一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把答題卡上相應(yīng)題目的正確選項(xiàng)涂黑．
1． 下列四個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、-3.14是有理數(shù)，故A不符合題意；
B、-2是有理數(shù)，故B不符合題意；
C、是有理數(shù)，故C不符合題意；
D、是無(wú)理數(shù)，故D符合題意；
故答案為：D.
【分析】利用開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)是無(wú)理數(shù)，可得答案.
2． 下列交通標(biāo)志中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】【解答】A、此標(biāo)志圖案是軸對(duì)稱圖形，故A符合題意；
B、此標(biāo)志圖案不是軸對(duì)稱圖形，故B不符合題意；
C、此標(biāo)志圖案不是軸對(duì)稱圖形，故C不符合題意；
D、此標(biāo)志圖案不是軸對(duì)稱圖形，故D不符合題意；
故答案為：A.
【分析】軸對(duì)稱圖形是將一個(gè)圖形沿某直線折疊后直線兩旁的部分互相重合，再對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷.
3． 下列運(yùn)算中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、a2-a不能合并，故A不符合題意；
B、a·a2=a3，故B符合題意；
C、（a2）3=a6，故C不符合題意；
D、（2ab2）3=8a3b6，故D不符合題意；
故答案為：B.
【分析】只有同類項(xiàng)才能合并，可對(duì)A作出判斷；利用同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可對(duì)B作出判斷；利用冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，可對(duì)C作出判斷；利用積的乘方法則，可對(duì)D作出判斷.
4． 為落實(shí)陽(yáng)光體育活動(dòng)，學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生積極參加體育鍛煉．已知某天五位同學(xué)體育鍛煉的時(shí)間分別為（單位：小時(shí)）：1，1.5，1.4，2，1.5，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A．1.5，1.5B．1.4，1.5C．1.48，1.5D．1，2
【答案】A
【解析】【解答】解：將已知數(shù)從小到大排列為：1，1.4，1.5，1.5，2，
處于最中間的數(shù)是1.5，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.5，
∵1.5出現(xiàn)了2次，是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.5.
故答案為：A.
【分析】求中位數(shù)的方法是：把數(shù)據(jù)先按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，即可求解.
5． 如圖，在□中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【解析】【解答】解：∵平行四邊形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C，故①③正確；
∴∠EDO=∠FBO，
∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，
∴OD=OB，
在△DOE和△BOF中
∴△DOE≌△BOF（ASA）
∴S△DOE=S△BOF，
∴OE=OF，ED=BF，故②錯(cuò)誤；
∵△ABD≌△BCD，
∴S△ABD=S△BCD，
∴S△ABD-S△DOE=S△BCD-S△BOF，
∴， 故④正確
∴正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3個(gè).
故答案為：C.
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可證得AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C，可對(duì)①③作出判斷；利用平行線的性質(zhì)可推出∠EDO=∠FBO，同時(shí)可證得OB=OD，利用ASA可證得△DOE≌△BOF，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可對(duì)②作出判斷；同時(shí)可證得S△DOE=S△BOF，易證S△ABD=S△BCD，根據(jù)∴S△ABD-S△DOE=S△BCD-S△BOF，可對(duì)④作出判斷；綜上所述，可得到正確結(jié)論的個(gè)數(shù).
6． 不等式組的解集是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
由①得：x＞1，
由②得x≤4，
∴不等式組的解集為1＜x≤4.
故答案為：D.
【分析】分別求出不等式組中的每一個(gè)不等式的解集，再確定出不等式組的解集.
7． 如圖，在中，，，分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，連結(jié)，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．7B．8C．10D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：由作圖可知，EF垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴△BCD的周長(zhǎng)為：BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.
故答案為：C.
【分析】由作圖可知，EF垂直平分AB，利用垂直平分線的性質(zhì)，可證得AD=BD；再證明△BCD的周長(zhǎng)等于AC+BC，代入計(jì)算可求解.
8． 眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉(cāng)”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長(zhǎng)到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為 ，根據(jù)題意得
670（1+x）2=780.
故答案為：B.
【分析】此題的等量關(guān)系為：2021年水稻畝產(chǎn)量×（1+增長(zhǎng)率）2=2023年水稻畝產(chǎn)量 ，據(jù)此列方程即可.
9． 如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，把沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC=8，∠B=∠D=90°
∵ 把沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，
∴AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，
∴，
∴∠AFB+∠CFE=90°，∠CFE+∠CEF=90°，
∴∠AFB=∠CEF，
∴.
