湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校2024?2025高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

這是一份湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校2024?2025高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題，共17頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知是直線的一個方向向量，則該直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．在四面體中，點為線段靠近的四等分點，為的中點，若，則的值為（ ）

A．B．1C．D．
3．蘇州荻溪倉始建于明代，曾作為古代官方桹倉，圓筒桹倉簡約美觀、儲存容量大，在糧食儲存方面優(yōu)勢明顯，如圖（1）.某校模型制作小組設(shè)計圓筒糧倉模型時，將糧倉的屋頂近似看成一個圓錐，如圖（2）.若該圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，底面圓的直徑為，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
4．已知等差數(shù)列，則是成立的（ ）條件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
5．已知直線a，m，n，l，且m，n為異面直線，平面，平面．若l滿足，，則下列說法中正確的是（ ）
A．B．
C．若，則D．
6．已知橢圓的左、右焦點分別為，P為橢圓上一點，且，若關(guān)于平分線的對稱點在橢圓C上，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．若圓：與圓：恰有三條切線，則的最大值為
A．B．-3C．3D．
8．如圖，四邊形中，．現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角處于過程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知空間向量，，下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若在上的投影向量為，則
D．若與夾角為銳角，則
10．設(shè)為坐標(biāo)原點，直線過拋物線C：y2=2pxp>0的焦點且與交于，兩點（點在第一象限），，為的準(zhǔn)線，，垂足為，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．的最小值為
C．若，則
D．若，則直線的斜率為2或
11．在正三棱錐中，，，三棱錐的內(nèi)切球球心為，頂點在底面的射影為，且中點為，則下列說法正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為3
B．二面角的余弦值為
C．球的表面積為
D．若在此三棱錐中再放入一個球，使其與三個側(cè)面及內(nèi)切球均相切，則球的半徑為
三、填空題（本大題共3小題）
12．記為數(shù)列的前項積，已知，，則數(shù)列的通項公式為 .
13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓與雙曲線共焦點，雙曲線實軸的兩頂點將橢圓的長軸三等分，兩曲線的交點與兩焦點共圓，則橢圓的離心率為 .；當(dāng)焦點在軸時，雙曲線的漸近線為 .
14．棱長為2的正方體中，是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且滿足直線平面，當(dāng)直線與平面所成角最大時，三棱錐外接球的體積為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知圓經(jīng)過點和，且圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點作圓的切線，求直線的方程.
16．設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，，.
(1)求和；
(2)求的前項和.
17．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，點在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過點的直線與雙曲線交于，兩點，的面積為，求直線的方程.
18．如圖，直角梯形中，，，，為的中點.平面外一點滿足：，且.
(1)證明：平面；
(2)存在線段上一點，使得二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.
19．將離心率相等的所有橢圓稱為“一簇橢圓系”．已知橢圓的左、右頂點分別為，上頂點為．
(1)若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，求常數(shù)的值；
(2)設(shè)橢圓，過作斜率為的直線與橢圓有且只有一個公共點，過作斜率為的直線與橢圓有且只有一個公共點，求當(dāng)為何值時，取得最小值，并求其最小值；
(3)若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，橢圓上的任意一點記為，試判斷的垂心是否都在橢圓上，并說明理由．
參考答案
1．【答案】D
【分析】根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，即可得答案.
【詳解】因為是直線的一個方向向量，故直線的斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為，則 ，
所以 ，
故選：D
2．【答案】C
【詳解】由
又，則，所以，
故選：C．
3．【答案】A
【詳解】由題意，知該圓錐底面圓的半徑為，設(shè)該圓錐的母線長為，高為.
由，得，，所以該圓錐的體積.
故選：A.
4．【答案】B
【分析】正面證明得到充分性成立，舉反例否定必要性即可.
【詳解】當(dāng)時，由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得顯然成立，故充分性成立，設(shè)首項為，公差為，當(dāng)時，無論取何值，一定成立，無法推出，可得必要性不成立，即則是成立的充分不必要條件.
故選:B
5．【答案】C
【分析】由線面平行的判定定理和線面垂直的性質(zhì)定理可判定選項A、C，其它易證.
【詳解】若，因為平面，，
所以，同理，過m上一點做直線n的平行線，則，
設(shè)由m和確定的平面為，則，
而，，同上可知，故，選項C正確；
有可能，所以選項A錯誤；
由上可知，且，所以，或，選項B錯誤；
如上圖，不一定成立，選項D錯誤.
故選：C
6．【答案】B
【詳解】解：設(shè)關(guān)于平分線的對稱點為，
則三點共線，
設(shè)，則，
又，所以為等邊三角形，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
故選：B.

