數(shù)學(xué)試卷
考試用時：120分鐘 滿分：150分 2024．01
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．拋物線的焦點坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和，，，則（ ）
A．160B．180C．190D．253
3．如圖，在四面體中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，點是線段上靠近點的一個三等分點，令，，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于A、B兩點，若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
6．已知原點到直線的距離為1，圓與直線相切，則滿足條件的直線有多少條（ ）
A．4條B．3條C．2條D．1條
7．手工課可以提高學(xué)生的動手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力．某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個直三棱柱和一個正方體的組合體，其直觀圖如圖所示，，，P、Q、M、N分別是棱、、、的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，，且在第一象限的交點為，滿足（其中為原點）．設(shè)，的離心率分別為，，當(dāng)取得最小值時，的值為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．下列命題正確的是（ ）
A．方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率
B．過雙曲線焦點的最短弦長為
C．若直線的方向向量為，平面的一個法向量為，則
D．已知，，則在方向上的投影向量為
10．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．是遞減數(shù)列B．
C．使時的最小值是21D．最小時，
11．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，“它蘊藏于特有的抽象概念、公式符號、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，下列說法正：確的有（ ）
A．曲線圍成的圖形有6條對稱軸
B．曲線圍成的圖形的周長是
C．曲線上的任意兩點間的距離不超過5
D．若是曲線上任意一點，的最小值是
12．如圖，在棱長為6的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點，點是正方形面內(nèi)（包含邊界）動點，則（ ）
A．平面
B．平面截正方體所得截面的面積為
C．與所成角為
D．若，則三棱錐的體積最大值是
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．參考《九章算術(shù)》中“竹九節(jié)”問題，提出：一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，最上面3節(jié)的容積共3升，最下面3節(jié)的容積共6升，則第5節(jié)的容積為__________升．
14．已知直線，互相垂直，則的值為_________．
15．已知點是拋物線上一動點，則的最小值為_________．
16．如圖，在棱長為3的正方體中，在線段上，且，N是側(cè)面上點，且平面，則線段的最大值為_________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
解答下列問題：
（1）求過點，且與直線平行的直線方程；
（2）求過點，，三點的圓的標(biāo)準方程．
18．（本小題滿分12分）
記為數(shù)列的前n項和，且，
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項公式．
19．（本小題滿分12分）
已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知橢圓的右頂點為，過作直線與橢圓交于另一點，且，求直線的方程．
20．（本小題滿分12分）
已知圓．
（1）若直線過點且被圓截得的弦長為，求直線的方程；
（2）若直線過點與圓相交于P，Q兩點，求的面積的最大值，并求此時直線的方程．
21．（本小題滿分12分）
如圖，等腰梯形中，，，，E為中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置（不在平面內(nèi)）．
（1）證明：；
（2）若直線與平而所成的們?yōu)椋蠖娼堑挠嘞抑担?br>22．（本小題滿分12分）
已知雙曲線方程為，，為雙曲線的左、有焦點，離心率為2，點為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足，．
（1）求雙曲線的標(biāo)準方程；
（2）過點作斜率不為0的直線交雙曲線于A，B兩點；則在軸上是否存在定點使得為定值，若存在，請求出的值及此時面積的最小值，若不存在，請說明理由．
2023-2024學(xué)年度上學(xué)期期末
新洲區(qū)部分學(xué)校高中二年級質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)試卷（答案）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．B 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．AD10．BCD11．BD12．ABD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．14．0或215．716．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或步驟．
17．（本小題滿分10分）
【詳解】（1）設(shè)與直線平行的直線為，
將代入得，
故所求直線方程為
（2）設(shè)圓的方程為，，
由題意可得，即
解得，，，
則圓的方程為，即．
18．（本小題滿分12分）
【詳解】（1），
，
又，數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）得，即，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
又不適合上式，故數(shù)列的通項公式為
19．（本小題滿分12分）
【詳解】（1）由題可知，其中，所以，
又點在橢圓上，所以，即，解得，．
所以橢圓E的方程為．
（2）由橢圓的方程，得，所以，
設(shè)，其中，，因為，所以．
又點在橢圓上，所以，
聯(lián)立得，解得或（舍），
當(dāng)時，，即或．
所以當(dāng)C的坐標(biāo)為時，直線的方程為；
當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時，直線的方程為．
方法2：，，
設(shè)的方程為代入，得．
，，得．
直線的方程為或
20．（本小題滿分12分）
【詳解】（1）圓，圓心，半徑，
當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程為：，此時圓心到直線的距離，
則相交弦長為，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為：，即，
此時圓心到直線的距離，
則相交弦長為，解得：．
所以此時直線的方程為：，即．
（2）在圓外，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，
則圓心到直線的距離，所以弦長，
所以，當(dāng)時最大，，
即，即，解得或，
的最大值為1，此時直線的方程為：或．
21．（本小題滿分12分）
【詳解】（1）連接，交于點，，，
四邊形為平行四邊形，，四邊形為菱形，
，即，，折疊后，，又，
平面，又平面，．．
（2）在平面內(nèi)作平面，垂足為，則在直線上，
直線與平面夾角為，
又，，、Q兩點重合，即平面，
以O(shè)為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，即，
令得，又平面，為平面的一個法向量，設(shè)二面角為，則，
由圖可知二面角為鈍角，所以．
22．（本小題滿分12分）
【詳解】（1）由題意可得，可得，，所以，
又因為，．所以，由，
所以可得，而，
所以，可得，，所以雙曲線的方程為：；
（2）由（1）可得，因為直線的斜率不為0，設(shè)，，，聯(lián)立，整理可得：，因為，，，．
因為，要使為定值，則，解得，，
所以在軸上存在定點使得為定值，且定值為0，
此時，
又，，則，令，則，
所以，又在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，即，方程為時，面積取到最小值，且．

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