河北省寧晉縣第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

這是一份河北省寧晉縣第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析），共12頁(yè)。試卷主要包含了在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則，已知向量，，下列命題中正確的有等內(nèi)容，歡迎下載使用。
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
第I卷（選擇題）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.
1.如圖，在中，D是BC上的點(diǎn)，則等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，則（ ）.
A. B. C. D.
3.在中，角所對(duì)的邊分別是，已知，則的形狀為（ ）
A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形
4.若三點(diǎn)，，在同一條直線上，則的值為（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
5.在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
6.海面上有相距的兩個(gè)小島，從島望島和島成的視角，從島望島和島成的視角，則B，C間的距離為（ ）
A. B.C D.
7.設(shè)?是非零向量，則“”是“為銳角”的（ ）條件.
A.充分必要 B.充分非必要
C.必要非充分 D.既非充分又非必要
8.在中，已知，，為的中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知向量，，下列命題中正確的有（ ）
A. B.
C. D.
10.如圖，已知點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
11.中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有唯一解的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非選擇題）
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.平面內(nèi)，向量，若，則__________.
13.，是平面內(nèi)兩個(gè)單位向量，它們的夾角為，__________.
14.已知是的重心，，則的大小為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
已知向量與的夾角為，且，求：
（1）；
（2）.
16.（15分）
在中，，且.
（1）求的值；
（2）求的大小.
17.（15分）
已知向量.
（1）求的值；
（2）求；
（3）求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo).
18.（17分）
中，??所對(duì)的邊分別為，.
（1）求的大??；
（2）在銳角中，，求的取值范圍.
19.（17分）
如圖所示，一艘海輪在海面上的處發(fā)現(xiàn)兩座小島，測(cè)得小島在的北偏東的方向上，小島在的北偏東的方向上，海輪從處向正東方向航行100海里后到達(dá)處，測(cè)得小島在的北偏西的方向上，小島在的北偏東的方向上.
（1）求處與小島之間的距離；
（2）求，兩座小島之間的距離.
高一數(shù)學(xué)參考答案
1.C
【難度】0.85
【知識(shí)點(diǎn)】向量減法的法則，向量加法的法則
【分析】由向量的加法和減法原則求解即可.
【詳解】.
故選：C.
2.C
【難度】0.94
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
【分析】結(jié)合向量加法的坐標(biāo)表示即可.
【詳解】由題意知，
，
所以，
故選：C
3.A
【難度】0.85
【知識(shí)點(diǎn)】正，余弦定理判定三角形形狀
【分析】由余弦定理代入整理得，進(jìn)而得答案.
【詳解】解：由余弦定理，
故代入邊角互化得：，整理得：
所以，故三角形為等腰三角形.
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查利用邊角互化判斷三角形形狀，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.解題的關(guān)鍵在于邊角互化.
4.C
【難度】0.94
【知識(shí)點(diǎn)】由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題
【分析】由三點(diǎn)共線可得，結(jié)合求解即可.
【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
又因?yàn)椋?br>所以，解得.
故選：C.
5.A
【難度】0.85
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的混合運(yùn)算
【分析】利用向量共線的性質(zhì)得，再利用向量的三角形法則，即可得出結(jié)果.
【詳解】為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了向量三角形法則，向量共線性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（1）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；2）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡(jiǎn)單）.
6.D
【難度】0.94
【知識(shí)點(diǎn)】距離測(cè)量問題
【分析】直接利用正弦定理求解即可.
【詳解】由題意得，，則，
所以，所以，
即間的距離為.
故選：D.
7.C
【難度】0.94
【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件，用定義求向量的數(shù)量積
【分析】先考慮必要性，再考慮充分性可得解.
【詳解】當(dāng)“為銳角”時(shí)，，所以“”是“為銳角”的必要條件；
當(dāng)時(shí)，，所以“”是“為銳角”的不充分條件.
所以“”是“為銳角”的必要不充分條件.
故選：C.
8.B
【難度】0.65
【知識(shí)點(diǎn)】求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍，數(shù)量積的運(yùn)算律，基本不等式求積的最大值
【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.
【詳解】由余弦定理得，即，即，又，
，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
，
.
.
