一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．
1．下列實(shí)數(shù)中，平方最大的數(shù)是（ ）
A．3B．C．﹣1D．﹣2
【答案】A
【解析】【解答】
A：
B：
C：
D：
則 9＞4＞1＞
故答案為：A
【分析】本題考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算及比較大小，熟練掌握運(yùn)算法則，結(jié)合比較大小的方法可得答案。
2．用一個(gè)平面截正方體，可以得到以下截面圖形，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】
A：是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；
B：是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；
C：是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；
D：既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
故答案為：D
【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的定義，熟悉其定義，明確其區(qū)別即可得出結(jié)論。
3．2023年山東省扎實(shí)落實(shí)民生實(shí)事，全年新增城鄉(xiāng)公益性崗位61.9萬個(gè)，將61.9萬用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A．0.619×103B．61.9×104C．6.19×105D．6.19×106
【答案】C
【解析】【解答】
解：61.9萬=619000=6.19×105
故答案為：C
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義可得答案。
4．下列幾何體中，主視圖是如圖的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【解答】
A：選項(xiàng)所給幾何體的主視圖是，不合題意；
B：選項(xiàng)所給幾何體的主視圖是，不合題意；
C：選項(xiàng)所給幾何體的主視圖是，不合題意；
D：選項(xiàng)所給幾何體的主視圖是，符合題意；
故答案為：D
【分析】本題考查立體圖形的投影與視圖，理解立體圖形的三視圖畫法是解題關(guān)鍵。
5．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)4+a3＝a7B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．（a3b）2＝a3b2D．a(chǎn)（2a+1）＝2a2+a
【答案】D
【解析】【解答】
A：a4+a3不能合并，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
B：（a﹣1）2＝a2-2a+1，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
C： （a3b）2＝a6b2，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
D：a（2a+1）＝2a2+a ，原選項(xiàng)正確，符合題意；
故答案為：D
【分析】本題考查整式的運(yùn)算，冪的乘方，單項(xiàng)式多項(xiàng)式的乘法，乘法公式等知識(shí)，熟練掌握整式運(yùn)算方法是解題關(guān)鍵。
6．為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)100件，改造后生產(chǎn)600件的時(shí)間與改造前生產(chǎn)400件的時(shí)間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（ ）
A．200B．300C．400D．500
【答案】B
【解析】【解答】
解：設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為x件，依題意得：
600（x-100）=400x
200x=60000
x=300
經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是該分式方程的解，
故答案為：B
【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，結(jié)合題意，找出時(shí)間相等，改造前后的生產(chǎn)效率兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，列出分式方程，求解即可。
7．如圖，已知AB，BC，CD是正n邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，則n的值為（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】A
【解析】【解答】
解：∵ 以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN
∴ ∠NBC=90°
∵ ABN＝120°
∴ ∠ABC=360°- ∠NBC- ABN＝150°
則正n邊形的一個(gè)內(nèi)角為150°
則正n邊形的一個(gè)外角為30°
∴ n==12
故答案為：A
【分析】本題考查正多邊形的知識(shí)，熟練正多邊形邊數(shù)與內(nèi)角，外角和的關(guān)系，正多邊形的邊數(shù)n=.結(jié)合正方形的性質(zhì)，可得內(nèi)角度數(shù)和外角度數(shù)，求出n即可。
8．某校課外活動(dòng)期間開展跳繩、踢毽子、韻律操三項(xiàng)活動(dòng)，甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項(xiàng)參加，則他們選擇同一項(xiàng)活動(dòng)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【解答】
解： 甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項(xiàng)參加的樹狀圖如下：
甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項(xiàng)參加的所有情況共9種，其中選擇同一項(xiàng)活動(dòng)的情況有3種， 則他們選擇同一項(xiàng)活動(dòng)的概率是
