1．（4分）若，則 ．
2．（4分）把化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式為 ．
3．（4分）語句“或”的否定形式是 ．
4．（4分）化簡 ．
5．（4分）若全集，2，3，4，5，6，7，8，9，，，5，，，9，，則 ．
6．（4分）若一元二次方程兩實數(shù)根為，，則 ．
7．（5分）若“”是“”的必要非充分條件，則實數(shù)的取值范圍是為 ．
8．（5分）若關于的不等式解集為，則關于的不等式的解集為 ．
9．（5分）設，則可用表示為 ．
10．（5分）若集合或，，且，，則的值為 ．
11．（5分）行知中學高一某班學生參加物理和數(shù)學競賽輔導班的選拔，已知該班學生參加物理競賽輔導選拔的人數(shù)是該班全體人數(shù)的八分之三；參加數(shù)學競賽輔導選拔的人數(shù)比參加物理競賽輔導選拔的人數(shù)多3人；兩個科目都參加選拔的人數(shù)比兩個科目都不參加的學生人數(shù)少7人；則該班參加數(shù)學競賽輔導選拔的人數(shù)是 ．
12．（5分）若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
二、選擇題（每題有且只有一個正確選項，每小題5分共20分）
13．（5分）下列函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)的是
A．B．C．D．
14．（5分）下列不等式中正確的是
A．若且，則B．若，則
C．若，則D．若，則
15．（5分）下列運用平均值不等式求最小值結果正確的是
A．若，則由得的最小值是0
B．若則由得的最小值為2
C．若且，則由得的最小值為2
D．設，則由得最小值是2
16．（5分）用（A）表非空集合中元素的個數(shù)，定義，若，，且，設實數(shù)的所有可能取值構成集合，則
A．4B．3C．2D．9
三、解答題（需要寫出必要的解題步驟，僅有結果不得分，共76分，）
17．（14分）解下列不等式：
（1）；
（2）．
18．（14分）已知關于的一元二次方程，
（1）若，求證：；
（2）若，，時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．
19．（14分）已知某市最低工資標準為每月2590元，為了解決該市房價過高的問題，政府計劃對低收入的本市戶籍居民購買第一套住房的，每月提供一定金額的貸款補貼：補貼規(guī)則：個人月收入不高于6000元的，對貸款進行補貼，補貼標準為：貸款月還款額，貸款月還款額不得高于8000元，貸款月還款額高于8000元的，只對8000元部分進行補貼，高于8000元部分不予補貼．
（1）若某人工資為4000元，貸款月還款額為5000元，則他每月獲得的貸款補貼是多少元？
（2）對于月工資收入不高于6000元的貸款買房的居民中，若貸款月還款額均為5000元，且約定；實際月收入月工資月貸款補貼月還貸款，則貸款買房的居民中實際月收入最低為多少元？（結果均保留整數(shù)位，購房人均符合貸款條件，均不考慮扣稅問題）
20．（16分）已知自變量為的函數(shù)，
（1）若且，則函數(shù)圖像可由冪函數(shù)_____（寫解析式）先沿軸方向_____平移_____個單位，再沿軸方向向上平移_____個單位得到；
（2）當且時不等式對恒成立，求實數(shù)的最大值；
（3）吉且關于的不等式解集是單元素集、試寫出函數(shù)的嚴格單調區(qū)間，并說明單調性（不需要證明單調性）．
21．（18分）對于任意有限集，，定義集合，，表示的元素個數(shù)．已知集合，為實數(shù)集的非空有限子集，設集合，，．
（1）若，2，，，，求集合和；
（2）已知為有限集，若，證明：．
（3）若，求的值．
參考答案
一、填空題（共12題；1-6題每題4分，7-12題每題5分，滿分54分）
1．（4分）若，則 2 ．
【答案】2．
解：若，
則．
故答案為：2．
2．（4分）把化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式為 ．
【答案】．
解：．
故答案為：．
3．（4分）語句“或”的否定形式是 ．
【答案】．