故答案為：A.
【分析】利用矩形的性質(zhì)可證得AD=BC=8，∠B=∠D=90°，利用折疊的性質(zhì)可知AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，利用勾股定理求出BF的長(zhǎng)；再利用余角的性質(zhì)去證明∠AFB=∠CEF，然后利用余弦的定義可求出cs∠CEF的值.
10． 定義運(yùn)算：，例如，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】【解答】解： =（x+1+4）（x+1-2）=（x+5）（x-1）
∴y=x2+4x-5=（x+2）2-9，
∵a=1＞0，
∴當(dāng)x=-2時(shí)y的最小值為-9.
故答案為：B.
【分析】利用定義新運(yùn)算，可得到y(tǒng)=（x+2）2-9，再利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，可得y的最小值.
11． 如圖，圖1是北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將這四個(gè)直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（ ）
A．24B．36C．40D．44
【答案】D
【解析】【解答】解：設(shè)直角三角形的較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊長(zhǎng)為b，斜邊長(zhǎng)為c，
∵圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，
∴a2+b2=c2=24，（a-b）2=a2-2ab+b2=4
∴24-2ab=4
解之：ab=10；
圖2中大正方形的面積為：c2+4×ab=24+4××10=44.
故答案為：D.
【分析】設(shè)直角三角形的較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊長(zhǎng)為b，斜邊長(zhǎng)為c，利用勾股定理及已知條件可得到a2+b2=c2=24，（a-b）2=a2-2ab+b2=4，代入計(jì)算求出ab的值；觀察圖2，可知其面積=c2+4×ab，然后代入計(jì)算可求解.
12． 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：①函數(shù)圖象開(kāi)口方向向上，
；
對(duì)稱軸在軸右側(cè)，
、異號(hào)，
，
拋物線與軸交點(diǎn)在軸負(fù)半軸，
，
，故①錯(cuò)誤；
②二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
，
，
時(shí)，，
，
，
，故②正確；
③對(duì)稱軸為直線，，
最小值，
，故③正確；
④，
，
，
，
，
，
，
，
故④正確；
綜上所述，正確的有②③④，
故選：C．
【分析】利用拋物線的開(kāi)口方向可得到a的取值范圍，利用對(duì)稱軸的位置可確定出b的取值范圍，再根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)情況，可確定出c的取值范圍，據(jù)此可對(duì)①作出判斷；利用拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸，可得到b=-2a，a-b+c=0，據(jù)此可得到3a+c的值，可對(duì)②作出判斷；利用函數(shù)圖象及對(duì)稱軸，可得到函數(shù)的最小值為a+b+c，據(jù)此可對(duì)③作出判斷；利用一元二次方程根與系數(shù)，可得到c=-3a，利用c的取值范圍，可得到a的取值范圍，再求出a+b+c=-4a，據(jù)此可得到a+b+c的取值范圍，可對(duì)④作出判斷；綜上所述可得到正確結(jié)論的個(gè)數(shù).
二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分。請(qǐng)將正確答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上．
13． 分解因式： ．
【答案】
【解析】【解答】解：原式=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2）.
故答案為：3a（a+2）（a-2）.
【分析】觀察此多項(xiàng)式的特點(diǎn)：含有公因式3a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
14． 已知方程的兩根分別為，，則的值為 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 方程的兩根分別為， ，
∴x1+x2=-1，x1x2=-2，
∴.
故答案為：.
【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)，可得到x1+x2=-1，x1x2=-2，再將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為，然后整體代入求值.
15． 如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹(shù)，當(dāng)太陽(yáng)光與水平面的夾角為時(shí)，大樹(shù)在斜坡上的影子長(zhǎng)為10米，則大樹(shù)的高為 米．
【答案】
【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵EF∥CG，
∴∠DCG=∠DEF，
∵ 斜坡的坡度 ，
∴，
設(shè)BF=x，則EF=2x，
∴
解之：
∴，
∵ 太陽(yáng)光與水平面的夾角為，
∴∠EAF=180°-90°-60°=30°，
∴∠AEF=90°-30°=60°
，
∴.
故答案為：.
