?二○二二年東營市初中學(xué)業(yè)水平考試
數(shù)學(xué)試題
（總分120分 考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1.本試題分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷為選擇題，30分；第Ⅱ卷為非選擇題，90分；本試題共6頁.
2.數(shù)學(xué)試題答題卡共8頁.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座號等填寫在試題和答題卡上，考試結(jié)束，試題和答題卡一并收回.
3.第Ⅰ卷每題選出答案后，都必須用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號【ABCD】涂黑.如需改動，先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案.第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素筆答在答題卡的相應(yīng)位置上.
第Ⅰ卷（選擇題 共30分）
一、選擇題：本大題共10小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)選出來.每小題選對得3分，選錯、不選或選出的答案超過一個(gè)均記零分.
1. -2的絕對值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：在數(shù)軸上，點(diǎn)-2到原點(diǎn)的距離是2，所以-2的絕對值是2，
故選：A．

2. 下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，完全平方公式，同底數(shù)冪除法和算術(shù)平方根的運(yùn)算法則逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A. ，原計(jì)算錯誤，不合題意；
B. ，原計(jì)算錯誤，不合題意；
C. ，原計(jì)算錯誤，不合題意；
D. ，原計(jì)算正確，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)，完全平方公式，同底數(shù)冪除法和算術(shù)平方根，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
3. 如圖，直線，一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，兩直角邊均與直線b相交，，則（ ）


A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠3的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠2的度數(shù)．
【詳解】解：由題意得∠ABC=90°，
∵∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-∠ABC=50°，
∵，
∴∠2=∠3=50°，
故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，平行線的性質(zhì)，三角板中角度的計(jì)算，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4. 植樹節(jié)當(dāng)天，七年級1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數(shù)的，七年級2班植樹棵數(shù)是這批樹苗總數(shù)的，則七年級2班植樹的棵數(shù)是（ ）
A. 36 B. 60 C. 100 D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)這批樹苗一共有x棵，根據(jù)七年級1班植樹300棵，正好占這批樹苗總數(shù)的，列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)這批樹苗一共有x棵，
由題意得：，
解得，
∴七年級2班植樹的棵數(shù)是棵，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
5. 一元二次方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用配方法解方程即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，結(jié)合概率計(jì)算公式求解即可．
【詳解】解：如圖所示，由軸對稱圖形的定義可知當(dāng)選取編號為1，3，5，6其中一個(gè)白色區(qū)域涂黑后，能使黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形，
∴任意將圖中某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形的概率是，
故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，簡單的概率計(jì)算，熟知軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（ ）


A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、D．
【詳解】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合題意；
∴，，故B不符合題意，C符合題意；
∴，故D不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，則不等式的解集是（ ）


A. 或 B. 或 C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的解集即為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方時(shí)自變量的取值范圍進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意得不等式的解集即為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方時(shí)自變量的取值范圍，
∴不等式的解集為或，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．
9. 用一張半圓形鐵皮，圍成一個(gè)底面半徑為的圓錐形工件的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則圓錐的母線長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)圓錐的母線長為l，根據(jù)圓錐的底面圓周長為半圓形鐵皮的周長（不包括直徑）列式求解即可．
【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為l，
由題意得：，
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圓錐的母線長，熟知圓錐的底面圓周長為半圓形鐵皮的周長（不包括直徑）是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，已知菱形的邊長為2，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊上的動點(diǎn)，，連接.以下四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）

①是等邊三角形；②的最小值是；③當(dāng)最小時(shí)；④當(dāng)時(shí)，.
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】①依據(jù)題意，利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，證出，然后證，AM=AN，即可證出．
②當(dāng)MN最小值時(shí)，即AM為最小值，當(dāng)時(shí)，AM值最小，利用勾股定理求出，即可得到MN的值．
③當(dāng)MN最小時(shí)，點(diǎn)M、N分別為BC、CD中點(diǎn)，利用三角形中位線定理得到，用勾股定理求出，，而菱形ABCD的面積為：，即可得到答案．
④當(dāng)時(shí)，可證，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得，根據(jù)等量代換，最后得到答案．
【詳解】解：如圖：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，，OA=OC，
∵，
∴，與為等邊三角形，
又，
，
∴，
在與中

∴，
∴AM=AN，
即為等邊三角形，
故①正確；
∵，
當(dāng)MN最小值時(shí)，即AM為最小值，當(dāng)時(shí)，AM值最小，
∵，
∴
即，
故②正確；
當(dāng)MN最小時(shí)，點(diǎn)M、N分別為BC、CD中點(diǎn)，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
而菱形ABCD的面積為：，
∴，
故③正確，
當(dāng)時(shí)，