解：“或”的否定形式為：．
故答案為：．
4．（4分）化簡 1 ．
【答案】1．
解：
．
故答案為：1．
5．（4分）若全集，2，3，4，5，6，7，8，9，，，5，，，9，，則 ，2，4， ．
【答案】，2，4，．
解：，5，，，9，，
，5，7，8，9，，
，2，3，4，5，6，7，8，9，，
，2，4，．
故答案為：，2，4，．
6．（4分）若一元二次方程兩實數(shù)根為，，則 ．
【答案】．
解：由題意得，，
所以．
故答案為：．
7．（5分）若“”是“”的必要非充分條件，則實數(shù)的取值范圍是為 ， ．
【答案】，．
解：是的必要非充分條件，
，，，
，
實數(shù)的取值范圍是為，，
故答案為：，．
8．（5分）若關于的不等式解集為，則關于的不等式的解集為 ．
【答案】．
解：因為關于的不等式解集為，
則1為方程的根，且，則，
所以不等式化簡為：，解得，
所以不等式的解集為，
故答案為：．
9．（5分）設，則可用表示為 ．
【答案】．
解：因為，
則．
故答案為：．
10．（5分）若集合或，，且，，則的值為 2 ．
【答案】2．
解：集合或，，且，，
，，
．
故答案為：2．
11．（5分）行知中學高一某班學生參加物理和數(shù)學競賽輔導班的選拔，已知該班學生參加物理競賽輔導選拔的人數(shù)是該班全體人數(shù)的八分之三；參加數(shù)學競賽輔導選拔的人數(shù)比參加物理競賽輔導選拔的人數(shù)多3人；兩個科目都參加選拔的人數(shù)比兩個科目都不參加的學生人數(shù)少7人；則該班參加數(shù)學競賽輔導選拔的人數(shù)是 18 ．
【答案】18．
解：記該班全體同學形成集合，該班學生人數(shù)為，
參加物理競賽輔導選拔的人形成集合，則（A），
參加數(shù)學競賽輔導選拔的人形成集合，則（B），
兩個科目都參加選拔的人數(shù)為，
（A）（B），
兩個科目都不參加的學生人數(shù)為，
依題意，
，解得，則（B）．
故答案為：18．
12．（5分）若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ， ．
【答案】，．
解：當時，不等式對恒成立，則；
當時，不等式，
令，則有，依題意，不等式對恒成立，
令
，則，
又，因此，即，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：，．
二、選擇題（每題有且只有一個正確選項，每小題5分共20分）
13．（5分）下列函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)的是
A．B．C．D．
【答案】
解：指數(shù)函數(shù)是形如且的函數(shù)，
對于，系數(shù)不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)；
對于，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù)；
對于，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù)；
對于，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù)；
故選：．
14．（5分）下列不等式中正確的是
A．若且，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】
解：，，
，
即，
故選項正確；
當時，，
故選項錯誤；
，
，
故選項錯誤；
當時，，但不成立，
故選項錯誤；
故選：．
15．（5分）下列運用平均值不等式求最小值結果正確的是
A．若，則由得的最小值是0
B．若則由得的最小值為2
C．若且，則由得的最小值為2
D．設，則由得最小值是2
【答案】
解：．的最小值為1，錯誤；
，的最小值為，錯誤；
．時，，得不出的最小值為2；
．，，，當時等號成立，的最小值是2，正確．
故選：．
16．（5分）用（A）表非空集合中元素的個數(shù)，定義，若，，且，設實數(shù)的所有可能取值構成集合，則
A．4B．3C．2D．9
【答案】
解：由于，，且，則（B）或2，
