命題人：審題人： 2025.3
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. 已知全集集合..則（ ）
A. B. C. 或 D. 或
2 知，若，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知在正六邊形中，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，若將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，則（ ）
A B. 3C. 4D. 2
5. 為了加快生產(chǎn)進(jìn)度，公司決定使用某種檢測(cè)機(jī)器對(duì)加工零件等級(jí)（分為一等品和二等品）進(jìn)行初篩和復(fù)查，已知該機(jī)器初篩的過程中零件被標(biāo)記為一等品的概率為，被標(biāo)記為二等品的概率為，被標(biāo)記為一等品的零件有的概率為二等品，被標(biāo)記為二等品的零件中也有的概率為一等品.在初篩的過程中，已知一個(gè)零件是二等品，則它被正確標(biāo)記的概率為（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，由函數(shù)與的部分圖象可得一條封閉曲線，則下列說法不正確的是（ ）

A. 關(guān)于直線對(duì)稱 B. 的弦長(zhǎng)最大值大于
C. 直線被截得弦長(zhǎng)的最大值為 D. 的面積大于
8. 已知長(zhǎng)方體外接球的表面積為，其中為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與直線垂直，點(diǎn)在平面與底面形成的交線段上，且，則四面體外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 若為實(shí)數(shù)，則z是實(shí)數(shù)B. 若為虛數(shù)，則z是虛數(shù)
C. 若，則實(shí)數(shù)D. 若，則
10. 口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)地均相同，顏色分別為紅、黃、藍(lán)的3個(gè)球.從口袋內(nèi)無放回地依次抽取2個(gè)球，記“第一次抽到紅球”為事件A，“第二次抽到黃球”為事件B，則（ ）
A B. C. A與B為互斥事件D. A與B相互獨(dú)立
11. 已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，則（ ）
A. 平面 B. 向量不共面
C. 平面與平面的夾角的正切值為
D. 平面截該正方體所得的截面面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.直線3x+2y=6經(jīng)過橢圓m2x2+n2y2=1的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 .
13.已知tanαtanβ=2，cs(α-β)=13，則cs(α+β)= .
14. 已知正方體的表面積為6，三棱柱為正三棱柱，若，，且在正方體的表面上，則當(dāng)三棱柱的體積取得最大值時(shí)，__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15. 已知的內(nèi)角 所對(duì)應(yīng)的邊分別為，若.
（1）求；（2）求面積的最大值.
16. 如圖，在直四棱柱中，，點(diǎn)的線段上.
（1）是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在求；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）若平面里平面夾角的正切值為，求的值.
17. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與的右支交于兩點(diǎn).
（1）若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程；
（2）當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，且直線，交于點(diǎn)，求面積的最小值.
18. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且
（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)，求，并確定最小正整數(shù)，使得為整數(shù)．
19. 給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德逼近定義為，且滿足（注：為的導(dǎo)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，以此類推）.已知函數(shù).
（1）記為在處的階帕德逼近，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2），求的取值范圍；
（3）求證：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
廣州市真光中學(xué)2025屆市一模適應(yīng)性考試
高三數(shù)學(xué)參考答案
1.【答案】B2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】D5. 【答案】B
【詳解】設(shè)事件表示“零件為一等品”，
事件表示“零件為二等品”，
事件表示“零件被標(biāo)記為一等品”，事件表示“零件被標(biāo)記為二等品”，
則，
故，
故選:B.
6. 【答案】D
【詳解】，
，故，
故選：D.
7【答案】D
【詳解】如圖：

對(duì)A：由，所以函數(shù)的反函數(shù)為，所以關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；
對(duì)B：有.
設(shè)，則，
由，由.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
且，，所以存在，使得，另.
所以上兩點(diǎn)，，，所以.
所以的弦長(zhǎng)最大值大于.故B正確；
對(duì)C：因?yàn)橹本€與直線垂直，設(shè)曲線的切線為，
由，所以切點(diǎn)為，所以切線方程為.
直線與的距離為.
所以直線被截得弦長(zhǎng)的最大值為即.故C正確；
對(duì)D：由，所以B中.
過點(diǎn)做的切線，再做該切線關(guān)于對(duì)稱的直線，過，做切線的垂線，與兩切線分別交于，如圖所示，構(gòu)成矩形，該矩形將圖形包含在內(nèi)，所以的面積小于矩形的面積.
又，，
所以矩形的面積為.
又，所以D錯(cuò)誤.
故選：D
8. 【答案】C【詳解】依題意得，解得，
如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，平面，平面，
所以，因?yàn)椋?br>又平面，所以平面，
因?yàn)槠矫孢^點(diǎn)，所以平面即為平面，所以點(diǎn)在線段上，
因?yàn)?，所以為線段的中點(diǎn)，且邊上的高為，
故為等腰直角三角形，且其外接圓半徑.
設(shè)四面體外接球的半徑為，則，
故所求外接球的體積為.
故選:C.

