命題人：孫曉棟 審題人：王澤娟
（考試時間：120分鐘 總分：150分）
誠信誓言：我以我的榮譽起誓，在本次考試中，誠實守信，成績真實．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．
1. （ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用兩角和余弦公式化簡計算即可.
【詳解】.
故選：C
2. 已知函數則（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據分段函數的解析式結合函數概念求解函數值即可.
【詳解】因為函數，所以，
即．
故選：B.
3. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化簡集合B，進而根據包含關系以及集合見的運算逐項分析判斷.
【詳解】由題可知：，
顯然不是的子集，不是的子集，故AB錯誤；
且，C錯誤；
因為，所以，D正確.
故選：D.
4. 若，則（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據對數函數和指數函數的單調性進行判斷可.
【詳解】因為，
所以，
故選：A
5. 在平面直角坐標系中，若角的終邊經過點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函數的定義可得正切值與終邊上一點的坐標關系，再利用誘導公式和特殊角三角函數值，即可求解.
【詳解】由角的終邊經過點，則，
故選：B.
6. “打水漂”是一種游戲：按一定方式投擲石片，使石片在水面上實現多次彈跳，彈跳次數越多越好．小樂同學在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時的速度為，然后石片在水面上繼續(xù)進行多次彈跳．不考慮其他因素，假設石片每一次接觸水面時的速度均為上一次的，若石片接觸水面時的速度低于，石片就不再彈跳，沉入水底，則小樂同學這次“打水漂”石片的彈跳次數為（參考數據：，，）（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】利用條件建立指數函數模型，根據指數與對數的運算法則計算即可.
【詳解】設這次“打水漂”石片的彈跳次數為，
由題意得，即，得．
因為，所以，即．
故選：A
7. 函數的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函數的零點排除選項，結合的變化趨勢，推出的變化趨勢，推出結果即可．
【詳解】函數的定義域為，
令，即，解得或，
所以函數有個零點、，排除選項A，B；
當時且，，的增長速度更快，
所以，故排除D.
故選：C．
8. 已知函數，若對任意的正數，，滿足，則的最小值為（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】函數的單調性和奇偶性，可得出，將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】對任意的，，所以函數的定義域為，
因為，即函數為奇函數，
又因為，且函數在上為增函數，
所以函數在上為增函數，
對任意的正數，，滿足，則，所以，
即，所以，
當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為8.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. “”是“”的充要條件
D. “”是“”的充分不必要條件
【答案】BD
【解析】
【分析】根據反例可判斷A的正誤，根據不等式的性質可判斷B的正誤，根據兩者之間的推出關系可判斷CD的正誤.
【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；
對于B，因為，故且，故，故B正確；
對于C，當時，也成立，而時，成立，
故是的充分不必要條件，故C錯誤；
對于D，當時，，故，
取，則，但不成立，
故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.
故選：BD.
10. 對于函數，，下列結論正確的有（ ）
A. 當時，的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
B. 當時，的圖像關于點中心對稱
C. 當時，在區(qū)間上是單調函數
D. 若恒成立，則的最小值為2
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據函數的平移規(guī)律，以及誘導公式判斷A，根據代入法，結合三角函數的性質判斷BC，由函數的最值，求的取值集合，即可判斷D.
【詳解】A.的圖象向右平移個單位得到，故A正確；
B.時，，，故B正確；
C.當時，，此時函數先增后減，故C錯誤；
D.由條件可知，時，函數取得最大值，即,
此時，且，所以的最小值為2，故D正確.
故選：ABD
11. 設函數的定義域為，且滿足，當時，，則下列結論正確的是（ ）
A. B.
C. 在上為減函數D. 方程有且僅有5個實數根
【答案】AD
【解析】
【分析】利用賦值法可求判斷A；由已知可得，進而可求判斷B；作出函數圖象可判斷C；在同一坐標系下作出的圖象，可判斷D.
【詳解】令，由，可得，
所以，故A正確；
由，所以，所以是的一個周期，
所以，故B錯誤；
當，，由，
可得，
再結合周期性，作出圖象如圖所示：
可知在上為增函數，故C錯誤；
由方程，可得與的交點個數，又，
結合與的圖象，可知兩函數有且只有5個交點，
所以方程有且僅有5個實數根，故D正確.
故選：AD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知冪函數的定義域是，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據冪函數的系數為，求出的值，再結合冪函數的定義域進行檢驗即可.
【詳解】因為函數為冪函數，則，即，
解得或，
當時，函數的定義域為，合乎題意；
當時，函數的定義域為，舍去.
綜上所述，.