∴
∴
∴
∴
故④正確；
故選：D．

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)與面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，三角形中位線定理等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
第Ⅱ卷（非選擇題共90分）
二、填空題：本大題共8小題，其中11-14題每小題3分，15-18題每小題4分，共23分.只要求填寫最后結(jié)果.
11. 2022年2月20日，北京冬奧會圓滿落幕，賽事獲得了數(shù)十億次數(shù)字平臺互動，在中國僅電視收視人數(shù)就超6億.6億用科學(xué)記數(shù)法表示為____________.
【答案】
【解析】
【分析】科學(xué)記數(shù)法表示形式為的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：6億＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法和公式法即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握提公因式法和平方差公式是解題的關(guān)鍵．
13. 為了落實(shí)“雙減”政策，東營市某學(xué)校對初中學(xué)生的課外作業(yè)時(shí)長進(jìn)行了問卷調(diào)查，15名同學(xué)的作業(yè)時(shí)長統(tǒng)計(jì)如下表，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是____________分鐘．
作業(yè)時(shí)長（單位：分鐘）
50
60
70
80
90
人數(shù)（單位：人）
1
4
6
2
2

【答案】70
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義，人數(shù)最多的即為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
【詳解】解：由表可知：
∵6＞4＞2＞2＞1，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是70分鐘．
故答案為：70．
【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)的定義，掌握眾數(shù)的定義是本題關(guān)鍵．
14. 如圖，在中，弦半徑，則的度數(shù)為____________．


【答案】100°##100度
【解析】
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠OCA的度數(shù)，再根據(jù)等邊對等角求出∠OAC的度數(shù)，即可利用三角形內(nèi)角和定理求出∠AOC的度數(shù)．
【詳解】解：∵，
∴∠OCA=∠BOC=40°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，
故答案為：100°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
15. 關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是____________．
【答案】且
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0，以及根的判別式即可得出k的取值范圍．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴且，
∴且，
∴且．
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的概念，熟練掌握一元二次方程的概念以及根的判別式是本題的關(guān)鍵．
16. 如圖，是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)表達(dá)式為____________．


【答案】
【解析】
【分析】如圖所示，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，證明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-b，a），再由點(diǎn)B在反比例函數(shù)，推出，由此即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于C，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，則∠ACO=∠ODB=90°，
由題意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），則AC=OD=a，OC=BD=b，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-b，a），
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)，
∴，
∴，
∴，
∴經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)表達(dá)式為，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
17. 如圖，在中，點(diǎn)F、G在上，點(diǎn)E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長為____________．


【答案】##4.8
【解析】
【分析】通過四邊形EFGH為矩形推出，因此△AEH與△ABC兩個(gè)三角形相似，將AM視為△AEH的高，可得出，再將數(shù)據(jù)代入即可得出答案．
【詳解】∵四邊形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分別是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
18. 如圖，是等邊三角形，直線經(jīng)過它們的頂點(diǎn)，點(diǎn)在x軸上，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是____________.


【答案】
【解析】
【分析】如圖，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)C，求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，可得OA＝2，OC＝，然后解直角三角形求出∠ACO＝30°，可得，，然后求出，，，…，進(jìn)而可得，再求出即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)C，
在中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；
當(dāng)y＝0時(shí)，即，解得：，
∴A（0，2），C（，0），
∴OA＝2，OC＝，
∴tan∠ACO＝，
∴∠ACO＝30°，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴AC＝，
∵AO⊥，
∴，
∴，
同理可得：，，…，
∴，
∴，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，通過解直角三角形求出∠ACO＝30°是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：本大題共7小題，共62分.解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
19. 計(jì)算及先化簡，再求值：
（1）
（2），其中.
【答案】（1）3 （2），5
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，再根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．
（2）根據(jù)分式的加法和除法可以化簡題目中的式子，然后將x、y的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【小問1詳解】
原式=
=
=3
【小問2詳解】
原式=
=
=
當(dāng)x=3，y=2時(shí)，原式==5
【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式和三角函數(shù)的化簡，以及分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
20. 中國共產(chǎn)黨的助手和后備軍——中國共青團(tuán)，擔(dān)負(fù)著為中國特色社會主義事業(yè)培養(yǎng)合格建設(shè)者和可靠接班人的根本任務(wù).成立一百周年之際，各中學(xué)持續(xù)開展了A：青年大學(xué)習(xí)；B：背年學(xué)黨史；C：中國夢宣傳教育；D：社會主義核心價(jià)值觀培育踐行等一系列活動，學(xué)生可以任選一項(xiàng)參加.為了解參與情況，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.


