2022-2023學(xué)年河南省許昌市禹州市高級中學(xué)高二下學(xué)期階段性考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知函數(shù)，則的值為（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由題知，再求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以，解得．故選：B2．已知正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，且成等差數(shù)列，則前6項(xiàng)和為（    ）A．31 B． C． D．63【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】∵成等差數(shù)列，∴，∴，即，解得 或 ，又∵，∴，∴，故選：C.3．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量．【詳解】因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，．故選：B4．某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個(gè)月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬盒）的數(shù)據(jù)如下表所示：（月份）12345（萬盒）55668若線性相關(guān)，線性回歸方程為，估計(jì)該制藥廠6月份生產(chǎn)甲膠囊產(chǎn)量為（    ）A．萬盒 B．萬盒 C．萬盒 D．萬盒【答案】C【分析】求出x,y的平均值，利用樣本中心點(diǎn)求得，然后將代入回歸直線方程，即得答案.【詳解】由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知：，即樣本中心為，代入回歸直線，解得，即,令，解得萬盒，故選:C.5．若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6．已知的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的系數(shù)為（    ）A．60 B．32 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和求得，進(jìn)而求得展開式中的系數(shù).【詳解】依題意，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，，展開式中，含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故選：A7．已知隨機(jī)變量，且，則（    ）A．3 B．6 C． D．【答案】C【分析】由二項(xiàng)分布期望公式得，進(jìn)而得，再根據(jù)方差性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，且，所以，解得，所以，所以．故選：C8．雙曲線的左焦點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對稱點(diǎn)在另一條漸近線上，該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得其中一條漸近線的傾斜角為，可得即可求出.【詳解】由題結(jié)合雙曲線的對稱性可得其中一條漸近線的傾斜角為，則，.故選：C. 二、多選題9．下列結(jié)論正確的有（    ）A．公共汽車上有10位乘客，沿途5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有種.B．兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是；C．已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)分別是3，3，5，3，6，11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)，眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為12.D．若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則；【答案】BC【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理、古典概率、樣本的數(shù)據(jù)特征、二項(xiàng)分布等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，每名乘客都有種下車方式，所以位乘客下車的可能方式有種，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，基本事件的總數(shù)有種，若兩位女生不相鄰，則先安排男生，形成個(gè)空位，將兩位女生排入其中兩個(gè)空位，方法數(shù)有種，所以兩位女生不相鄰的概率是，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為，所以眾數(shù)是，設(shè)中位數(shù)是，則平均數(shù)是，設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為，若，則，無解.若，則，無解.若，則，無解.若，則，無解.若，則，解得.若，則，解得.若，則，無解.若，則，無解.若，則，解得.所以丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，依題意，，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若點(diǎn)，且，則（    ）A．B．函數(shù)的解析式為C．是該函數(shù)圖象的一條對稱軸D．將函數(shù)的圖象右移2個(gè)單位長度可得到該函數(shù)圖象【答案】AD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦型三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，可求出正弦型函數(shù)解析式，進(jìn)而可求對稱軸，再結(jié)合圖象變換知識即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的對稱性可知，三點(diǎn)共線，則，函數(shù)的周期為，所以，由三角函數(shù)的對稱性可知，，所以為等腰直角三角形，從而，所以，故A正確；由于，且，所以，，又，所以，且，所以，故，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以不是該函數(shù)圖象的一條對稱軸，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，圖象右移2個(gè)單位長度得到圖象的解析式為，故D正確.故選：AD.11．