故答案為:
13. 已知函數，則______．
【答案】##0.3.
【解析】
【分析】利用弦化切公式和代換法，可化為正切再求值.
【詳解】由函數，
當時，有，
故答案為：
14. 已知函數若存在，使得，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據分段函數中二次函數的圖象與性質及指數函數的圖象與性質，可確定滿足的條件，據此得出取值范圍.
【詳解】如圖，
設，則直線與的圖象有3個交點，
因為當時，，
所以時直線與圖象有2個交點，
且，
當時，，
所以當，即時，
存在，使得，
所以的取值范圍是．
故答案為：
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．
15 已知集合.
（1）當時，求；
（2）已知，求實數的取值范圍.
【答案】（1），或；
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據求出集合，當時求出集合，即可求；
（2）由有，分或兩種情況求解即可.
【小問1詳解】
因為，或，
當時，，
所以，或；
【小問2詳解】
因為，所以，當時，，解得；
當時，或
解得，或，
綜上，實數的取值范圍為或.
16. （1）計算：；
（2）化簡求值；
（3）設，為銳角，且，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】（1）利用指、對數運算性質進行求解即可；
（2）利用構造正切的兩角和公式進行求解即可；
（3）為了便于求兩角和的大小，最好利用兩角和的余弦公式進行求解即可．
【詳解】（1）
;
（2）;
（3）由，為銳角， ，，
利用平方關系可得：，，
則，
因為，為銳角，所以.
17. 一項關于高中生上課注意力集中情況的調查研究表明，在一節(jié)課內，注意力指數與聽課時間（單位：分鐘）之間的關系滿足如圖所示的曲線．當時，曲線是二次函數圖象的一部分，當時，曲線是函數且圖象的一部分．根據研究得知：當注意力指數大于80時聽課效果最佳．
（1）求的函數解析式；
（2）在一節(jié)課的什么時間段內學生聽課效果最佳？請說明理由．
【答案】（1），
（2），理由見解析.
【解析】
【分析】（1）利用點的坐標代入解析式，待定系數法求出分段函數.
（2）根據題意分別計算出當時和當時的函數值，得出結論.
【小問1詳解】
由題意知，當時，曲線是二次函數圖象的一部分，
拋物線頂點坐標為，且曲線過點，
設二次函數的表達式為．代入點，
得，
則可得．
又當時，曲線是函數且圖象的一部分，
且曲線過點，則，即，解得，
則，
則．
【小問2詳解】
由題意知，注意力指數大于80時聽課效果最佳，
當時，令，解得：；
當時，令，解得：．
綜上可得，．
故在一節(jié)課的時間段內學生聽課效果最佳．
18. 已知函數．
（1）求函數的最小正周期及函數圖象的對稱軸；
（2）若函數在上不單調，求的取值范圍；
（3）若，，都有恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】（1）， 對稱軸;
（2）;
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用三角函數誘導公式和二倍角公式、兩角和正弦公式化簡，再求周期和對稱軸；
（2）利用區(qū)間里面一定有，所以去分析函數的單調遞增區(qū)間中也有0，從而利用不單調來判斷區(qū)間端點的取值范圍；
（3）利用三角函數在區(qū)間的值域，結合任意變量都滿足不等式恒成立，可得，從而可得參數范圍.
【小問1詳解】
函數
,
所以函數的最小正周期，
由，所以函數圖象的對稱軸為；
【小問2詳解】
由，
可得函數在區(qū)間上單調遞增，
由于區(qū)間里面一定有，而，
所以函數在上不單調的等價條件是，
即滿足或，解得：，
故的取值范圍；
【小問3詳解】
當時，，則，
所以函數的值域為，
再由，，都有恒成立，
則有，即，
故實數的取值范圍．
19. 已知偶函數和奇函數滿足：．
（1）求解析式；
（2）解不等式；
（3）存在實數滿足存在最值大值，求的取值范圍．
【答案】（1），．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性構造方程，解方程組得解；
（2）利用對數函數單調性解不等式得解；
（3）利用復合函數的單調性求出函數最值，原問題可化為，列出不等式即可得解.
【小問1詳解】
為奇函數，，
為偶函數，．
，①
，②
聯立①②得，，
．
【小問2詳解】
．
，
，，
不等式的解集為．
小問3詳解】
，
當時，令為增函數，
由在上單調遞增知，知在單調遞增，
所以最小值為．
，
由在上單調遞減，單調遞增，
知在單調遞減，的最大值為．
當時，．
存在實數滿足，
，
．
，
在取到最大值，，
，解得，或．
綜上所述，的取值范圍為．

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