說明：本試卷共四大題，共19小題，滿分150分，考試時間120分鐘.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)是平面內(nèi)的一個基底，則下面的四組向量不能構(gòu)成基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】判斷每個選項中的向量是否共線，即可判斷出答案.
【詳解】由于是平面內(nèi)的一個基底，故不共線，
和不共線，故A能構(gòu)成基底，
和共線，故B不能構(gòu)成基底，
和不共線，故C能構(gòu)成基底，
根據(jù)向量的加減法法則可知和不共線，故D能構(gòu)成基底，
故選：B
2. 已知與為非零向量，，若三點共線，則（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三點共線可得向量共線，由此結(jié)合向量的相等列式求解，即得答案.
【詳解】由題意知，三點共線，故,
且共線，
故不妨設(shè)，則，
所以，解得，
故選：D
3. 已知點與，點在直線上，且，則點的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)有，設(shè)并應(yīng)用線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程求點坐標(biāo).
【詳解】令，由點在直線上，，則，
所以，則，可得，
，則，可得，
所以點的坐標(biāo)為或.
故選：D
4. 在平行四邊形中，為一條對角線，若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在平行四邊形中，由，，利用減法得到，然后利用加法求.
【詳解】在平行四邊形中， ，，
所以，
所以.
故選：B
【點睛】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.
5. 已知函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平移求出函數(shù)，由是偶函數(shù)求出，進而得出的值．
【詳解】∵函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度，
所得圖象對應(yīng)的函數(shù)，
又函數(shù)是偶函數(shù)，∴，∴．
由，可得，
∴，，
故選：B
【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查圖象的變換，考查奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6. 已知向量滿足， ， ，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平方的方法化簡已知條件，從而求得
【詳解】依題意， ，
兩邊平方得：，
，
，
兩式相減并化簡得，
所以，
由于，所以
故選:C
7. O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（ ）
A. 外心B. 內(nèi)心C. 重心D. 垂心
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，可知點軌跡，據(jù)此可求解.
【詳解】，
令，
則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，
即在的平分線上，
，共線，
故點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，
故選：B
8. 在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件由余弦定理可得，再由，結(jié)合正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式代入計算可得，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，且，則，
由余弦定理可得，所以，
即，由正弦定理可得，
其中，則，所以，
又，
化簡可得，
且為銳角三角形，則，
所以，
即，
解得或（舍），
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
則最大值為.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了余弦定理，正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式求最值問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于由余弦定理得到，然后結(jié)合基本不等式代入計算，即可求解.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用（圖1），明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）．若一半徑為2米的筒車水輪圓心O距離水面1米（圖3），已知水輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，當(dāng)水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖3中點）開始計時，點P距水面的高度可以用函數(shù)（）表示．下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 點P所滿足的函數(shù)表達式為
B. 點P第一次到達最高點需用時5秒
C. P再次接觸水面需用時10秒
D. 當(dāng)點P運動2.5秒時，距水面的高度為1.5米
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)模型的定義與性質(zhì)，求出A、B和T、ω、φ，寫出函數(shù)解析式，再判斷選項中的命題是否正確．
【詳解】函數(shù)中，所以，
時，，解得，因為，所以，
所以，A錯誤；
令得，則，解得，
所以x的最小值為5，即點P第一次到達最高點需用時5秒，B正確；
由題意知，點P再次接觸水面需用時（秒），C正確；
當(dāng)時，，點P距水面的高度為2米，D錯誤．
故選：BC
10. 在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，下列說法正確的是（ ）
A. 若A＞B，則
B. 若，則有兩解
C. 若，則為銳角三角形
D. 若，則為等腰三角形或直角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】由余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A,由正弦定理即可判斷B,由余弦值的性質(zhì)即可判斷C,由邊角互化即可判斷D.
【詳解】對于A，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故A正確；
對于B，由正弦定理可得：，∴，
此時無解，故B錯誤；
對于C，∵，為三角形的內(nèi)角，
∴，可知A，B，C均為銳角，故為銳角三角形，故C正確；
對于D：∵，所以由正弦定理可得，又,
因此，
∴，∴，b＝a或，即三角形為等腰三角形或直角三角形，故D正確．
故選：ACD．
11. 八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A
B.
C. 在上的投影向量為；
D. 若點為正八邊形邊上的一個動點，則的最大值為4.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)正八邊形圖形特征應(yīng)用數(shù)量積公式得出A，應(yīng)用和向量判斷B，應(yīng)用投影向量判斷C，應(yīng)用數(shù)量積投影最大求解D.
【詳解】由題意可知，正八邊形每條邊所對的角都是，中心到各頂點的距離為2，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，則以為鄰邊的正方形對角線長是的倍，
可得，故B正確；
對于C，在上的投影向量為，故C正確；
對于D，設(shè)的夾角為，則，
其中為定值，只需最大即可，，
延長交延長線于，當(dāng)在線段上運動時，最大，
易知為等腰直角三角形，且，
則在中，，
在等腰三角形中，，
則，
綜上，BCD正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量為，則_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.
