注意事項：
1.本卷為試題卷．考生必須在答題卡上解題作答．答案應書寫在答題卡的相應位置上，在試題卷，草稿紙上作答無效．
2.考試結(jié)束后，請將試題卷和答題卡一并交回．
第I卷（選擇題，共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化簡集合,即可根據(jù)交集的定義域求解.
【詳解】由，故，
故選：C
2. 已知命題，則p的否定為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可求解.
【詳解】命題，
其否定為.
故選：B
3. 已知函數(shù)，則的值為（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分段函數(shù)解析式代入計算可得結(jié)果.
【詳解】易知，
所以.
故選：A
4. 如圖所示，角的終邊與單位圓在第一象限交于點，且點的橫坐標為，射線OP繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點，角的終邊在射線OQ上，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)定義及誘導公式即可求得結(jié)果.
【詳解】由三角函數(shù)定義可知，
又為第一象限角，所以；
又，所以.
故選：C
5. 已知冪函數(shù)的圖象過點，若，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先確定冪函數(shù)解析式，再利用函數(shù)單調(diào)性解不等式.
【詳解】因為冪函數(shù)過點，所以，則,
所以=在0,+∞上是增函數(shù),
所以不等式等價于，
求解可得.
故選：D.
6. 求值：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合正切定義，兩角差的正弦公式，輔助角公式，二倍角公式，誘導公式，直接化簡求解即可.
【詳解】
.
故選：B
7. 古希臘科學家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎，當天平平衡時，由杠桿原理可推出：左臂長與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臂長與右盤物品質(zhì)量的乘積.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，其中左臂長和右臂長之比為，一位顧客到店里購買10克黃金，售貨員先將5克砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5克砝碼放在天平右盤中，然后取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將兩次稱得的黃金交給顧客，則顧客購得的黃金質(zhì)量（ ）
A 大于10克B. 小于10克
C. 等于10克D. 當時，大于10克；當時，小于10克
【答案】A
【解析】
【分析】設天平左臂長為，右臂長為（不妨設），先稱得的黃金的實際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實際質(zhì)量為.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得表達式，利用作差法比較與10的大小，即可得答案.
【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設天平左臂長為，右臂長為，
所以，所以，
先稱得的黃金的實際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實際質(zhì)量為.
由杠桿的平衡原理：，．解得，，
則.
下面比較與10的大?。?br>因為，
因為，所以，即，
所以這樣可知稱出的黃金質(zhì)量大于.
故選：A.
8. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A. 的最小正周期為B. 的值域為
C. 點是圖象的一個對稱中心D. 不等式的解集為
【答案】D
【解析】
【分析】把函數(shù)用分段函數(shù)表示，再作出的圖象，觀察圖象即可判斷選項A，B，C，解不等式即可判斷選項D而作答.
【詳解】，
作出的圖象，如圖，觀察圖象，

對于A， 的最小正周期為，故A錯誤；
對于B，的值域為，B錯誤；
對于C，的圖象沒有對稱中心，C錯誤；
對于D，不等式，
即時，得，
解得，
所以的解集為，故D正確.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 的解集為
C. 的解集為D.
【答案】BC
【解析】
【分析】因為不等式的解集為或，結(jié)合不等式解集和韋達定理，可得和，然后逐個選項代換判斷即可.
【詳解】因為不等式的解集為或，
所以，，可得，
則，即，得，，
又化為，
可得，解得，
又，
故A錯，B正確，C正確，D錯誤.
故選：BC
10. 下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B.
C. D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及換底公式一一計算可得.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，因為，所以，故B不正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，則，，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（ ）
A. 的圖象關于直線對稱B. 為奇函數(shù)
C. 的最小正周期為4D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用得到函數(shù)的圖象關于對稱，可判斷A；利用的圖象關于1,0對稱，可得為奇函數(shù)，可判斷B；由和兩者結(jié)合即可得到，可判斷C；令，可得可判斷D.
【詳解】對于A，由可知，函數(shù)的圖象關于對稱，故A正確；
對于B，由可知，函數(shù)的圖象關于1,0對稱，
則向左平移一個單位可得，所以函數(shù)的圖象關于對稱，
所以為奇函數(shù)，故B正確；
對于C，由可得：，
由可得：，
所以，所以，
函數(shù)的周期是2，故C錯誤；
對于D，函數(shù)的圖象關于1,0對稱，所以f1=0，
再令，可得，故D正確.
故選：ABD.
第II卷 非選擇題（共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 函數(shù)，且的圖象恒過定點______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求定點.
【詳解】令，則恒成立，
故函數(shù)，且的圖象恒過定點.
故答案為：
13. 已知，且，則______.