7．【答案】A
【詳解】由題意，圓，可化為，
可得圓心，半徑為，
圓可化為，
可得圓心，半徑，
又由圓恰有三條切線，所以兩圓相外切，即，
可得，即，
設(shè)，則，
當(dāng)時，取得最大值，此時最大值為.
故選：A.
8．【答案】D
【分析】設(shè)向量與所成角為，二面角的平面角大小為，由平方后求得，取中點E，連接，則，中應(yīng)用余弦定理求得，兩者結(jié)合和是與的關(guān)系，從而求得結(jié)論．
【詳解】設(shè)向量與所成角為，二面角的平面角大小為，
因為，所以，又，所以，
,，
則，
所以，
取中點E，連接，則，，
,,
在中，，即，
所以，即，
又因為，所以，
因為直線夾角范圍為，所以直線與所成角的余弦值范圍是．
故選：D．
9．【答案】ABD
【分析】對于A：結(jié)合向量垂直的性質(zhì)即可求解；
對于B：結(jié)合向量的四則運算即可求解；
對于C：利用投影的幾何意義即可求解；
對于D：根據(jù)向量的夾角公式即可求解.
【詳解】對于A：，，
即：，
解得：.
故A選項正確；
對于B：，
，解得：.
故B選項正確；
對于C：在上的投影向量為：，
即，代入坐標(biāo)化簡可得：，無解，
故C選項錯誤；
對于D：與夾角為銳角，
，解得：，
且與不共線，即，解得：，
所以與夾角為銳角時，解得：.
故D選項正確；
故選：ABD.
10．【答案】AB
【詳解】如圖：
對于A：根據(jù)拋物線的性質(zhì)，所有的焦點弦中，通徑最短，為，由，故A正確；
對于B：因為拋物線方程為，所以F1,0.
根據(jù)拋物線的定義，，所以，故B正確；
對于C：記直線與軸的交點為，過作于.
因為，，所以，所以.
根據(jù)拋物線的定義：，，
所以，故C錯誤；
對于D：當(dāng)時，直線斜率存在且不為0，設(shè)直線：y=kx-1.
代入得：，整理得：.
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則，由，點在第一象限，得（）.
解得，故D錯誤.
故選：AB
11．【答案】ACD
【詳解】對A：根據(jù)題意，連接，作圖如下：

由題可知為正三棱錐，故點為△的中心，
又底面是邊長的等邊三角形，故，因為面面，故，
則由勾股定理可得：；
又等邊三角形的面積為，故，故A正確；
對B：連接，取AB中點為，連接，如下所示：

由A可知，，同理可得，又，故△，則，故，
且；
又，故，又面面，面面，
故即為二面角的平面角；
在△中，，在△中，；
在△中，，則由余弦定理可得：，故B錯誤；
對C：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，的表面積為，則，
則，故可得；
又，
故，則球的表面積為，故C正確；
對D：易知在上，在上取點，使得，
過作平面的平行平面，交于點，如下所示：

顯然也為正三棱錐，球即為該三棱錐的內(nèi)切球；
又，故，設(shè)球半徑為，三棱錐表面積為，
則由C所得公式，以及三角形相似可得：，
故球的半徑為，故D正確.
故選：ACD.
12．【答案】
【詳解】由題意得，.
∵，∴，即，
∴，
∵，∴，
∴數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴.
故答案為：.
13．【答案】
【詳解】橢圓和雙曲線的對稱性相同，不妨設(shè)兩個曲線的焦點都在軸，設(shè)兩個曲線標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，，
設(shè)兩個曲線的焦點為，設(shè)為兩曲線在第一象限的交點，
設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得：，
因為兩曲線的交點與兩焦點共圓，
所以有，于是有，把的結(jié)果代入中，得
，設(shè)橢圓的離心率為，
因為雙曲線實軸的兩頂點將橢圓的長軸三等分，
所以有，代入中，得，所以橢圓的離心率為；
，代入中，得，
所以雙曲線的漸近線為，
故答案為：；
14．【答案】
【詳解】解：取為的中點，為的中點，連接，
則且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因為且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又為的中點，為的中點，所以，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，
所以點在線段上，
因為垂直平面，
所以即為直線與平面所成角的平面角，
由，則當(dāng)最小時，直線與平面所成角最大，
此時為的中點，
如圖以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)三棱錐外接球球心的坐標(biāo)為，
則，解得，
所以三棱錐外接球的半徑，
所以三棱錐外接球的體積為.
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，
則，解得，
故圓的方程為；
（2）由（1）知，圓心為，半徑為，
若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，符合題意；
若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，
由題意可得，解得，
此時，直線的方程為，即.
綜上所述，直線的方程為或.
16．【答案】(1)，.
(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
∵，∴，即，
由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，
由得，，即，
由得，，
聯(lián)立方程可得，，
∴，.
（2）由得，時，，時，.
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
∴.
17．【答案】(1)
(2)或．
【詳解】（1）因為雙曲線的兩條漸近線互相垂直，
所以雙曲線為等軸雙曲線，
所以設(shè)所求雙曲線方程為，，
又雙曲線經(jīng)過點，
所以，即，
所以雙曲線的方程為，即．
（2）根據(jù)題意可知直線的斜率存在，又直線過點，
所以直線的方程為，
所以原點到直線的距離，
聯(lián)立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以的面積為，
所以，解得，所以，
所以直線的方程為或．
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）如圖，連接與的交點記為點，
即
又，且，平面，
平面，又平面，
又，平面，
平面.
（2）如圖，以為原點，所在直線分別為軸，平行于為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，設(shè)，則，即點
則，
設(shè)平面的法向量，
由，取，則，
易知，平面的一個法向量為，
二面角的余弦值為，
，
整理得，解得（舍）或.
，此時點為線段靠近點的三等分點，
點到平面的距離，又，
三棱錐的體積為.
19．【答案】(1)或；
(2)，
(3)垂心在橢圓上，理由見解析
【詳解】（1）因為橢圓的離心率，當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得．則或；
（2）易得，所以直線的方程分別為，，
聯(lián)立，消去并整理得，
因為直線與橢圓相切，所以，因為，即，
聯(lián)立， 消去并整理得，
因為直線與橢圓相切，所以，
因為，即，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時．
故當(dāng)時，取得最小值， 最小值為．
（3）易知橢圓
不妨設(shè)為橢圓上的任意一點，此時，（1）
不妨設(shè)的垂心的坐標(biāo)為，連接，
因為，又，所以，
因為，所以，
因為，所以，（2），
聯(lián)立（1）（2），解得，
因為點在橢圓上，所以．故的垂心在橢圓上．