一、單選題（本大題共8小題）
1．已知向量，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)，則 （ ）
A．1B．C．D．2
3．在四邊形中，若，則四邊形為（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
4．在中，，，所對的邊分別為a，b，c，其中，，，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知單位向量的夾角為，為實數(shù)，則“向量與向量的夾角為銳角”是“”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
6．設(shè)的內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，，若，則等于（ ）
A．B．
C．D．
7．鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖.某校開展數(shù)學(xué)建模活動，有建模課題組的學(xué)生選擇測量鼎湖峰的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案.如圖，在山腳A測得山頂P得仰角為45°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走了90米到達B點（A，B，P，Q在同一個平面內(nèi)），在B處測得山頂P得仰角為60°，則鼎湖峰的山高為（ ）米.
A．B．
C．D．
8．在中，，是的中點，與交于點，若，則（ ）
A．B．C．D．1
二、多選題（本大題共3小題）
9．下面給出的關(guān)系式中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（ ）
A．已知，均為非零向量，則存在唯一的實數(shù)，使得
B．若向量，共線，則點，，，必在同一直線上
C．邊長為的正方形中
D．若點為的重心，則
11．三角形的三邊所對的角為，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．若面積為，則周長的最小值為12
C．當(dāng)，時，D．若，，則面積為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知復(fù)數(shù)滿足，則的實部為 ．
13．向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為 ．
14．已知非零向量與滿足，且，點是的邊上的動點，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知，，且與夾角為求：
(1)；
(2)與的夾角．
16．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知已知.
(1)求角的大?。?br>(2)若，，求的值；
(3)若，判斷的形狀．
17．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．
（1）求；
（2）求的長．
18．的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，，求的取值范圍.
19．如圖，在斜坐標(biāo)系中，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，的夾角為，定義向量在該斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為有序數(shù)對，記為.在斜坐標(biāo)系中，完成如下問題：
(1)若，，求的坐標(biāo)；
(2)若，，且，求實數(shù)的值；
(3)若，，求向量的夾角的余弦值.
參考答案
1．【答案】D
【解析】先求出的坐標(biāo)，再通過可求出的坐標(biāo).
【詳解】
又因為，
所以，
故選D.
2．【答案】B
【詳解】，
.
故選B.
3．【答案】D
【詳解】由，可得，即，則四邊形為平行四邊形；
又由，可得，則平行四邊形四邊形為菱形
故選D.
4．【答案】B
【詳解】，，
，
由正弦定理得，
.
故選B.
5．【答案】B
【詳解】法一：
由單位向量的夾角為，可得，．
若向量與向量的夾角為銳角，
則且向量與向量不共線．
由，得；
由向量與向量不共線，得，即．
所以由向量與向量的夾角為銳角，得且．
易知由，則向量與向量的夾角大于等于零且小于九十度.
綜上可得“向量與向量的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件．
法二：
因為單位向量的夾角為，所以不妨令，，
則，．因為向量與向量的夾角為銳角，
所以，且，得且．
當(dāng)時，可得，
此時向量與向量的夾角大于等于零且小于九十度.
綜上可得“向量與向量的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件．
故選B．
6．【答案】A
【詳解】由于，故，
故，
故選A.
7．【答案】B
【詳解】由題知，，，則，，
又，所以，所以，，
在中，，
根據(jù)正弦定理有，
且，
則，
在中，.
所以山高為米.
故選B.
8．【答案】A
【詳解】
∵，∴，
∴.
∵A，P，D三點共線，∴.
∵，∴.
∵E是邊AB的中點，∴.
∵E，P，F(xiàn)三點共線，∴，
∴，解得，，
∴，即，，故.
故選A.
9．【答案】ABD
【詳解】因為數(shù)與向量相乘為向量，所以，故正確；
向量的數(shù)量積滿足交換律，所以，故正確；
根據(jù)數(shù)量積定義知，數(shù)量積為一實數(shù)，
所以為，表示與共線的向量，
而為，表示與共線的向量，
所以不一定成立，故錯誤；
根據(jù)數(shù)量積定義知，故正確；
故選.
10．【答案】AD
【詳解】對于選項A，由平面向量平行的推論可得其正確；
對于選項B，向量，共線，只需兩向量方向相同或相反即可，點，，，不必在同一直線上，故B錯誤；
對于選項C，邊長為的正方形中，故C錯誤；
對于選項D，由平面向量中三角形重心的推論可得其正確.
故選AD.
11．【答案】ABD
【詳解】因為，
由題意可得，
整理得，
由正弦定理邊角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正確；
當(dāng)時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，即，
所以，B正確；
由當(dāng)，時，，解得，C錯誤；
由，得，由正弦定理得解得，
又因為，
所以，D正確；
故選ABD.
12．【答案】
【詳解】設(shè)，則，
所以，，所以，，解得，
因此，復(fù)數(shù)的實部為.
13．【答案】
【詳解】向量在向量上的投影向量為．
14．【答案】/-0.2
【詳解】分別表示與方向的單位向量，故所在直線為的平分線所在直線，
又，故的平分線與垂直，
由三線合一得到，取的中點，
因為，故，

以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，，
則，
當(dāng)時，取得最小值，最小值為.
15．【答案】(1)12；
(2).
【詳解】（1），，且與夾角為，
，，
，
；
（2），
，
，
設(shè)與的夾角為，
，
又，
所以，即與的夾角為．
16．【答案】(1)；
(2)；
(3)正三角形．
【詳解】（1）在中，由及余弦定理得，而，
所以.
（2）由，及，得，
所以.
（3）由及，得，則，由（1）知，
所以為正三角形.
17．【答案】(1)；(2).
【詳解】(1)由AB∥CD可得，則，
即，而，即有，
在中，，
所以；
(2)由(1)知，，
在中，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
即，解得或(舍去)，
所以的長為.
18．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，則，
可得，所以，所以.
（2）由正弦定理可得（為外接圓的半徑），
所以，，
因為，則，，
所以，
因為為銳角三角形，則，解得，
則，，故.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）若，，則，
則
故的坐標(biāo)為.
（2）若，，且，
則，，
由已知得，.
所以
，解得.
（3）若，，
則，
，
所以，
又，
向量，的夾角的余弦值為.

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