【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，利用平行線的性質(zhì)可證得∠DCG=∠DEF，利用坡度的定義可知，設(shè)BF=x，則EF=2x，利用勾股定理可求出BF，EF的長(zhǎng)；再求出∠AEF=60°，利用解直角三角形求出AF的長(zhǎng)，然后根據(jù)AB=AF-BF，代入計(jì)算可求解.
16． 如圖，菱形的邊長(zhǎng)為6，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)分別交，于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AD=BC=CD=6，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠ADC=∠DCE=180°-120°=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°-∠DCE=90°-60°=30°，
∴CE=CD=3，
∴DE=CEtan∠DCE=CEtan60°=
∴BE=BC+CE=6+3=9，
∴
∵AD∥BE，
∴△AFD∽△EFB，
∴即
解之：；
∵AD∥BE，
∴△ADG∽△CEG，
∴即
解之：；
∴.
故答案為：.
【分析】利用菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證得AD=BC=CD=6，∠ADC=∠DCE=60°，利用垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理可證得∠EDC=30°，利用解直角三角形求出DE的長(zhǎng)，可得到BE的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)；由AD∥BE，可證得△AFD∽△EFB，△ADG∽△CEG，利用相似三角形的性質(zhì)可求出AF，AG的長(zhǎng)；然后根據(jù)FG=AG-AF，代入計(jì)算求出FG的長(zhǎng).
17． 已知（且），，則的值為 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴三個(gè)一循環(huán)，
∴2024÷3=674×3+2，
∴
故答案為：.
【分析】利用已知法則，分別表示出a2，a3，a4，a5，觀察可得規(guī)律，根據(jù)其規(guī)律可求出a2024的值.
18． 如圖，內(nèi)接于，點(diǎn)在上，平分交于，連結(jié)．若，，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：延長(zhǎng)，交于，
是的直徑，
，
，
平分，
，
在△ADE和△ABD中
∴△ADE≌△ABD（ASA）
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：8．
【分析】延長(zhǎng)，交于，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，可證得∠ADB=∠ADE=90°，利用角平分線的定義可證得∠BAD=∠DAE，利用ASA可證得△ADE≌△ABD，利用全等三角形的性質(zhì)可求出DE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)；再利用有兩組對(duì)應(yīng)角分別相等的兩三角形相似，可證得△ABD∽△BCE，利用相似三角形的性質(zhì)可求出BC的長(zhǎng).
三、解答題：本大題共8個(gè)小題，共78分．請(qǐng)把解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上．
19． 計(jì)算：．
【答案】解：
．
【解析】【分析】先算乘方運(yùn)算，同時(shí)化簡(jiǎn)絕對(duì)值，代入特殊角的三角函數(shù)值，再算乘法運(yùn)算，然后合并即可.
20． 解不等式：，把它的解集表示在數(shù)軸上．
【答案】解：，
，
，
，
，
，
其解集在數(shù)軸上表示如下：
【解析】【分析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
21． 為響應(yīng)國(guó)家政策，保障耕地面積，提高糧食產(chǎn)量，確保糧食安全，我市開(kāi)展高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田改造建設(shè)，調(diào)查統(tǒng)計(jì)了其中四臺(tái)不同型號(hào)的挖掘機(jī)（分別為型，型，型，型）一個(gè)月內(nèi)改造建設(shè)高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田的面積（畝），并繪制成如圖不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：
改造農(nóng)田面積統(tǒng)計(jì)表
利用圖中的信息，解決下列問(wèn)題：
（1）① ；②扇形統(tǒng)計(jì)圖中的度數(shù)為 ．
（2）若這四臺(tái)不同型號(hào)的挖掘機(jī)共改造建設(shè)了960畝高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田，估計(jì)其中型挖掘機(jī)改造建設(shè)了多少畝？
（3）若從這四臺(tái)不同型號(hào)的挖掘機(jī)中隨機(jī)抽調(diào)兩臺(tái)挖掘機(jī)參加其它任務(wù)，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求出恰好同時(shí)抽到，兩種型號(hào)挖掘機(jī)的概率．
【答案】（1）32；
（2）解：根據(jù)題意得：
（畝），
答：估計(jì)其中型挖掘機(jī)改造建設(shè)了240畝；
（3）解：畫(huà)樹(shù)狀圖得：
共有12種等可能的結(jié)果，同時(shí)抽到，兩種型號(hào)挖掘機(jī)的有2中情況，
同時(shí)抽到，兩種型號(hào)挖掘機(jī)的概率為：．
【解析】【解答】解：（1）12÷=80，
∴m=80-16-20-12=32；
②扇形統(tǒng)計(jì)圖中的度數(shù)為360°×=72°.
