一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設(shè){e1,e2}是平面內(nèi)的一組基底，則下面的四組向量不能構(gòu)成基底的是( )
A. 2e1+e2和e1?e2B. 3e1?e2和2e2?6e1
C. e1+3e2和e2+3e1D. e1和e1+e2
2.已知a與b為非零向量，OA=a+b,OB=2a?b,OC=λa+μb，若A,B,C三點共線，則2λ+μ=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.已知點A3,?4與B?1,2，點P在直線AB上，且AP=2PB，則點P的坐標為( )
A. (?5,8)B. (13,0)
C. (7,?10)D. 13,0或?5,8
4.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若AB=(2,4)，AC=(1,3)，則BD=( )
A. ?2,?4B. ?3,?5C. 3,5D. 2,4
5.已知函數(shù)fx=csx+π3的圖象上所有的點向右平移φφ0,ω>0,|φ|B，則csA0，則△ABC為銳角三角形
D. 若a?c?csB=a?csC，則△ABC為等腰三角形或直角三角形
11.八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA=2，則下列結(jié)論中正確的是( )
A. OB?OE=? 2
B. OA+OC=? 2OF
C. OA在OB上的投影向量為 22OB；
D. 若點P為正八邊形邊上的一個動點，則AP?AB的最大值為4．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知平面向量a，b，b=3，向量a在向量b上的投影向量為?16b，則a?b= ．
13.“天封塔”位于寧波市海曙區(qū)大沙泥街西端與解放南路交匯處，是寧波重要地標之一，為中國江南特有的仿宋閣樓式磚木結(jié)構(gòu)塔，具有宋塔玲瓏精巧、古樸莊重的特點，也是古代明州港江海通航的水運航標．某同學(xué)為測量天封塔的高度AB，選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得∠BCD=15°，∠BDC=135°，CD=20m，在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB= m．
14.在△ABC中，AM=2MB，P是MC的中點，延長AP交BC于點D.若AP=λ1AB+λ2AC，則λ1+λ2= ;若AD=3，∠BAC=60°，則△ABC面積的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知a=1,2 2，b=4，且a?2b?3a+b=?15.當(dāng)k為何值時，
(1)向量2a+kb與ka?b互相垂直；
(2)向量a?kb與ka?2b平行．
16.(本小題15分)
如圖，在?ABC中，已知AB=4,AC=10,∠BAC=60°,M,N分別為BC,AC邊上的中點，AM,BN相交于點P．
(1)求BC；
(2)求cs∠MPN的值．
17.(本小題15分)
如圖所示，在?ABC中，D是邊BC的中點，E是線段AD的中點.過點E的直線與邊AB，AC分別交于點P，Q.設(shè)PB=λAP，QC=μAQ，(λ,μ≥0).
(1)求證：λ+μ為定值；
(2)設(shè)△APQ的面積為S1，?ABC的面積為S2，求S1S2的取值范圍．
18.(本小題17分)
已知向量a=(csx,2sinx),b=(2csx, 3csx)，函數(shù)f(x)=a?b．
(1)求函數(shù)f(x)=a?b在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若fx0=115，且x0∈π6,π3，求cs2x0的值；
(3)將g(x)圖象上所有的點向左平移π6個單位，然后再向上平移1個單位，最后使所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)f(x)的圖象，當(dāng)x∈0,π2時，方程g(x)=m有一解，求實數(shù)m的取值范圍．
19.(本小題17分)
在?ABC中，∠A，∠B，∠C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，2sinAsinBsinC= 3sin2B?cs2C+cs2A
(1)求A；
(2)若b=1,c=3,D為線段BC內(nèi)一點，且BD:DC=1:2，求線段AD的長；
(3)法國著名科學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣；很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如對于任意的x1,x2,y1,y2∈R，都有x1?x2+y1?y22≤x12+y12x22+y22被稱為柯西不等式；在(1)的條件下，若a=2，求：a2+b2+c221?cs2A+1cs2π2?B+1sin2(π+C)的最小值；
參考答案
1.B
2.D
3.D
4.B
5.B
6.C
7.B
8.B
9.BC
10.ACD
11.BCD
12.?32
13.20 6
14.56；25 38
15.解：(1)∵a=1,2 2，∴a= 12+2 22=3，
∵a?2b?3a+b=?15，∴3a2?5a?b?2b2=?15，
∴3×32?5a?b?2×42=?15，∴a?b=2，
若向量2a+kb與ka?b互相垂直，則2a+kb?ka?b=0，
∴2ka2?kb2+k2?2a?b=0，
∴2k×32?k×42+2k2?2=0，
∴k2+k?2=0，解得k=1或k=?2．
(2)因為a?b=abcsa,b=2，即3×4csa,b=2，
則csa,b=16≠±1，所以a,b不共線，
若向量a?kb與ka?2b平行，則存在實數(shù)λ使得a?kb=λka?2b=λka?2λb成立，
所以1=λk且?k=?2λ，解得k=± 2．