在正方體中，M，N分別為AD，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（    ）①平面  ②  ③直線MN與所成角的余弦值為④過M，N，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為梯形A．① B．② C．③ D．④【答案】AC【分析】根據(jù)線面平行、線面垂直、線線角、正方體的截面等知識對個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)，連接，由于分別是的中點(diǎn)，所以，由于，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面，所以①正確.設(shè)的中點(diǎn)為，設(shè),連接，由于是的中點(diǎn)，所以，所以是直線MN與所成角（或其補(bǔ)角），設(shè)正方體的邊長為，則，，，所以不是直角，所以②錯(cuò)誤.由上述分析可知，是直線MN與所成角（或其補(bǔ)角），，所以，所以③正確.  設(shè)分別是的中點(diǎn)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，連接并延長，交的延長線于，連接，交與，由于，所以四邊形是平行四邊形，則，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于分別是的中點(diǎn)，所以，則過M，N，三點(diǎn)的平面截正方體，所得的截面為五邊形，所以④錯(cuò)誤.  故選：AC12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．是周期為的奇函數(shù) B．在上為增函數(shù)C．在內(nèi)有21個(gè)極值點(diǎn) D．在上恒成立的充要條件是【答案】BD【解析】根據(jù)周期函數(shù)的定義判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)導(dǎo)航的符號判斷選項(xiàng)B正確；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)判定選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)恒成立以及對應(yīng)函數(shù)最值確定選項(xiàng)D正確.【詳解】的定義域?yàn)?/span>R，，是奇函數(shù)，但是，不是周期為的函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，且在連續(xù)，故在單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，，，令得，，當(dāng)時(shí)，，，令得，,因此，在內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，令， ，單調(diào)遞增，，，在單調(diào)遞增，又由洛必達(dá)法則知：當(dāng)時(shí)，，故答案D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)、周期函數(shù)定義，三角函數(shù)的幾何性質(zhì)，函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，考查綜合分析求解與論證能力，屬較難題. 三、填空題13．若等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，滿足，則       .【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可得；故答案為：14．已知向量，，，若，則      ．【答案】/【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量相等可得，兩式平方相加結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得答案.【詳解】由題意可知，即，將兩式平方相加可得，故，故答案為：15．我校高二年級人參加了期中數(shù)學(xué)考試，若數(shù)學(xué)成績，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在分以上的人數(shù)為總?cè)藬?shù)的，則此次期中考試中數(shù)學(xué)成績在分到分之間的學(xué)生有         人.【答案】【分析】由已知可得，由正態(tài)密度曲線的對稱性求出，乘以可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，由已知，則，因此，此次期中考試中數(shù)學(xué)成績在分到分之間的學(xué)生人數(shù)為.故答案為：.16．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是          .【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而畫出的圖象，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出與，相切的直線斜率，從而求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，在上恒成立，且在時(shí)，等號成立，所以在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，畫出的圖象，所圖所示：設(shè)直線與，相切時(shí)切點(diǎn)為，則，又根據(jù)斜率公式可得：，所以，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以要想函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，直線斜率要介于兩切線斜率之間，故故答案為： 四、解答題17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式，即可解出,則可寫出其通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減，化簡解可得出答案.【詳解】（1）由題意知：，即：化簡得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）因?yàn)?/span>所以化簡得：.18．現(xiàn)從小明的朋友圈內(nèi)隨機(jī)選取了40人（男、女各20人），記錄了他們某一天的行走步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下表：步數(shù)性別男12476女03962若某人一天的行走步數(shù)超過8000則被系統(tǒng)評定為“積極型”，否則被評定為“懈怠型”.(1)利用樣本估計(jì)總體的思想，試估計(jì)小明的朋友圈內(nèi)所有好友中每日行走步數(shù)超過10000的概率.(2)根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有的把握認(rèn)為“評定類型”與“性別”有關(guān). 積極型懈怠型總計(jì)男   女   總計(jì)   附：0.1000.0500.0100.0050.001 2.7063.8416.6357.87910.828，其中.