故答案為：C
【分析】本題考查概率的計(jì)算，列出所有的結(jié)果，找出符合要求的結(jié)果，結(jié)合概率公式計(jì)算即可，注意化簡。
9．如圖，點(diǎn)E為?ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AC＝5，CE＝1，連接DE并延長至點(diǎn)F，使得EF＝DE，連接BF，則BF為（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【解析】【解答】
解：如圖所示，過點(diǎn)F作FH∥DC，交AC于H
∴ ∠DCE=∠FHE
∵ DE=FE，∠DEC=∠FEH
∴（AAS）
∴ CE=HE=1，DC=FH
∵ ?ABCD
∴ DC∥AB，DC=AB，
∴ FH∥AB，F(xiàn)H=AB，
∴ 四邊形AHFB為平行四邊形
∴ BF=AH=AC-CE-HE=3
故答案為：B
【分析】本題考查特殊四邊形--平形四邊形的判定與性質(zhì)，”8“字型全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握此類知識(shí)是解題關(guān)鍵。作FH∥DC，證，得CE=HE=1，DC=FH，根據(jù)?ABCD的性質(zhì)，得四邊形AHFB為?，得BF值。
10．根據(jù)以下對(duì)話，
給出下列三個(gè)結(jié)論：
①1班學(xué)生的最高身高為180cm；
②1班學(xué)生的最低身高小于150cm；
③2班學(xué)生的最高身高大于或等于170cm．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】C
【解析】【解答】解：設(shè)1班同學(xué)的最高身高為xcm，最低身高為ycm，2班同學(xué)的最高身高為acm，最低身高為bcm，
根據(jù)1班班長的對(duì)話，得x≤180，x+a＝350，
∴x＝350﹣a，
∴350﹣a≤180，
解得a≥170，
故③正確；
1班學(xué)生的身高不超過180cm，最高未必是180cm，故無法判斷①；
根據(jù)2班班長的對(duì)話，得b＞140，y+b＝290，
∴b＝290﹣y，
∴290﹣y＞140，
∴y＜150，
故②正確，
故答案為：C．
【分析】本題考查不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意，找出數(shù)量關(guān)系，列出不等式，求解可得結(jié)論。
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．
11．因式分解：x2y+2xy＝ ．
【答案】xy（x+2）
【解析】【解答】
x2y+2xy＝ xy（x+2）
【分析】本題考查因式分解---提公因式，因式分解時(shí)，先提公因式，再考慮公式法或者十字相乘法等方法，直到不能分解。
12．寫出滿足不等式組的一個(gè)整數(shù)解 ．
【答案】-1
【解析】【解答】
解不等式得
解不等式得
該不等式組的解集為
該不等式組得整數(shù)解為-1，0，1，2，
故答案為-1，0，1，2中其中一個(gè)即可.
【分析】先解得不等式，的解集，進(jìn)而得到不等式組的解集，結(jié)合整數(shù)解即可求解.
13．若關(guān)于x的方程4x2﹣2x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為 ．
【答案】
【解析】【解答】
解：∵ 關(guān)于x的方程4x2﹣2x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
∴ a=4，b=-2，c=m
解得m=
【分析】本題考查一元二次方程根的情況，若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，代入計(jì)算即可得m。
14．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，則∠CAB＝ ．
【答案】40°
【解析】【解答】
解：如圖，連接OB
∴ ∠AOB=2∠ACB=50°
∵ OA=OB
∴ ∠OAB=∠OBA=65°
∵ OA∥BC
∴ ∠OAC=∠ACB=25°
∴ ∠CAB=∠OAB-∠OAC=40°
【分析】本題考查圓的知識(shí)，圓心角圓周角的數(shù)量關(guān)系，角度的計(jì)算，熟悉圓的基礎(chǔ)知識(shí)是解題關(guān)鍵。連接OB，得∠AOB=2∠ACB，OA=OB，∠OAB=∠OBA=65°，結(jié)合 OA∥BC得∠CAB.
15．如圖，已知∠MAN，以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別與AM、AN相交于點(diǎn)B，C；分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧在∠MAN內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線AP．分別以A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)D，E，作直線DE分別與AB，AP相交于點(diǎn)F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，則F到AN的距離為 ．
【答案】
【解析】【解答】
解：由題知：AP平分∠MAN，DE是AB的垂直平分線，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)
∴ AF=AB=2，EF⊥AF，∠BAC=2∠FAQ
∵ ∠PQE=67.5°
∴ ∠FAQ=90°-∠PQE=22.5°
∴ ∠BAC=45°
過點(diǎn)F作FP⊥AE，則為等腰直角三角形，F(xiàn)到AN的距離為FP
∴ FP=sin45°AF=2×=
∴ F到AN的距離為
【分析】本題考查尺規(guī)作圖--角平分線，線段的垂直平分線，等腰三角形，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，熟悉角平分線，線段的垂直平分線的作圖過程是解題關(guān)鍵，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得答案。由題知AP平分∠MAN，DE是AB的垂直平分線，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，計(jì)算 ∠BAC=45°，作FP⊥AE，可得F到AN的距離為.