顯然，則，故（B），
由于0不是的根，則有兩個相等的實數(shù)根，
故△，從而，故．
故選：．
三、解答題（需要寫出必要的解題步驟，僅有結果不得分，共76分，）
17．（14分）解下列不等式：
（1）；
（2）．
【答案】（1），，．
（2）．
解：（1）原不等式可化為，即，
，
解得或，
即不等式的解集為，，．
（2）由得，，
解得，
即不等式的解集為．
18．（14分）已知關于的一元二次方程，
（1）若，求證：；
（2）若，，時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）證明過程如上解析；（2）．
解：（1）證明：，
因為時，，，，所以，
即；
（2）方程有兩個不相等的正實數(shù)根，
則，解得，
即實數(shù)的范圍為．
19．（14分）已知某市最低工資標準為每月2590元，為了解決該市房價過高的問題，政府計劃對低收入的本市戶籍居民購買第一套住房的，每月提供一定金額的貸款補貼：補貼規(guī)則：個人月收入不高于6000元的，對貸款進行補貼，補貼標準為：貸款月還款額，貸款月還款額不得高于8000元，貸款月還款額高于8000元的，只對8000元部分進行補貼，高于8000元部分不予補貼．
（1）若某人工資為4000元，貸款月還款額為5000元，則他每月獲得的貸款補貼是多少元？
（2）對于月工資收入不高于6000元的貸款買房的居民中，若貸款月還款額均為5000元，且約定；實際月收入月工資月貸款補貼月還貸款，則貸款買房的居民中實際月收入最低為多少元？（結果均保留整數(shù)位，購房人均符合貸款條件，均不考慮扣稅問題）
【答案】（1）2500元；（2）實際月收入最低為1324元．
解：（1）由于個人每月收入不高于 6000 元的，對貸款進行補貼，
補貼標準為：貸款月還款額，且貸款月還款額不得高于8000元．
若某人工資為4000元，貸款月還款額為5000元，
所以他每月獲得的貸款補貼是：（元；
（2）設月工資收入為元，
則實際月收入：，
當且僅當元時等號成立，
所以當時，實際月收入最低為1324元．
20．（16分）已知自變量為的函數(shù)，
（1）若且，則函數(shù)圖像可由冪函數(shù)_____（寫解析式）先沿軸方向_____平移_____個單位，再沿軸方向向上平移_____個單位得到；
（2）當且時不等式對恒成立，求實數(shù)的最大值；
（3）吉且關于的不等式解集是單元素集、試寫出函數(shù)的嚴格單調區(qū)間，并說明單調性（不需要證明單調性）．
【答案】（1），向左，一，一；
（2）4；
（3）單調遞增區(qū)間為和．
【解答】（1）解：已知自變量為的函數(shù)，
當且時，，
是由冪函數(shù)，先沿軸方向向左平移一個單位，再沿軸方向向上平移一個單位得到；
（2）解：當且時不等式即對恒成立，
因為且，所以，
所以等價于對恒成立，
即對恒成立，
因為函數(shù)的對稱軸，且，
則只需，解得，所以的最大值為4；
（3）解：因為關于的不等式解集是單元素集，
由，則或，
若，則，解得，此時不等式為，解得，不符合題意，
若，即，解得或，
則，
令，則，解得或，
當，解得，，解得（舍去），
所以，
則函數(shù)即為，
因為在和上單調遞增，
所以的單調遞增區(qū)間為和．
21．（18分）對于任意有限集，，定義集合，，表示的元素個數(shù)．已知集合，為實數(shù)集的非空有限子集，設集合，，．
（1）若，2，，，，求集合和；
（2）已知為有限集，若，證明：．
（3）若，求的值．
【答案】（1），1，2，3，，．
（2）證明過程見解答；
（3）3或4．
解：（1）集合，，，而，2，，，，
，1，2，3，，．
（2）證明：依題意，，，，
，
當且僅當時，取等號，
若中至少含有一個不在中的元素，則有，
當時，則有，
為有限集，且，
令的最小元素為，此時集合中最小的元素為，集合中最小的元素，
集合中最小的元素為，，
，有，
．
（3），集合，，，
若或，則，不合題意，
或，
當集合，中有存在3元素的集合時，令，令，，，，
若，，，
則有，
若，則，滿足，此時．
若，則，此時，不合題意，
的值為3或4．

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