請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了____________名學(xué)生；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）若該校共有學(xué)生1280名，請估計(jì)參加B項(xiàng)活動的學(xué)生數(shù)；
（4）小杰和小慧參加了上述活動，請用列表或畫樹狀圖的方法，求他們參加同一項(xiàng)活動的概率.
【答案】（1）200；
（2）見解析； （3）估計(jì)參加B項(xiàng)活動的學(xué)生數(shù)有512名；
（4）畫樹狀圖見解析，他們參加同一項(xiàng)活動的概率為．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)D項(xiàng)活動所占圓心角度數(shù)和D項(xiàng)活動的人數(shù)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)求出參加C項(xiàng)活動的人數(shù)，進(jìn)而可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）用該?？倢W(xué)生人數(shù)乘以抽查的學(xué)生中參加B項(xiàng)活動所占的比例即可；
（4）畫出樹狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中他們參加同一項(xiàng)活動的情況數(shù)有4種，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解：（名），
即在這次調(diào)查中，一共抽取了200名學(xué)生，
故答案為：200；
【小問2詳解】
參加C項(xiàng)活動的人數(shù)為：200－20－80－40＝60（名），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：

【小問3詳解】
（名），
答：估計(jì)參加B項(xiàng)活動的學(xué)生數(shù)有512名；
【小問4詳解】
畫樹狀圖如圖：


由樹狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中他們參加同一項(xiàng)活動的情況數(shù)有4種，
所以他們參加同一項(xiàng)活動的概率為．
【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，列表法或樹狀圖法求概率，能夠從不同的統(tǒng)計(jì)圖中獲取有用信息是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，為的直徑，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，平分．


（1）求證：直線是的切線；
（2）若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）連接OC，根據(jù)OB=OC，以及平分推導(dǎo)出，即可得出，從而推出，即證明得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)O作于F，利用即可得出答案．
【小問1詳解】
證明：連接OC，如圖，


∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于點(diǎn)D，
∴，
∴直線是的切線；
【小問2詳解】
過點(diǎn)O作于F，如圖，


∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，包括垂徑定理，圓的切線，扇形的面積公式等，熟練掌握以上性質(zhì)并正確作出輔助線是本題的關(guān)鍵．
22. 勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔垂直于橋面于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索與橋面的夾角分別為和，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為，求主塔的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）


【答案】主塔的高度約為78m．
【解析】
【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定義求出，然后根據(jù)∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解決問題．
【詳解】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，
∴AB＝BC，
∴，
∴m，
∴AB＝BC＝m，
答：主塔的高度約為78m．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．
23. 為滿足顧客的購物需求，某水果店計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售.經(jīng)了解，甲水果的進(jìn)價(jià)比乙水果的進(jìn)價(jià)低20%，水果店用1000元購進(jìn)甲種水果比用1200元購進(jìn)乙種水果的重量多10千克，已知甲，乙兩種水果的售價(jià)分別為6元/千克和8元/千克.
（1）求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià)分別是多少？
（2）若水果店購進(jìn)這兩種水果共150千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，則水果店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？
【答案】（1）甲種水果的進(jìn)價(jià)是4元/千克，乙種水果的進(jìn)價(jià)是5元/千克；
（2）水果店購進(jìn)甲種水果100千克，乙種水果50千克時(shí)獲得最大利潤，最大利潤是350元．
【解析】
【分析】（1）設(shè)乙種水果的進(jìn)價(jià)是x元/千克，根據(jù)“甲水果的進(jìn)價(jià)比乙水果的進(jìn)價(jià)低20%，水果店用1000元購進(jìn)甲種水果比用1200元購進(jìn)乙種水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程檢驗(yàn)后可得出答案；
（2）設(shè)水果店購進(jìn)甲種水果a千克，獲得的利潤為y元，則購進(jìn)乙種水果（150－a）千克，根據(jù)利潤＝（售價(jià)－進(jìn)價(jià)）×數(shù)量列出y關(guān)于a的一次函數(shù)解析式，求出a的取值范圍，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
【小問1詳解】
解：設(shè)乙種水果的進(jìn)價(jià)是x元/千克，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解且符合題意，
則，
答：甲種水果的進(jìn)價(jià)是4元/千克，乙種水果的進(jìn)價(jià)是5元/千克；
小問2詳解】
解：設(shè)水果店購進(jìn)甲種水果a千克，獲得的利潤為y元，則購進(jìn)乙種水果（150－a）千克，
由題意得：，
∵－1＜0，
∴y隨a的增大而減小，
∵甲種水果的重量不低于乙種水果重量的2倍，
∴，
解得：，
∴當(dāng)時(shí)，y取最大值，此時(shí)，，
答：水果店購進(jìn)甲種水果100千克，乙種水果50千克時(shí)獲得最大利潤，最大利潤是350元．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)與一元一次不等式的應(yīng)用，正確理解題意，找出合適的等量關(guān)系列出方程和解析式是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在對稱軸上找一點(diǎn)Q，使的周長最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時(shí)，請直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）（1，-2） （3）（-1，0）或（，-2）或（，2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)和拋物線的對稱軸，如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)E，連接AE，EQ，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-3），根據(jù)軸對稱最短路徑可知AE與拋物線對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q；
（3）分兩種情況當(dāng)∠BPM=90°和當(dāng)∠PBM=90°兩種情況討論求解即可．
【小問1詳解】
解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為；
【小問2詳解】
解：∵拋物線解析式為，與y軸交于點(diǎn)C，
∴拋物線對稱軸為直線，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）
如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)E，連接AE，EQ，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-3），
由軸對稱的性質(zhì)可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周長=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周長最小，則AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴當(dāng)A、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，AQ+QE最小，
設(shè)直線AE的解析式為，
∴，
∴，
∴直線AE的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-2）；
【小問3詳解】
解： 如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，∠BPM=90°時(shí)，過點(diǎn)P作軸，過點(diǎn)M作MF⊥EF于F，過點(diǎn)B作BE⊥EF于E，