16．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次運(yùn)算后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是“冰雹猜想”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)（x，y）中的x，y分別按照“冰雹猜想”同步進(jìn)行運(yùn)算得到新的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中x，y均為正整數(shù)．例如，點(diǎn)（6，3）經(jīng)過第1次運(yùn)算得到點(diǎn)（3，10），經(jīng)過第2次運(yùn)算得到點(diǎn)（10，5），以此類推．則點(diǎn)（1，4）經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn) ．
【答案】（2，1）
【解析】【解答】解：點(diǎn)（1，4）經(jīng)過1次運(yùn)算后得到點(diǎn)為（1×3+1，4÷2），即為（4，2），
經(jīng)過2次運(yùn)算后得到點(diǎn)為（4÷2，2÷1），即為（2，1），
經(jīng)過3次運(yùn)算后得到點(diǎn)為（2÷2，1×3+1），即為（1，4），
……，
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點(diǎn)（1，4）經(jīng)過3次運(yùn)算后還是（1，4），
∵2024÷3＝674?2，
∴點(diǎn)（1，4）經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn)（2，1），
故答案為：（2，1）．
【分析】本題考查找規(guī)律，根據(jù)題目方法，對(duì)偶數(shù)奇數(shù)的運(yùn)算要求，多次運(yùn)算后，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，找出運(yùn)行規(guī)律是解題的關(guān)鍵。由點(diǎn)（1，4）經(jīng)過3次運(yùn)算后還是（1，4）可知三次一循環(huán)，據(jù)此可得答案。
三、解答題：本題共7小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（1）計(jì)算：+2﹣1﹣（﹣）；
（2）先化簡，再求值：，其中a＝1．
【答案】（1）解：原式＝；
（2）解：原式＝
＝
＝a﹣3；
將a＝1代入，得：
原式＝1﹣3＝﹣2．
【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算和分式的化簡求值。
（1）掌握二次根式化簡，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及加減法則計(jì)算即可；
（2）分式化簡時(shí)，通分，約分，化為最簡，代入數(shù)值計(jì)算。
18．【實(shí)踐課題】測(cè)量湖邊觀測(cè)點(diǎn)A和湖心島上鳥類棲息點(diǎn)P之間的距離．
【實(shí)踐工具】皮尺、測(cè)角儀等測(cè)量工具
【實(shí)踐活動(dòng)】某班甲小組根據(jù)胡岸地形狀況，在岸邊選取合適的點(diǎn)B．測(cè)量A，B兩點(diǎn)間的距離以及∠PAB和∠PBA，測(cè)量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．畫出示意圖，如圖1：
（1）【問題解決】計(jì)算A，P兩點(diǎn)間的距離．
（參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cs79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
（2）【交流研討】甲小組回班匯報(bào)后，乙小組提出了另一種方案：
如圖2，選擇合適的點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使得A，D，E在同一條直線上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，當(dāng)F，D，P在同一條直線上時(shí)，只需測(cè)量EF即可．
乙小組的方案用到了 ．（填寫正確答案的序號(hào)）
①解直角三角形
②三角形全等
【教師評(píng)價(jià)】甲、乙兩小組的方案都很好，對(duì)于實(shí)際測(cè)量，要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)地形狀況選擇可實(shí)施的方案．
【答案】（1）解：如圖，過B作BH⊥AP于H，
∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cs79°≈0.19，
∴AH＝AB?cs79°≈60×0.19＝11.4（米），
BH＝AB?sin79°≈60×0.98＝58.8（米），
∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，
∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°，
∴，
∴（米），
∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）；
即A，P兩點(diǎn)間的距離為89.8米；
（2）②
【解析】【解答】解：（2）∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，當(dāng)F，D，P在同一條直線上時(shí)，
∴∠ADP＝∠EDF，
∴△ADP≌△EFD（ASA），
∴AP＝EF，
∴只需測(cè)量EF即可得到AP長度；
∴乙小組的方案用到了②；
【分析】本題銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形和全等三角形的判定與應(yīng)用，找出所給角度，線段長之間的數(shù)量關(guān)系，利用三角函數(shù)求出所求線段是關(guān)鍵。
（1）過點(diǎn)B作BH⊥AP，由AB長，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cs79°≈0.19，得AH，BH；結(jié)合∠APB，求出PH，最后求出AP；
（2）根據(jù)AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，∠ADP＝∠EDF可證△ADP≌△EFD，可知乙用三角形全等的方法。
19．某學(xué)校開展了“校園科技節(jié)”活動(dòng)，活動(dòng)包含模型設(shè)計(jì)、科技小論文兩個(gè)項(xiàng)目．為了解學(xué)生的模型設(shè)計(jì)水平，從全校學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績（成績?yōu)榘俜种?，用x表示），并將其分成如下四組：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．
下面給出了部分信息：
80≤x＜90的成績?yōu)椋?1，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．
根據(jù)以上信息解決下列問題：
（1）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（2）所抽取學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績的中位數(shù)是 分；
（3）請(qǐng)估計(jì)全校1000名學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績不低于80分的人數(shù)；
（4）根據(jù)活動(dòng)要求，學(xué)校將模型設(shè)計(jì)成績、科技小論文成績按3：2的比例確定這次活動(dòng)各人的綜合成績．
某班甲、乙兩位學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績與科技小論文成績（單位：分）如下：
通過計(jì)算，甲、乙哪位學(xué)生的綜合成績更高？
【答案】（1）解：∵5÷10%＝50，而80≤x＜90有20人，
∴70≤x＜80有50﹣20﹣5﹣10＝15，
補(bǔ)全圖形如下：
（2）83
（3）解：全校1000名學(xué)生的模型設(shè)計(jì)成績不低于80分的人數(shù)為：
（人）；
（4）解：甲的成績?yōu)椋海ǚ郑?br>乙的成績?yōu)椋海ǚ郑?br>∴甲的綜合成績比乙高．
【解析】【解答】
（2）解：本組數(shù)據(jù)共有50個(gè)，按照從小到大的順序排列，處于中間位置的兩個(gè)數(shù)在80-90之間，是83和83，=83，則中位數(shù)是83.
