注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊第六章至第七章.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算求解.
【詳解】若，，則.
故選：A.
2. 已知向量，，若，則（ ）
A. B. C. 10D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量共線的坐標(biāo)表示，列式計算即得.
【詳解】向量，，由，得，所以.
故選：D
3. 已知的三邊長分別為1，4，，則最大的內(nèi)角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判斷得到為最大角，利用余弦定理表示出，把三邊長代入求出的值，即可確定出的度數(shù)．
【詳解】設(shè)1，4，所對角分別為A,B,C,由三角形中大邊對大角，則最大角為C，
則，,則該三角形最大內(nèi)角為．
故選：B．
4. 已知向量的夾角為，且，則（ ）
A. 6B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量減法的幾何意義，結(jié)合平面幾何的知識可解.
【詳解】在邊長為6的等邊三角形中，設(shè)，
則，故.
故選：A
5. 若外接圓的半徑為2，且，則（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出角A，再利用正弦定理求解.
【詳解】中,,故，
由正弦定理知，故.
故選：C.
6. 設(shè)是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，是平面內(nèi)一動點(diǎn)，若，則點(diǎn)是的（ ）
A. 垂心B. 內(nèi)心C. 重心D. 外心
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加減法法則計算化簡，再運(yùn)用向量垂直的充要條件進(jìn)行判斷即得.
【詳解】由題意可得，則，故點(diǎn)是的垂心.
故選：A.
7. 已知兩個單位向量和的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及投影向量的定義即可求解.
【詳解】因?yàn)楹褪菃挝幌蛄壳見A角為，
所以，，，
所以，即，即，
向量在向量上的投影向量為.
故選：B.
8. 在中，角的對邊分別是，若，則的形狀為（ ）
A. 等腰三角形B. 銳角三角形
C. 直角三角形D. 鈍角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式化簡已知式即可得出答案.
【詳解】由正弦定理可得，
所以，
即，所以，
又因?yàn)?，所以，則，
又因?yàn)?，所?
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列關(guān)于向量的說法中，正確的是（ ）
A. 若向量互為相反向量，則
B. 若，則
C. 若兩個相等向量的起點(diǎn)相同，則它們的終點(diǎn)一定相同
D. 若與是共線向量，則三點(diǎn)共線
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)向量的定義和相關(guān)概念，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】由向量互為相反向量，得的長度相等，即，則A正確；
當(dāng)時，向量可以不平行，則B錯誤；
由，得表示向量的有向線段的長度和方向都相同.由兩個相等向量的起點(diǎn)相同，得這兩個向量的終點(diǎn)一定相同，則C正確；
由，且有公共點(diǎn)，得三點(diǎn)共線，則D正確.
故選：ACD
10. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 的虛部為
B. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
C. 若為純虛數(shù)，則
D. 若z滿足，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接利用復(fù)數(shù)的概念，幾何意義及運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對A, 的虛部為，故A正確；
對B, 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故B錯誤；
對C, 若為純虛數(shù)，則,解得，故C正確；
對D, ,故D正確.
故選：ACD.
11. 初春時節(jié)，南部戰(zhàn)區(qū)海軍某登陸艦支隊(duì)多艘艦艇組成編隊(duì)，奔赴多個海區(qū)開展實(shí)戰(zhàn)化海上訓(xùn)練.在一次海上訓(xùn)練中，雷達(dá)兵在處發(fā)現(xiàn)在北偏東方向，相距30公里的水面處，有一艘艦艇發(fā)出液貨補(bǔ)給需求，它正以每小時50公里的速度沿南偏東方向前進(jìn)，這個雷達(dá)兵立馬協(xié)調(diào)在處的艦艇以每小時70公里的速度，沿北偏東方向與艦艇對接并進(jìn)行橫向液貨補(bǔ)給.若艦艇要在最短的時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)橫向液貨補(bǔ)給，則（ ）