故答案為：32，72°.
【分析】（1） ①利用統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖可求出總面積，再求出m的值； ②利用的度數(shù)為360°×A所占的百分比，列式計(jì)算即可.
（2）根據(jù)題意可知用960×B型所占的百分比，列式計(jì)算.
（3）由題意可知此事件是抽取不放回，列出樹(shù)狀圖，利用樹(shù)狀圖可求出恰好同時(shí)抽到，兩種型號(hào)挖掘機(jī)的概率 .
22． 如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，平分交于點(diǎn)，連結(jié)．
（1）求證：是的切線；
（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明：連接，
是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：，，
，，
，，
，
連接，
平分，
，，
，
是的直徑，
，
．
【解析】【分析】（1）連接OA，利用圓周角定理可證得∠BAE=90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)去證明∠CAE+∠OAE=90°，可推出OA⊥AC，利用切線的判定定理可證得結(jié)論.
（2）利用有兩組對(duì)應(yīng)角分別相等的兩三角形相似，可證得△ABC∽△EAC，利用相似三角形的性質(zhì)可求出BC的長(zhǎng)，然后求出BE的長(zhǎng)；連接BD，利用角平分線的定義及圓心角，弧，弦的關(guān)系定理可證得BD=DE，利用圓周角定理可知∠BDE=90°，然后利用解直角三角形求出DE的長(zhǎng).
23． 眉山是“三蘇”故里，文化底蘊(yùn)深厚．近年來(lái)眉山市旅游產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，促進(jìn)了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售，某商店用960元購(gòu)進(jìn)的款文創(chuàng)產(chǎn)品和用780元購(gòu)進(jìn)的款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同．每件款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)比款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)多15元．
（1）求，兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元？
（2）已知，文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價(jià)為100元，款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價(jià)為80元，根據(jù)市場(chǎng)需求，商店計(jì)劃再用不超過(guò)7400元的總費(fèi)用購(gòu)進(jìn)這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共100件進(jìn)行銷售，問(wèn)：怎樣進(jìn)貨才能使銷售完后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】（1）解：款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)元，則文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)是元，根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，
．
答：款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)80元，則文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)是65元．
（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，則購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，總利潤(rùn)為，根據(jù)題意得：，
解得：，
，
，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大，．
答：購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品60件，購(gòu)進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品40件，才能使銷售完后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1800元．
【解析】【分析】（1）此題的等量關(guān)系為：每件款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)=每件款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)+15； 960÷每件款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)=780÷每件B款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)，再設(shè)未知數(shù)，列方程，求解即可.
（2）此題的等量關(guān)系為：A文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量+B文創(chuàng)產(chǎn)品的數(shù)量=100；購(gòu)進(jìn)這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共100件的總費(fèi)用≤7400；設(shè)未知數(shù)，列不等式，可求出x的取值范圍；設(shè)總利潤(rùn)為W，可得到W關(guān)于x的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可求解.
24． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)在軸上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】（1）解：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，
，，
反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
，，
，，
解得，
一次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）
（3）解：將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，
直線的解析式為，
，，
，
，
解得或．
【解析】【解答】解：（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，
則此時(shí)，的周長(zhǎng)最小，
點(diǎn)，，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
故答案為：（0，5）
【分析】（1）利用點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可求出m和n的值，可得到反比例函數(shù)解析式；將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式，可得到關(guān)于k，b的方程組，解方程組求出k，b的值，可得到一次函數(shù)解析式.
（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，可知此時(shí)，的周長(zhǎng)最小，同時(shí)可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BE的函數(shù)解析式，由x=0求出對(duì)應(yīng)的y的值，可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).
（3）利用一次函數(shù)圖象平移規(guī)律，可得到直線的解析式為，可表示出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，利用直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)之間的距離公式可得到關(guān)于a的方程，解方程求出a的值.