【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握頻數(shù)分布直方圖，頻率，中位數(shù)，樣本總數(shù)，加權(quán)平均數(shù)等知識(shí)，根據(jù)直方圖和扇形圖，結(jié)合數(shù)量關(guān)系，用樣本估算整體情況是解題關(guān)鍵。（1）由60≤x＜70組人數(shù)為5人，占比10％，得樣本總數(shù)=50人，計(jì)算得70≤x＜80人數(shù)，補(bǔ)全即可；
（2）按照中位數(shù)的定義可得答案；
（3）根據(jù)樣本估算整體，”總?cè)藬?shù)×符合情況的占比即可；
（4）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可。
20．列表法、表達(dá)式法、圖象法是三種表示函數(shù)的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．下表是函數(shù)y＝2x+b與y＝部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
（1）求a、b的值，并補(bǔ)全表格；
（2）結(jié)合表格，當(dāng)y＝2x+b的圖象在y＝的圖象上方時(shí)，直接寫出x的取值范圍．
【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，2x+b＝a，即﹣7+b＝a，
當(dāng)x＝a時(shí)，2x+b＝1，即2a+b＝1，
∴，
解得：，
∴一次函數(shù)為y＝2x+5，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝7，
∵當(dāng)x＝1時(shí)，，即k＝7，
∴反比例函數(shù)為：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)y＝1時(shí)，x＝a＝﹣2，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，，
補(bǔ)全表格如下：
故答案為：7；﹣2；；
（2）解：由表格信息可得：兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，（1，7），
∴當(dāng)y＝2x+b的圖象在的圖象上方時(shí)，x的取值范圍為或x＞1；
【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)，反比例函數(shù)解析式，求一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，函數(shù)與不等式的關(guān)系，熟練掌握函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題關(guān)鍵。
（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)（，a）（a，1），求出a，b值，可知一次函數(shù)解析式；根據(jù)（1，7）得k值，可得反比例函數(shù)解析式；
（2）求出兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，（1，7），當(dāng)y＝2x+b的圖象在y＝的圖象上方時(shí) 可得x的取值范圍。
21．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為圓心，以BE為半徑作所交BC于點(diǎn)F，連接FD交于另一點(diǎn)G，連接CG．
（1）求證：CG為所在圓的切線；
（2）求圖中陰影部分面積．（結(jié)果保留π）
【答案】（1）證明：連接BG，如圖1，
根據(jù)題意可知：AD＝AE，BE＝BF，
又∵AB＝BC，
∴CF＝AE＝AD，
∵BC＝2AD，
∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
∴∠BFD＝∠DAB＝60°，
∵BG＝BF，
∴△BFG是等邊三角形，
∴GF＝BF，
∴GF＝BF＝FC，
∴G在以BC為直徑的圓上，
∴∠BGC＝90°，
∴CG為所在圓的切線；
（2）解：過D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接BG，如圖2，
由圖可得：S陰影＝S?ABFD﹣S扇AED﹣S扇BEG﹣S△BFG，
在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°，
∴，
∴，
由題可知：扇形ADE和扇形BGE全等，
∴，
等邊三角形BFG的面積為：，
∴．
【解析】【分析】本題考查圓與扇形的知識(shí)，包括圓的切線判定與性質(zhì)，扇形的面積公式（），陰影的面積（整體-局部），三角函數(shù)的應(yīng)用（計(jì)算三角形邊長），熟練掌握此類知識(shí)，正確運(yùn)用輔助線來解決問題是關(guān)鍵。
（1）連接BG，由AB＝BC＝2AD＝2 ，AD=AE，BE=BF得ABFD是平行四邊形，可知△BFG是等邊三角形，則GF＝BF＝FC，則∠BGC＝90°，則CG為切線；
（2）過D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接BG，得DH，計(jì)算，，，得.
