sn．
17.(本小題12分)
目前電動車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種，某公司為了了解該市電動車消費(fèi)者對這兩種電池電動車的偏好，隨機(jī)調(diào)查了500名電動車用戶，其中男性用戶300名，在被調(diào)查的女性用戶中偏好鉛酸電池電動車的占35，得到以下的2×2列聯(lián)表：
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該市電動車用戶對這兩種電池的電動車的偏好與性別有關(guān)；
(2)從偏好石墨烯電池電動車的用戶中按性別比例用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取7人進(jìn)行問卷調(diào)查，再從這7名用戶中抽取2人進(jìn)行座談，在有女性用戶參加座談的條件下，求恰有兩名女性用戶參加座談的概率；
(3)用樣本的頻率估計(jì)概率，在該市所有女性電動車用戶中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行新車試駕，記3名參加試駕的女性用戶中偏好石墨烯電池電動車的人數(shù)為X，求X的分布列．
參考公式：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
參考數(shù)據(jù)：
18.(本小題12分)
如圖，在多面體ABCDEF中，F(xiàn)D⊥平面ABCD，四邊形ADEF為平行四邊形，AB//CD，AD⊥CD，F(xiàn)D=AB=AD=12CD=2，P為EC的中點(diǎn)．
(1)求證：BF⊥BC；
(2)求直線BD與平面BEF所成角的正弦值；
(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)H，使得平面DHP與平面BEF的夾角的余弦值為 4214？若存在，求BHBC的值；若不存在，請說明理由．
19.(本小題12分)
已知F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)，動點(diǎn)P滿足|PF1|?|PF2|=2 2．
(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)設(shè)在P點(diǎn)處曲線C的切線為l：y=kx+m，若M，N為l上兩點(diǎn)，且滿足OF2?MF2=0，PF2?NF2=0，
(i)證明：N點(diǎn)在定直線上，并求出定直線方程；
(ii)是否存在點(diǎn)P使tan∠PNF2?tan∠PF2M=2成立，若存在，求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
參考答案
1.A
2.A
3.D
4.C
5.D
6.D
7.A
8.B
9.BCD
10.ABD
11.ACD
12.900
13.90
14.48π 108?24 6
15.解：(1)當(dāng)截距均為0即直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx.代入P(1,2)，解得k=2，直線方程為2x?y=0；
當(dāng)截距均不為0時(shí)，由題意可設(shè)xa+y?a=1，代入P(1,2)，解得a=?1，直線方程為x?y+1=0；
所以所求直線方程為2x?y=0和x?y+1=0．
(2)解析：(三角換元)
將圓C方程整理為x2+(y?3)2=9，則有x=3csθy?3=3sinθ，
所以可設(shè)A(3csθ,3+3sinθ)，
則OA?OP=3csθ+2(3+3sinθ)=6+3 5sin(θ+φ)，
由于θ∈R，
所以O(shè)A?OP∈[6?3 5,6+3 5]．
16.解：(1)證明：因?yàn)榉橇銛?shù)列{an}滿足：a1=1，an?an+1=2an?an+1(n∈N?)，
所以1an+1?1an=2，所以數(shù)列{1an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；
(2)由(1)知，1an=1+2(n?1)=2n?1，則an=12n?1，
所以anan+1=1(2n?1)(2n+1)=12(12n?1?12n+1)，
所以Sn=12(11?13+13?15+…+12n?1?12n+1)
=12(1?12n+1)=n2n+1．
17.解：(1)被調(diào)查的女性市民人數(shù)為500?200?100=200，
其中偏好鉛酸電池電動車的女性市民人數(shù)為200×35=120．
偏好石墨烯電池電動車的女性市民人數(shù)為200?120=80，
所以2×2列聯(lián)表為：
零假設(shè)H0：市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別無關(guān)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得
χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=500×(200×120?80×100)2300×200×280×220≈34.632，
由于χ2=34.632>7.879，
根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，
即認(rèn)為市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別有關(guān)．
(2)因?yàn)槠檬╇姵仉妱榆嚨氖忻裰?，男性市民與女性市民的比為20080=52，
所以采用分層抽樣的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，
設(shè)“恰有兩名女性市民參加座談”為事件B，“有女性市民參加座談”為事件A，
則P(A)=C51C21+C22C72=1121，P(AB)=C22C72=121，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1211121×=111．
(3)根據(jù)頻率估計(jì)概率知，女性用戶中偏好石墨烯電池電動車的概率為80200=25，
偏好鉛酸電池電動車的概率為120200=35，
參加試駕的女性用戶中偏好石墨烯電池電動車的人數(shù)為X，X可能取值為0，1，2，3，
P(X=3)=C33(25)3(35)0=8125，
P(X=2)=C32(25)2(35)1=36125，
P(X=0)=C30(25)0(35)3=27125，
P(X=1)=C31(25)1(35)2=54125
故X的分布列如下：

18.解：(1)證明：因?yàn)镕D⊥平面ABCD，AD，CD?平面ABCD，
所以FD⊥AD，F(xiàn)D⊥CD，
又AD⊥CD，所以DA，DC，DF兩兩垂直，
以DA，DC，DF所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則A(2,0,0)，B(2,2,0)，F(xiàn)(0,0,2)，E(?2,0,2)，C(0,4,0)，P(?1,2,1)，BF=(?2,?2,2),BC=(?2,2,0)，
所以BF?BC=0，所以BF⊥BC．
(2)設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量n2=(x2,y2,z2)，
因?yàn)锽F=(?2,?2,2),EF=(2,0,0)，EF=(2,0,0)，
則n2⊥BFn2⊥EF，所以n2?BF=0n2?EF=0，即?2x2?2y2+2z2=02x2=0，
令y2=1，則x2=0，z2=1，
所以n2=(0,1,1)，
又DB=(2,2,0)，設(shè)直線BD與平面BEF所成角θ，
則sinθ=|DB?n2||DB|?|n2|=22 2× 2=12．
(3)假設(shè)存在，設(shè)BH=tBC(0≤t≤1)，則BH=t(?2,2,0)=(?2t,2t,0)，
所以DH=DB+BH=(2?2t,2+2t,0)，
設(shè)平面DHP的一個(gè)法向量n1=(x1,y1,z1)，因?yàn)镈P=(?1,2,1)，
則n1⊥DPn1⊥DH，所以n1?DP=0n1?DH=0，即?x1+2y1+z1=0(2?2t)x1+(2+2t)y1=0，
令x1=1+t，則y1=t?1，z1=3?t，y1=t?1，z1=3?t，
所以n1=(1+t,t?1,3?t)，
由(2)問可知：平面BEF的一個(gè)法向量為n2=(0,1,1)，
設(shè)平面DHP與平面BEF的夾角為α，
則csα=|cs?n1,n2?|=|n1?n2||n1|?|n2|=2 3t2?6t+11× 2= 4214，
解得t=13或t=53(舍)，
所以存在點(diǎn)H，使得滿足要求，此時(shí)BH=13BC，即BHBC=13．
19.解：(1)因?yàn)閨PF1|?|PF2|=2 2

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