【9題答案】【答案】BC【10題答案】【答案】AB【11題答案】【答案】AC
12.【答案】 53
【解析】解：令x=0，則y=3;
令y=0，則x=2，
所以兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)，(2,0)，
所以a=3，b=2，
所以e= 1-b2a2= 1-49= 53.
故答案為 53.
13.【答案】-19
【解析】解：由題意得csαcsβ≠0，所以tanαtanβ=sinαsinβcsαcsβ=2，
即sinαsinβ=2csαcsβ，
又cs(α-β)=csαcsβ+sinαsinβ=13，
所以csαcsβ=19，sinαsinβ=29，
所以cs(α+β)=csαcsβ-sinαsinβ=19-29=-19.
故答案為：-19.
14【答案】
【解析】
【分析】先求出柱體體積，再利用導(dǎo)數(shù)求解即可.
【詳解】
設(shè)，則，解得.
連接，則，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)槠矫妫云矫妫?br>所以.
因?yàn)?，所以，所以?br>同理可得，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>連接，過點(diǎn)作的平行線與交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以?br>在中，，所以，
易得為正三角形，所以，
則三棱柱的體積，
則，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，
故當(dāng)三棱柱的體積取得最大值時(shí)，.
故答案為：.
15. 【解析】
【小問1詳解】
，得到，
由余弦定理知，，
因?yàn)?，所以?br>【小問2詳解】
，得到，當(dāng)且僅當(dāng)取等，
所以，（當(dāng)且僅當(dāng)取等．）故面積的最大值為．
16【答案】（1）存在，
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明平面，得到所以，假設(shè)存在，使得平面，再經(jīng)過分析，轉(zhuǎn)化為只需，結(jié)合相似三角形求解邊長(zhǎng)即可；
（2）設(shè)，運(yùn)用向量法反推，構(gòu)造方程求出即可.
【小問1詳解】
依題意得平面平面，
所以.取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋?br>所以四邊形是平行四邊形，
所以，
所以.
又平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，
故要使得平面，假設(shè)存在點(diǎn)，
只需，此時(shí)，顯然
則，易得，
所以，
所以存在點(diǎn)，且.
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，
軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所以?br>，
則，
設(shè)，
則.
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以，又由（1）知，
，所以平面，
所以平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的法向量為，
則
取，則，
則.
設(shè)平面與平面的夾角為，
因?yàn)椋裕?br>所以
，
解得或（舍去），
所以.
17. 【解析】
【小問1詳解】
設(shè)，則，直線的斜率，
因?yàn)樵跈E圓上，則，兩式相減得，
整理可得，即，
可得直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
所以直線方程為.
【小問2詳解】
由題意可得：，
顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線：，
聯(lián)立方程，消去x整理得，
則，且，
因?yàn)椋傻茫?br>因?yàn)橹本€的方程為，
令，得，
因?yàn)?，可得?br>所以直線過定點(diǎn)，
由對(duì)稱性可知直線過定點(diǎn)，即直線與的交點(diǎn)為，
則，
令，則，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最小值，最小值為.
18. 【解析】
【詳解】（1）
是公比為2的等比數(shù)列，
，
（2）
若為整數(shù)，因?yàn)? ，即
能被整除
所以可得時(shí)，能被整除
的最小值是
19【解析】
【小問1詳解】
由題意得，
，由，得，
所以，則，由，得，
所以，由，得，則，
故，則，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
依題意得在區(qū)間內(nèi)恒成立.
令，注意到，則，
因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)恒成立，所以，使在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
即當(dāng)時(shí)，，故，則.
當(dāng)時(shí)，.
令0），則，
因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則，
故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則，
所以，符合題意.
所以的取值范圍是.
【小問3詳解】
證明：由（1）可知當(dāng)時(shí)，，
即，整理得，
由（2）可知當(dāng)時(shí)，，則.
綜上，當(dāng)時(shí)，.
令，得，即.
令，則，
故要證，即證.
因?yàn)椋裕?br>

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