22．一副三角板分別記作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于點(diǎn)M，EN⊥DF于點(diǎn)N，如圖1．
（1）求證：BM＝EN；
（2）在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個(gè)三角形按如圖2所示的方式放置，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合記為C，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，將圖2中的△DCF繞C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α后，延長BM交直線DF于點(diǎn)P．
①當(dāng)α＝30°時(shí)，如圖3，求證：四邊形CNPM為正方形；
②當(dāng)30°＜α＜60°時(shí)，寫出線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系，并證明；當(dāng)60°＜α＜120°時(shí)，直接寫出線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）證明：設(shè)AC＝DE＝a，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∴AB＝BC，
∵BM⊥AC，
∴，
∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，
∴，
∴BM＝EN；
（2）解：①證明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，
∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°，
∵α＝∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝90°，
∵BM⊥AC，
∴∠PMC＝∠BMC＝90°，
∴四邊形PMCN為矩形，
∵BM＝EN，即BM＝CN，
而BM＝CM，
∴CM＝CN，
∴四邊形PMCN是正方形；
②解：當(dāng)30°＜α＜60°時(shí)，線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)60°＜α＜120°時(shí)，線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系為．理由如下：
如圖1，當(dāng)30°＜α＜60°時(shí)，連接CP，
由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，
∴△PMC≌△PNC（SAS），
∴PM＝PN，
∴MP+DP＝PN+DP＝DN，
∵∠D＝30°，
∴，
∴；
如圖，當(dāng)60°＜α＜120°時(shí)，
綜上，當(dāng)30°＜α＜60°時(shí)，線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)60°＜α＜120°時(shí)，線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系為．
【解析】【分析】本題考查幾何圖形綜合，包括三角形全等判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，30°直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定，正方形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)，正確運(yùn)用輔助線解決問題是關(guān)鍵。
（1）設(shè)AC＝DE＝a，利用等腰直角三角形得BM=，利用30°直角三角形的性質(zhì)得，可證BM=EN；
（2）證∠CND＝∠ACN＝∠PMC＝∠BMC＝90°，則四邊形PMCN為矩形，再證CM＝CN，可得四邊形PMCN是正方形；②當(dāng)30°＜α＜60°時(shí)，連接CP，證△PMC≌△PNC，得MP+DP＝PN+DP＝DN，由得；當(dāng)60°＜α＜120°時(shí)，連接CP，則DN＝PN﹣DP＝MP﹣DP，由得，則30°＜α＜60°時(shí)，線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)60°＜α＜120°時(shí)，線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系為．
23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（2，﹣3）在二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的圖象上，記該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝m．
（1）求m的值；
（2）若點(diǎn)Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的圖象上，將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖象．當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；
（3）設(shè)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范圍．
【答案】（1）解：∵點(diǎn)P（2，﹣3）在二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的圖象上，
∴4a+2b﹣3＝﹣3，
解得：b＝﹣2a，
∴拋物線為：y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴m＝1；
（2）解：∵點(diǎn)Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的圖象上，
∴a﹣2a﹣3＝﹣4，
解得：a＝1，
∴拋物線為y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)為：
y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，
∵0≤x≤4，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最小值為1，
當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)有最大值為（4﹣1）2+1＝10
∴新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為11；
（3）解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3的圖象與x軸交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．
∴x1+x2＝2，，
∵，
∴，
∵4＜x2﹣x1＜6，
∴即，
解得：．
【解析】【分析】本題考查求二次函數(shù)解析式，平移規(guī)律，函數(shù)區(qū)間求最值，根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，最值，根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，是解題關(guān)鍵。
（1）點(diǎn)P（2，﹣3）在二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的圖象上，代入可得a，b的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合對(duì)稱軸求出m值；
（2）結(jié)合點(diǎn)Q（1，4）求出拋物線，求出平移后解析式y(tǒng)＝（x﹣1）2+1，由 0≤x≤4 求出新二次函數(shù)的最大值和最小值，求和即可；
（3）由函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2，，求出，結(jié)合 4＜x2﹣x1＜6，求出a的范圍即可。
模型設(shè)計(jì)
科技小論文
甲的成績
94
90
乙的成績
90
95
x
a
1
2x+b
a
1
____
____
____
7
x
﹣2
1
2x+b
﹣2
1
7
﹣2
7

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