【詳解】由題得，則，又，
.
故答案為：.
13. “天封塔”位于寧波市海曙區(qū)大沙泥街西端與解放南路交匯處，是寧波重要地標(biāo)之一，為中國江南特有的仿宋閣樓式磚木結(jié)構(gòu)塔，具有宋塔玲瓏精巧、古樸莊重的特點，也是古代明州港江海通航的水運航標(biāo)．某同學(xué)為測量天封塔的高度，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，，在點測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理計算可得，結(jié)合計算即可求解.
【詳解】因為，，所以，
在中，由正弦定理可得，
則，
在直角三角形中，，
所以．
故答案為：．
14. 在△ABC中，，P是MC的中點，延長AP交BC于點D．若，則________；若，，則△ABC面積的最大值為________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，直接由向量的線性運算計算即可；
第二空，用向量表示向量，進而求出的模，設(shè)分別為所對邊，由的模表示出的關(guān)系，利用基本不等式即可求解△ABC面積的最大值.
【詳解】第一空，因為P是MC的中點，
所以，
又因為，
所以，
所以，
即，
所以；
第二空，設(shè)，則，
因為點D在BC上，所以，即，
所以，
所以，
因為，即，
設(shè)分別為所對邊，
所以，
即，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，即，
所以，
因此△ABC面積的最大值為為.
故答案：；.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查平面向量的線性運算及應(yīng)用，關(guān)鍵在于利用平面向量基本定理表示出向量，再根據(jù)模長求出三角形兩邊的關(guān)系，利用基本不等式和面積公式即可得到面積最大值.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知，，且．當(dāng)為何值時，
（1）向量與互相垂直；
（2）向量與平行.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件結(jié)合數(shù)量積運算求出，根據(jù)向量垂直列式求解；
（2）根據(jù)向量平行及平面向量基本定理列式求解.
【小問1詳解】
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
若向量與互相垂直，則，
∴，
∴，
∴，解得或.
【小問2詳解】
因為，即，
則，所以不共線，
若向量與平行，則存在實數(shù)使得成立，
所以且，解得.
16. 如圖，在中，已知分別為邊上的中點，相交于點.
（1）求；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理即可求解.
（2）設(shè)，將把和用來表示，由題意可知,進而利用平面向量的數(shù)量積即可求解.
【小問1詳解】
因為，由余弦定理知：
，
所以.
【小問2詳解】
設(shè)，
因為分別為的中點，
所以.
因為，
所以，
.
又，
所以.
17. 如圖所示，在中，是邊的中點，是線段的中點.過點的直線與邊，分別交于點，.設(shè)，，（，）.
（1）求證：為定值；
（2）設(shè)的面積為，的面積為，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，利用向量的運算法則知，，然后利用三點共線可知為定值；
（2）利用三角形的面積公式可計算求得，然后根據(jù)可得答案.
【小問1詳解】
設(shè)，
于是，
又，，、，
，，
，
根據(jù)向量的運算法則可知
，
，
三點共線，
，
整理可得：
，即，
故為定值，定值為；
【小問2詳解】
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
.
18. 已知向量，函數(shù)．
（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若，且，求的值；
（3）將圖象上所有的點向左平移個單位，然后再向上平移1個單位，最后使所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，方程有一解，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二倍角公式、輔助角公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)整體代換計算即可求單調(diào)減區(qū)間；
（2）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得，再根據(jù)余弦的和角公式計算即可；
（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計算即可.
【小問1詳解】
因為，
所以即
又因為，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為
【小問2詳解】
若則，所以.
因為，所以，
所以，
所以
故.
【小問3詳解】
將圖象上所有的點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向下平?個單位，最后再向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，
即：
則，
當(dāng)時，
由方程有一解，可得的取值范圍為．
19. 在中，，，對應(yīng)的邊分別為，，，
（1）求；
（2）若為線段內(nèi)一點，且，求線段的長；
（3）法國著名科學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣；很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如對于任意的，都有被稱為柯西不等式；在（1）的條件下，若，求：的最小值；
【答案】（1）
（2）
（3）48
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系和正弦定理邊角互化對等式進行化簡，再結(jié)合余弦定理即可求解.
（2）法一：用基向量法，將用表示，等式左右兩邊同時平方，利用模長和數(shù)量積公式即可求解；法二：用坐標(biāo)系法，以AB所在的直線為軸，A為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，將用坐標(biāo)表示，結(jié)合坐標(biāo)表示求模長即可；
（3）根據(jù)柯西不等式的定義直接化簡，當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時取等號，即可得到最小值.
【小問1詳解】
因為
所以，
由正弦定理，
所以
即：，又，所以；
【小問2詳解】
（方法一）因為，所以，
所以，
所以
，及
（方法二）以AB所在的直線為軸，A為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，如圖，
則
則：
所以；
【小問3詳解】
根據(jù)柯西不等式：

（當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時取等號）
即：的最小值為48.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是仿照柯西不等式的形式進行代入構(gòu)造，找到所求要素與柯西不等式的聯(lián)系，再運用正弦定理進行求解.

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