A. 艦艇所需的時間為1小時B. 艦艇所需的時間為2小時
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】設(shè)出所需時間，分別表示,在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得的值，即可判斷結(jié)果.
【詳解】
如圖，設(shè)艦艇經(jīng)過小時后在處與艦艇匯合，則.
根據(jù)余弦定理得，解得或（舍去），
故.由正弦定理得，解得
故選：AD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在△ABC中，角B為鈍角，，則AC的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】已知兩邊及其夾角，故而采用余弦定理計算即可.
【詳解】在中利用余弦定理，
則，
角B為鈍角，故，即，解得，AC>10
又中，
故AC的取值范圍是．
故答案為：.
13. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則______，______．
【答案】 ① ## ②.
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡得z,進(jìn)而求得共軛復(fù)數(shù)，再求模長即可
【詳解】，
故答案為：；
14. 在中，，，設(shè)，其中，當(dāng)時，點(diǎn)Q在某線段上運(yùn)動，則該線段的長度為______．
【答案】
【解析】
【分析】由數(shù)量積求出，以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，向量坐標(biāo)化得到Q的軌跡，即可求出長度
【詳解】，故，
又，故
建立如圖坐標(biāo)系，則設(shè)，
因?yàn)?，則，
則，又，當(dāng)時，
則，消去，
又，
故點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動，端點(diǎn)為，
線段的長度為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查向量坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系得Q軌跡.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知向量，滿足，．
（1）求與的夾角；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）直接利用夾角公式求解．
（2）由，列方程能求出的值．
【小問1詳解】
，
因?yàn)?，故與的夾角為;
【小問2詳解】
，則，
即，解得．
16. 已知的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
（1）若，，求角B的大??；
（2）若的面積為4，，求a．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用正弦定理求解；
（2）直接利用面積公式求得，再利用余弦定理求解即可.
小問1詳解】
中，由正弦定理得，則又，故為銳角，則
【小問2詳解】
，故,
由余弦定理知，故
17. 如圖，在中，，，，且，，與交于點(diǎn).
（1）用，表示，；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計算可得；
（2）由數(shù)量積的定義求出，再由數(shù)量積的運(yùn)算律計算可得；
（3）依題意為向量與的夾角，求出，，再由夾角公式計算可得.
【小問1詳解】
因?yàn)?，?br>所以，，
所以，；
【小問2詳解】
因?yàn)?，，?br>所以，
所以
.
【小問3詳解】
依題意為向量與的夾角，
又
，
，
所以.
18. 在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知向量，，且.
（1）求角的大??；
（2）若，，求的面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用內(nèi)積的坐標(biāo)運(yùn)算將條件化為等式，再使用正弦定理化角為邊即有，進(jìn)一步化簡得到，最后結(jié)合余弦定理即得，從而；
（2）先通過向量運(yùn)算得到，結(jié)合條件可得，利用平方非負(fù)即得，從而，最后給出等號成立的條件即可說明的面積的最大值是.
【小問1詳解】
由，知，從而.
再由正弦定理得，即.
從而，再由余弦定理得，所以，即，故.
【小問2詳解】
一方面，由，知，所以.
故而
，
所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，
從而.
綜上，的面積的最大值是.
19. 某農(nóng)戶有一塊半徑為20米圓形菜地，為防止菜地被小鳥破壞，準(zhǔn)備在菜地中扎兩個稻草人.設(shè)該圓形菜地的圓心為兩點(diǎn)為稻草人，為該圓形菜地邊緣上任意一點(diǎn)，要求為的中點(diǎn).
（1）若，求；
（2）設(shè)，試將表示為的函數(shù)；
（3）若同時要求該農(nóng)戶在該菜地邊緣上任意一點(diǎn)處觀察稻草人時，觀察角度的最大值不小于，試求兩個稻草人之間的距離的最小值.
【答案】（1）10米；
（2）；
（3）米.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理解答即可.
（2）利用余弦定理進(jìn)行求解，根據(jù)已知條件，得出關(guān)系式.
（3）首先找出觀察角度最大時，取得最小值.利用余弦定理進(jìn)行下一步計算.
【小問1詳解】

在中，由正弦定理得，
則，所以米.
【小問2詳解】
在中，由余弦定理得.
在中，由余弦定理得.
因?yàn)?，所以，即?br>故所求關(guān)系式為.
【小問3詳解】
當(dāng)觀察角度最大時，取得最小值.
在中，由余弦定理可得.
因?yàn)榈淖畲笾挡恍∮?，所以，解得?br>即.故兩個稻草人之間距離的最小值為米.

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