一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位則（ ）
A. 復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)點(diǎn)在第二象限B.
C. z的虛部是2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)與復(fù)平面的關(guān)系得到對應(yīng)點(diǎn)的位置，共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系得到，由的系數(shù)得到虛部的值，由實(shí)部和虛部求得復(fù)數(shù)的模長，從而得解.
【詳解】對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
z的虛部是，故CD錯(cuò)誤.
故選：B.
2. 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求解.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，
所以，
故選：D.
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】易知，
所以
.
故選：B
4. 某人在A處向正東方向走后到達(dá)B處，他沿南偏西方向走到達(dá)C處，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好，那么的值為（ ）
A 或B. 或C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，在中解三角形即可求解.
【詳解】
如圖：，，，，
在中由余弦定理可得：，
即，
所以，即，
解得：或，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)題意找出正確的邊和角的大小，選擇余弦定理解三角形即可.
5. 在中，角，，的對邊分別為，，，若，則為
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【詳解】余弦定理得代入原式得
解得
則形狀為等腰或直角三角形,選D.
點(diǎn)睛：判斷三角形形狀的方法
①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．
②化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用這個(gè)結(jié)論．
6. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)性質(zhì)證明，，，再利用單調(diào)性比較，可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)，
所以，
又指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.
故選：C.
7. 已知函數(shù)（，，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出值，根據(jù)五點(diǎn)法作圖求出即可．
【詳解】根據(jù)函數(shù)，，在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，
可得，，．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，所以，由于，，
故選：C.
8. 如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】由點(diǎn)為中點(diǎn)得：，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以.
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)（ ）
A. 向左平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）
B. 向右平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）
C. 橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度
D. 橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的伸縮與平移變換規(guī)律即可得出結(jié)果．
【詳解】先平移后伸縮：
函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得，
再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得；
先伸縮后平移：
函數(shù)圖象將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得，
再向左平移個(gè)單位長度，得，即．
故AD符合題意.
故選：AD．
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 兩個(gè)非零向量和，若，則與垂直
C. 若，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或
D. 已知，若在上的投影向量為（為與同向的單位向量），則
【答案】BC
【解析】
【分析】取，可判斷A；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零，結(jié)合單位向量的定義可求向量坐標(biāo)，進(jìn)而判斷C；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對于A選項(xiàng)，取，則，則不一定共線，故A錯(cuò)；
對于B選項(xiàng)，兩個(gè)非零向量和，若，則，
整理可得，故與垂直，故B對；
對于C選項(xiàng)，設(shè)與垂直的單位向量為，
由題意可得，解得或，
所以，與垂直的單位向量的坐標(biāo)或，故C對；
對于D選項(xiàng)，已知向量，
則在上的投影向量為，
所以，，解得，故D錯(cuò)．
故選：BC.
11. 的內(nèi)角A，B、C的對邊分別為a，b，c，若，則（ ）
A B.
C. 角A的最大值為D. 面積的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)余弦定理和基本不等式，三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】，故A錯(cuò)誤；
根據(jù)余弦定理，則，故B正確；
由A知，，，則，故C正確；
，，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，故D正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分．
12. 若扇形的弧長為，半徑為2，則該扇形的面積是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)扇形面積公式直接求解即可.
【詳解】根據(jù)題意得，該扇形的面積為.
故答案為：.
13. 記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的面積為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式即可求得.
【詳解】由余弦定理得，得，
所以.
故答案為：
14. 若函數(shù)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：函數(shù)在的值域?yàn)?，所以函?shù)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)應(yīng)滿足函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.
考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中.
（1）若，且，求坐標(biāo)；
（2）若為單位向量，且，求與的夾角.
【答案】（1）或者
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，由已知條件，列方程組求未知數(shù)；
（2）由，求出，可得與的夾角.
【小問1詳解】
設(shè)，由已知可得，
解得或，
所以或者.
【小問2詳解】
由已知，.
由得，
即，即，所以，
所以.
因?yàn)椋?，?
16. 已知函數(shù).
（1）求的最小正周期和的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)x的值.
【答案】（1）π；；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為．
【解析】
【分析】（1）利用二倍角降冪公式、輔助角公式可得出，利用周期公式可計(jì)算出函數(shù)的最小正周期，解方程可得出函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)；解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由，計(jì)算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出該函數(shù)的最小值以及對應(yīng)的的值.
【詳解】（1），
所以，函數(shù)的最小正周期為.
由，可得，
函數(shù)的對稱中心為；
解不等式，解得.
因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期、對稱中心、單調(diào)區(qū)間以及最值的求解，解題的關(guān)鍵就是要將三角函數(shù)解析式化簡，借助正弦函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.
17. 記的內(nèi)角所對的邊分別為已知向量，，且.
（1）求角；
（2）若為的中點(diǎn)，，，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示先找出中的邊角關(guān)系，利用三角恒等變換和邊角互化進(jìn)行求解；
（2）利用，平方后列出關(guān)于邊長的條件，然后根據(jù)三角形的面積公式求解.
【小問1詳解】
由題意知，
所以，
由正弦定理可知，
即，
因?yàn)?，所以?br>所以，即得，
因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，
所以，所以，
所以，①
由余弦定理可知，
所以，②
由①②得，
所以.
【點(diǎn)睛】
18. 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）證明：；
（2）若，且為銳角三角形，求的周長的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化簡以及兩角和與差的正弦即可求得結(jié)果.
（2）利用正弦定理求出，因?yàn)槿切螢殇J角三角形求出，再用余弦定理進(jìn)一步求出，即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
由正弦定理，，所以．
又，所以，
所以，所以，
因，所以，即.
【小問2詳解】
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>∵為銳角三角形，∴，∴，∴
因?yàn)?，由余弦定理，兩式?lián)立得，
又因?yàn)椋肷鲜?，得到，則，且，
所以，即．
所以周長的取值范圍為．
19. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖?，使得成立，則稱為的一個(gè)“準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)”.已知函數(shù)
（1）若，求的“準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)”：
（2）若為的一個(gè)“準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)”，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍：
（3）設(shè)函數(shù)若使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）0或1；
（2）
（3）
【解析】
分析】（1）依題意可得，利用換元法計(jì)算可得；
（2）依題意可得在上有解，參變分離可得在上有解，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍，即可得解；
（3）依題意可得，根據(jù)的單調(diào)性，求出的最值，即可得到，換元得到，參變分離，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算可得.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，由可得，，
令，則，解得或，
即或，解得或，
的“準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)”為0或1；
【小問2詳解】
由得，，
即在上有解，
令，由可得，則在上有解，
故，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，則，解得，
的取值范圍；
【小問3詳解】
由得，，
即，則，
又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，，則，
即，
令，則，從而，則，
又在上均為增函數(shù)，則，，
，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，，，.
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集.

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