故選：B
9.AC
【難度】0.94
【知識(shí)點(diǎn)】由坐標(biāo)判斷向量是否共線，向量垂直的坐標(biāo)表示，坐標(biāo)計(jì)算向量的模
【分析】根據(jù)向量模公式計(jì)算可判斷A；由向量平行的坐標(biāo)表示可判斷B；由向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷C；根據(jù)向量模公式計(jì)算可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以不平行，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，C正確；
因?yàn)?，所以?br>又，所以，A正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC
10.BC
【難度】0.85
【知識(shí)點(diǎn)】向量加法法則的幾何應(yīng)用，向量減法的法則，用定義求向量的數(shù)量積，數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合向量加法，模長(zhǎng)，數(shù)量積定義可解.
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)正六邊形性質(zhì)知道方向相反，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，，故B正確.
對(duì)于C，，故C正確.
對(duì)于D，
，
，
根據(jù)正六邊形性質(zhì)知道，且.
故.故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11.ABD
【難度】0.65
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)
【解析】選項(xiàng)A，根據(jù)已知得到，再根據(jù)正弦定理即可得到三角形只有一解，故A符合題意.選項(xiàng)B，根據(jù)正弦定理得到，因?yàn)?，所以只有一?選項(xiàng)C，根據(jù)正弦定理得到無解，不符合題意.選項(xiàng)D，根據(jù)正弦定理得到，，符合題意.
【詳解】選項(xiàng)A，又，
由正弦定理得：只有一種情況，
此時(shí)三角形只有一解，故A符合題意.
選項(xiàng)，
由正弦定理：得：，
又只有一解，故B符合題意.
選項(xiàng)，
由正弦定理得：，
無解，不符合題意.
選項(xiàng)D，；
由正弦定理：得，
此時(shí)三角形只有一解，故D符合題意.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理中三角形解的個(gè)數(shù)問題，屬于中檔題.
12.
【難度】0.85
【知識(shí)點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)榍遥?br>所以，解得.
故答案為：
13.
【難度】0.94
【知識(shí)點(diǎn)】向量的模，零向量與單位向量，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
【分析】先求，再求解.
【詳解】，所以.
【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量模長(zhǎng)的求解，模長(zhǎng)求解一般是求解模的平方，轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題.
14.
15.（1）
（2）12
【難度】0.94
【知識(shí)點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積，數(shù)量積的運(yùn)算律
【分析】（1）利用向量數(shù)量積的定義直接求解即可.
（2）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，求解即可.
【詳解】（1）由已知得
（2）
16.（1）；（2）
【難度】0.94
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形，余弦定理解三角形
【分析】（1）通過正弦定理易得，代入即可.（2）三邊長(zhǎng)知道通過余弦定理即可求得A的大小.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以由正弦定理
可得.因?yàn)椋?br>所以.
（2）由余弦定理.
因?yàn)槿切蝺?nèi)角，所以.
【點(diǎn)睛】此題考查正弦定理和余弦定理，記住公式很容易求解，屬于簡(jiǎn)單題目.
17.【難度】0.85
【知識(shí)點(diǎn)】求投影向量，坐標(biāo)計(jì)算向量的模，數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；
（2）首先求出的坐標(biāo)，即可求出其模；
（3）首先求出，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以.
（3）因?yàn)?，所以?br>所以向量在向量上的投影向量為
.
18.【答素】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用兩角和的正弦公式求出的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的值；
（2）利用正弦定理，三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，求出角的取值范圍，結(jié)合正弦型
函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍
【詳解】（1）
，
，
，則，由，可得：
（2）在銳角中，，由（1）可語(yǔ)，
由正弦定理可得，
，
由，可得，所以，
，可得：.
20.（1）
（2）
【難度】0.85
【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形，余弦定理解三角形，距離測(cè)量問題
【分析】（1）結(jié)合圖形求出相關(guān)角，利用正弦定理即可求得；
（2）根據(jù)題設(shè)條件計(jì)算得到，在中利用余弦定理求得，接著在中利用余弦定理，即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由題可知在中：
，
，
所以，
由正弦定理可得：，
所以（海里）.
（2）由題可知在中：，所以.
所以（海里），
由余弦定理可得：
，
所以（海里），
由題意可知，在中，，
由余弦定理可得：
，
所以（海里）.