【答案】(1)0.2(2)列聯(lián)表見解析，沒有的把握認(rèn)為“評定類型”與“性別”有關(guān). 【分析】（1）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.（2）先補(bǔ)全列聯(lián)表，然后計(jì)算的值，進(jìn)而作出判斷.【詳解】（1）依題意，小明的朋友圈內(nèi)所有好友中每日行走步數(shù)超過10000的概率為：.（2）根據(jù)題意完成列聯(lián)表如下: 積極型懈怠型總計(jì)男女總計(jì)所以，所以沒有的把握認(rèn)為“評定類型”與“性別”有關(guān).19．為進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的文明養(yǎng)成教育，某校以爭做最美青年為主題，進(jìn)行“最美青年”評選活動(dòng)，最終評出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生、學(xué)校準(zhǔn)備從這10位“最美青年”中每次隨機(jī)選出一人做事跡報(bào)告.(1)若每位“最美青年”最多做一次事跡報(bào)告，記第一次抽到女生為事件A，第二次抽到男生為事件B，求，：(2)根據(jù)不同需求，現(xiàn)需要從這10位“最美青年”中每次選1人，可以重復(fù)，連續(xù)4天分別為高一、髙二、高三學(xué)生和全體教師做4場事跡報(bào)告，記這4場事跡報(bào)告中做報(bào)告的男生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)，；(2)分布列見解析，. 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用縮小空間的方法求出條件概率，再利用全概率公式計(jì)算出作答.（2）求出X的可能值及各個(gè)值對應(yīng)的概率，列出公布列，并求出數(shù)學(xué)期望作答.【詳解】（1）依題意，，，則.（2）被抽取的4次中男生人數(shù)X的取值為0，1，2，3，4且，；；；；，所以X的分布列為：X01234PX的數(shù)學(xué)期望.20．如圖，四邊形為菱形，平面，，.(1)證明：平面平面 ；(2)若，求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線面垂直得線線垂直，進(jìn)而由線段的長度得勾股定理，證明線線垂直，即可得線面垂直證明面面垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解二面角大小.【詳解】（1）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，FO，因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為菱形，所以.因?yàn)?/span>ED平面ABCD,AC平面ABCD，所以.又，平面BDEF，所以平面BDEF；又平面BDEF，所以.設(shè)FB=1，由題意得ED=2，.因?yàn)?/span>FB//ED，且面，則FB平面ABCD，而平面ABCD，故，，所以，，.                                因?yàn)?/span>，所以.                           因?yàn)?/span>，平面ACF，所以EO平面ACF.                          又EO平面EAC，所以平面EAC平面FAC.（2）取EF中點(diǎn)G，連接OG，所以OG//ED，OG底面ABCD.以O為原點(diǎn)，以分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)?/span>，由（1）中所設(shè)知，，所以，,所以.所以，，，設(shè)平面FAE的一個(gè)法向量為，則，所以；平面AEC的一個(gè)法向量為，則，所以；所以，由圖形可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的大小為.21．橢圓的短軸長為2，離心率為，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C上是否存在點(diǎn)Q，使得直線MQ，NQ與直線分別交于點(diǎn)A，B，且？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，或 【分析】（1）由橢圓的短軸長和離心率得到，求出橢圓方程；（2）考慮當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出直線，得到，同理得到，分與討論，得到點(diǎn)坐標(biāo)，再考慮當(dāng)斜率為0時(shí)，也滿足要求，從而求出答案.【詳解】（1）由題意得，則，所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，可得．.設(shè)，，，則，．直線，令得同理可得．于是，故 ．若，則由，與直線的任意性矛盾,若，則所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或,當(dāng)斜率為0時(shí)，此時(shí)設(shè)，不妨令，此時(shí)直線為，令得，故，直線為，令得，故，顯然，經(jīng)驗(yàn)值，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為同樣滿足要求，綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.22．已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程的兩個(gè)解分別為，求證：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間.(2)證明見解析 【分析】（1）先對求導(dǎo)，再利用的因式構(gòu)造，然后對求導(dǎo)，得到的單調(diào)區(qū)間，確定的最小值是正值，從而確定恒正，最后求出的單調(diào)區(qū)間；（2）原方程可以變形為：，設(shè)，，則由函數(shù)是增函數(shù)知，所以，設(shè)，則，， 設(shè)，則，，證明（*），即，從而證明了.【詳解】（1）對函數(shù)求導(dǎo)可得：， 令 則.     當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.   所以，，所以，在上單調(diào)遞增.                故的單調(diào)遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間.（2）若方程有兩個(gè)解，不妨設(shè)，原方程可以變形為：，設(shè)，， 由，得， 因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，則，設(shè)，則，， 欲證，即證，  只需證（*） 設(shè)，，，在上，，單調(diào)遞減，所以，所以， 令即得（*）成立，從而，命題得證． 

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