∵△PBM是以PB為腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），
∴，
∴，，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1-m，m-2），
∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）；
同理當(dāng)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方，∠BPM=90°時(shí)可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）；
如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，∠PBM=90°時(shí)，過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)P作PE⊥EF于E，過點(diǎn)M作MF⊥EF于F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），
同理可證△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3-m，-2），
∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，-2）；

如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方，∠PBM=90°時(shí)，
同理可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，2）；
綜上所述，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）或（，-2）或（，2）．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
25. 和均為等邊三角形，點(diǎn)E、D分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)B、C停止.


（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時(shí)，請判斷：線段的數(shù)量關(guān)系是____________，位置關(guān)系是____________；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、D不與點(diǎn)A，B重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形的面積是面積的一半，請直接寫出答案；此時(shí)，四邊形是哪種特殊四邊形？請?jiān)趥溆脠D中畫出圖形并給予證明.
【答案】（1）CD=EF，CD∥EF
（2）CD=EF，CD∥EF，成立，理由見解析
（3）點(diǎn)D運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時(shí)，是菱形，證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)和均為等邊三角形，得到AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，根據(jù)E、D分別與點(diǎn)A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，推出CD=EF，CD∥EF；
（2）連接BF，根據(jù)∠FAD=∠BAC=60°，推出∠FAB=∠DAC，根據(jù)AF=AD，AB=AC，推出△AFB≌△ADC，得到∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，根據(jù)AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出△BFE等邊三角形，得到BF=EF，∠FEB=60°，推出CD=EF， CD∥EF；
（3）過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)△ABC的邊長為a，AD=h，根據(jù)AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，推出AE=BE= AB，根據(jù)AB=AC， 推出AD⊥BC，得到EG∥AD，推出△EBG∽△ABD，推出，得到= h，根據(jù)CD=EF， CD∥EF，推出四邊形CEFD是平行四邊形，推出，根據(jù)EF=BD，EF∥BD，推出四邊形BDEF是平行四邊形，根據(jù)BF=EF，推出是菱形．
【小問1詳解】
∵和均為等邊三角形，
∴AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，
當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時(shí)，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，
∴CD=EF，CD∥EF；
故答案為：CD=EF，CD∥EF；
【小問2詳解】
CD=EF，CD∥EF，成立．
證明：
連接BF，
∵∠FAD=∠BAC=60°，
∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
即∠FAB=∠DAC，
∵AF=AD，AB=AC，
∴△AFB≌△ADC(SAS)，
∴∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，
∵AE=BD，
∴BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等邊三角形，
∴BF=EF，∠FEB=60°，
∴CD=EF，BC∥EF，
即CD∥EF，
∴CD=EF， CD∥EF；

【小問3詳解】
如圖，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積是面積的一半，此時(shí)，四邊形是菱形．
證明：
過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，設(shè)△ABC的邊長為a，AD=h，
∵AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，
∴AE=BE= AB，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴EG∥AD，
∴△EBG∽△ABD，
∴，
∴= h，
由（2）知，CD=EF， CD∥EF，
∴四邊形CEFD是平行四邊形，
∴,
此時(shí)，EF=BD，EF∥BD，
∴四邊形BDEF是平行四邊形，
∵BF=EF，
∴是菱形．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定．




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