【答案】
【解析】
分析】根據(jù)平方關系求出，再利用誘導公式求解.
【詳解】根據(jù)題意，，則，
又，所以
.
故答案為：
14. 定義運算：，若，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為______；若在區(qū)間內(nèi)恰好有4個零點，則的取值范圍是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】依題意得，根據(jù)三角函數(shù)的平移變換結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求出的最小值；將問題化為在上恰好有4個解，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)有即可得結(jié)果.
【詳解】依題意得，
圖像向左平移個單位得為偶函數(shù)，
所以，所以，
因為，所以當時，的最小值為.
在區(qū)間內(nèi)恰好有4個零點，即在區(qū)間內(nèi)恰好有4個解，
所以在區(qū)間內(nèi)恰好有4個解，
因為，即，
所以，解得：.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式，根據(jù)集合的基本運算可得結(jié)果.
（2）根據(jù)條件可得?，利用集合的基本關系列不等式組可得結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意得，，
∵，∴，
∴.
【小問2詳解】
∵是的充分不必要條件，∴?，
∴（等號不同時成立），解得，
∴的取值范圍為.
16. 普洱茶種植歷史可追溯到1700多年前，其外形勻整、挺秀，湯色碧綠，香氣濃烈等優(yōu)異品質(zhì)聞名遐邇，深受廣大消費者青睞.實踐表明，該茶用的水泡制，等到茶水溫度降至時，有最佳飲用口感.研究發(fā)現(xiàn)：茶水溫度隨放置時間（分鐘）的函數(shù)關系式為.由測試可知，經(jīng)過1分鐘后茶水的溫度為.
（1）求常數(shù)的值；
（2）在室溫下，剛泡的該茶大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）
（2）7.5分鐘
【解析】
【分析】（1）代入即可求解，
（2）根據(jù)指對互化即可求解.
【小問1詳解】
將代入函數(shù)，得
解得，
所以常數(shù)
【小問2詳解】
由（1）知，根據(jù)題意可知：，
所以，化簡得：，
將指數(shù)式化為對數(shù)式，
將題目中的參考數(shù)據(jù)代入上述對數(shù)式，化簡得，
所以，在室溫下，剛泡的該茶大約需要放置7.5分鐘才能達到最佳飲用口感.
17. 函數(shù)的部分圖象如圖所示.
（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)在上的值域.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象，依次求得的值，從而求得的解析式，利用整體代入法來求得單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）根據(jù)三角函數(shù)值域的求法來求得正確答案.
【小問1詳解】
由圖可得，，
，，，
由于，所以，
則，而，所以，
所以函數(shù)解析式為
令，
所以.
綜上函數(shù)解析式為，單調(diào)增區(qū)間.
【小問2詳解】
因為，所以.
當時有最大值為，
，所以時有最小值為，
所以函數(shù)在上的值域為.
18. 已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求實數(shù)的值并判斷的單調(diào)性（無需證明）；
（2）解關于的不等式；
（3）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），單調(diào)遞增
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷得出結(jié)論；
（2）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可得出結(jié)果；
（3）分離參數(shù)利用基本不等式計算得出最小值，即可求實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
因為函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，
所以，解得．
此時，經(jīng)檢驗滿足題意；
易知，
由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷得在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
因為是奇函數(shù)，
所以，所以，
又因為在上單調(diào)遞增，所以，即，
解得.
所以不等式的解集
【小問3詳解】
由題設在上恒成立，
因為當時，，所以，
即在上恒成立，
令，
設，
當且僅當時，等號成立；
即，所以實數(shù)的取值范圍是.
19. 如圖所示，角終邊與單位圓交于點，過作軸的垂線，交軸于，過作軸的垂線交射線OP于.
（1）由正弦函數(shù)、正切函數(shù)定義可知，的值分別等于線段MP，AQ的長.
（i）求的值；
（ii）判斷的大小關系；
（2）設點的橫坐標為，點的縱坐標為，求的最大值.
【答案】（1）（i），；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）直接利用三角形面積公式和扇形面積公式求解；
（ii）利用面積大小關系先得，再由三角函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性判斷大小；
（2）由三角函數(shù)定義可得，利用三角函數(shù)恒等變換再求最值.
【小問1詳解】
（i）
，
（ii）由圖可知的大小關系為，
所以結(jié)合（1）的值可以得到在時有，
即，
因為，
又因為，則，
再由在上的單調(diào)性可知，
綜上.
【小問2詳解】
由三角函數(shù)定義可以設點的橫坐標為，點的縱坐標為，
所以，
原式，
因，所以，
所以時，有最大值.
【點睛】關鍵點點睛：利用面積大小關系先得，又，所以.

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