25． 綜合與實(shí)踐
問(wèn)題提出：在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組將足夠大的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形的中心處，并繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況．
操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：
（1）若正方形邊長(zhǎng)為4，當(dāng)一條直角邊與對(duì)角線重合時(shí)，重疊部分的面積為 ；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時(shí)，重疊部分的面積為 ．
（2）若正方形的面積為，重疊部分的面積為，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與的關(guān)系為 ．
（3）類比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩條直角邊分別角交正方形兩邊于，兩點(diǎn)，小宇經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)得到結(jié)論，請(qǐng)你幫他進(jìn)行證明．
（4）拓展延伸：如圖2，若正方形邊長(zhǎng)為4，將另一個(gè)直角三角板中角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)三角板的直角邊交于點(diǎn)，斜邊交于點(diǎn)，且時(shí)，請(qǐng)求出重疊部分的面積．（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】（1）4；4
（2）
（3）解：四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
（4）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．
同（2）可知四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
重疊部分的面積
．
【解析】【解答】解：（1）四邊形是正方形，
，
當(dāng)一條直角邊與對(duì)角線重合時(shí)，重疊部分的面積為；
當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時(shí)，如圖，
，
四邊形是矩形，
四邊形是正方形，
，，
，
，
四邊形是正方形，
，
四邊形的面積是4，
故答案為：4，4；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．
是正方形的中心，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：；
【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)可證得∠BOC=90°，當(dāng)一條直角邊與對(duì)角線重合時(shí)，重疊部分的面積為正方形面積的四分之一，據(jù)此可求出重疊部分的面積；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時(shí)，如圖，易證四邊形MONC是矩形，利用正方形的性質(zhì)去證明∠MOC=∠MCO，可得到OM=CM，可證四邊形OMCN是正方形，可求出OM的長(zhǎng)，然后求出四邊形OMCN的面積.
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．易證OH=OG，利用有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形可證得四邊形OGCH是矩形，由此可推出四邊形OGCH是正方形，利用正方形的性質(zhì)去證明∠EOG=∠FOH，利用ASA證明△OGE≌△OHF，利用全等三角形的面積相等可得到，由此可證得結(jié)論.
（3）利用正方形的性質(zhì)去證明∠EOB=∠FOC，利用ASA證明△EOB≌△FOC，利用全等三角形的性質(zhì)可證得BE=CF，可推出BE+DF=CD，由，可證得結(jié)論.
（4）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．利用正方形的性質(zhì)可證得BG=BH，OG=OH，同時(shí)可證得GM=NH，利用SAS證明△OGM≌△OHN，利用全等三角形的性質(zhì)可證得兩個(gè)三角形的面積相等，同時(shí)可證得∠GOM=∠NOH，可推出∠GOM=15°，利用解直角三角形求出GM的長(zhǎng)，再求出△OGM的面積，然后根據(jù)重疊部分的面積，代入計(jì)算即可.
26． 如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)，且的面積為3時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：過(guò)作軸交于，如圖：
由，得直線解析式為，
設(shè)，則，
，
的面積為3，
，即，
解得或，
的坐標(biāo)為或；
（3）解：的坐標(biāo)為或或或．
【解析】【解答】解：（3）在直線上存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直線解析式為，
設(shè)，，
過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，
①，
當(dāng)與重合，與重合時(shí)，是等腰直角三角形，如圖：
此時(shí)；
②當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)，
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐標(biāo)為；
③當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)，如圖：
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐標(biāo)為；
④當(dāng)在第四象限，在第一象限，如圖：
是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐標(biāo)為；
綜上所述，的坐標(biāo)為或或或．
【分析】（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組求出b、c的值，可得到拋物線的解析式.
（2）過(guò)作軸交于，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，可求出直線AC的函數(shù)解析式，利用兩函數(shù)解析式，設(shè)，則，可表示出DK的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式，根據(jù)△ACD的面積為3，可得到關(guān)于t的方程，解方程求出t的值，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo).
（3）利用二次函數(shù)解析式，由y=0可求出對(duì)應(yīng)的x的值，可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式；設(shè)，，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，分情況討論：OA=OC=3時(shí)，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，是等腰直角三角形，可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)在第一象限，在第四象限時(shí)，利用AAS證明△DOM≌△OPN，可推出PN=OM，ON=DM，由此可得到關(guān)于m，n的方程組，解方程組求出m，n的值，可得到符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)在第四象限，在第三象限時(shí)，如圖：利用AAS證明△DOM≌△OPN，利用 全等三角形的性質(zhì)可知PN=OM，ON=DM，可得到關(guān)于m、n的方程組，解方程組求出n、m的值，可得到符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)在第四象限，在第一象限，如圖：同理可求出符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)；綜上所述可得到符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo).型號(hào)
畝數(shù)
16
20
12

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