16.解：(1)因為AB=4,AC=10,∠BAC=60°，由余弦定理知：
BC2=AB2+AC2?2AB?AC?cs∠BAC=42+102?2×4×10×cs60°=76，
所以BC=2 19．
(2)設(shè)AB=a,AC=b，
因為M,N分別為BC,AC的中點，
所以AM=12a+12b,BN=?a+12b．
因為a=4,b=10,a?b=4×10×12=20，
所以AM= 12a+12b2= 14×16+12×20+14×100= 39，
BN= ?a+12b2= 16?20+14×100= 21．
又AM?BN=12a+12b??a+12b=?12a|2?14a?b+14b|2=12，.
所以cs∠MPN=csAM,BN=AM?BNAM?BN=12 39× 21=4 9191．

17.解：(1)設(shè)AB=a,AC=b，
于是AE=12AD=14a+b，
又∵PB=λAP，QC=μAQ，λ、μ≥0，
AC=AQ+QC=1+μAQ ，AB=AP+PB=1+λAP，
∴AP=11+λa,AQ=11+μb，
根據(jù)向量的運算法則可知
PE=PA+AE=?11+λa+14a+b=14?11+λa+14b，
EQ=EA+AQ=?14a+b+11+μb=?14a+11+μ?14b，
∵P、E、Q三點共線，
∴PE=ωEQ?14?11+λ?14=1411+μ?14?14?11+λ?11+μ?14=?116，
整理可得：
1411+λ+11+μ=11+λ?11+μ?142+λ+μ=1，即λ+μ=2，
故λ+μ為定值，定值為2；
(2)設(shè)∠BAC=θ，
∵AP=11+λa,AQ=11+μb,λ+μ=2，
∴S1=S?APQ=12AP?AQsinθ=12?11+λ?11+μa?bsinθ，
S2=S?ABC=12AB?ACsinθ=12a?b?sinθ，
∴S1S2=12?11+λ?11+μa?b?sinθ12?a?b?sinθ=11+λ?11+μ=11+λ3?λ=1?λ2+2λ+3=14?λ?12，
∵λ、μ≥0,λ+μ=2，
∴0≤λ≤2，
∴S1S2=14?1?λ2∈14,13．

18.解：(1)因為f(x)=a?b
=2cs2x+2 3sin xcs x
=cs 2x+1+ 3sin 2x
=2cs(2x?π3)+1，
所以2kπ?2x?π3?π+2kπ,k∈Z，
即kπ+π6?x?2π3+kπ，k∈Z，
又因為x∈0,π，令k=0，所以函數(shù)f(x)在0,π上的單調(diào)遞減區(qū)間為π6,2π3；
(2)若fx0=115 ，則2cs(2x0?π3)+1=115，所以cs(2x0?π3)=35．
因為x0∈π6,π3，所以2x0?π3∈0,π3，
所以sin(2x0?π3)= 1?cs2(2x0?π3)=45，
所以cs 2x0=cs (2x0?π3+π3)
=cs (2x0?π3)cs π3?sin (2x0?π3)sin π3
=35×12?45× 32=3?4 310，
故cs2x0=3?4 310．
(3)將f(x)=2cs(2x?π3)+1圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?2，再向下平移1個單位，最后再向右平移π6個單位得到函數(shù)g(x)的圖象，
則g(x)=cs2x?2π3?12，
當(dāng)x∈0,π2時，2x?2π3∈?2π3,π3，
由方程gx=m有一解，可得m的取值范圍為m∈[?1,0)∪{12}．

19.解：(1)因為2sinAsinBsinC= 3(sin2B?cs2C+cs2A)
所以2sinAsinBsinC= 3(sin2B+sin2C?sin2A)，
由正弦定理2bcsinA= 3(b2+c2?a2)，
所以sinA= 3b2+c2?a22bc= 3csA
即：tanA= 3，又A∈0,π，所以A=π3；
(2)(方法一)因為BD:DC=1:2，所以BD=12DC，
所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13AC?AB=23AB+13AC，
所以AD2=(23AB+13AC)2=19(2AB+AC)2=19(4c2+b2+4bccsA)
=19(36+1+4?3?12)=439，及AD= 433
(方法二)以AB所在的直線為x軸，A為坐標原點建立坐標系，如圖，
則B(3,0),C(12, 32)
則：AB=(3,0),AC=(12, 32),CB=(52,? 32),AD=AC+23CB=(136, 36)
所以AD=AD= 1362+ 362= 433；
(3)根據(jù)柯西不等式：(a2+b2+c2)21?cs2A+1cs2(π2?B)+1sin2(π+C)
=(a2+b2+c2)(1sin2A+1sin2B+1sin2C)
≥(asinA+bsinB+csinC)2=9(2sinπ3)2=48 (當(dāng)且僅當(dāng)?ABC為正三角形時取等號)
即：(a2+b2+c2)21?cs2A+1cs2(π2?B)+1sin2(π+C)的最小值為48．

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