2024-2025學(xué)年安徽省宿州市某校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

這是一份2024-2025學(xué)年安徽省宿州市某校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案），共9頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.已知直線l1：x+ay?1=0，l2：(3a?2)x?ay+1=0，若l1⊥l2，則a=( )
A. 1或2B. 0C. 13D. 0或13
2.已知向量a,b,c，滿足|a|=1，|b|=2，|c|=3，?a,b?=?a+b,c?=π3，則a+b在c方向上的投影向量為( )
A. 2 73cB. 143cC. 76cD. 76c
3.已知圓O1：(x?1)2+(y+2)2=9，圓O2：x2+y2+4x+2y?11=0，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為( )
A. 外離B. 外切C. 相交D. 內(nèi)含
4.襪子由襪口、襪筒、腳趾三部分組成，現(xiàn)有四種不同顏色的布料，設(shè)計(jì)襪子的顏色配比，要求相連的部分顏色不同，共可以設(shè)計(jì)出不同顏色類型的襪子種數(shù)為( )
A. 12B. 24C. 36D. 48
5.若(1?2x)5(x+2)=a0+a1x+?+a6x6，則a3=( )
A. 120B. 240C. ?120D. ?240
6.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，∠A1AD=∠A1AB=π3，∠BAD=π2，則異面直線AC1與BB1所成角的余弦值為( )
A. 12
B. 23
C. 2 55
D. 3 1010
7.曲線y=1+ 4?x2與直線y=k(x?2)+4有兩個(gè)相異交點(diǎn)，則k的取值范圍是( )
A. (0,512)B. (13,34]C. (512,34]D. (512,+∞)
8.直線l：x?2y+ 3=0經(jīng)過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若M為線段AB中點(diǎn)，|MF|=|OM|，則橢圓的離心率為( )
A. 22B. 12C. 32D. 3?12
二、多選題：本題共3小題，共104分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.關(guān)于(x?2x)5的展開式的說(shuō)法中正確的是( )
A. 各項(xiàng)的系數(shù)之和為?1B. 二項(xiàng)式系數(shù)的和為64
C. 展開式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)D. 第4項(xiàng)的系數(shù)最大
10.已知拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，拋物線E上一點(diǎn)T(4,y0)到點(diǎn)F的距離為6，點(diǎn)M，N是拋物線C上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. p=4
B. 若|MF|+|NF|=20，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為10
C. 若FM延長(zhǎng)線交y軸于Q，且M是FQ的中點(diǎn)，則|FQ|=6
D. 當(dāng)|MF||MA|取最小值時(shí)，∠MAF=π4
11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足BP?=λBC+μBB1，則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 若λ=1，μ=0，則VP?A1BD=18
B. 若λ+μ=1，則D1P//平面A1BD
C. 若λ=1,μ=12，則OP⊥平面A1BD
D. 若λ=1，0≤μ≤1時(shí)，直線OP與平面A1BD所成的角為θ，則sinθ∈[ 63,1]
三、填空題：本題共3小題，每小題6分，共18分。
12.若過(guò)點(diǎn)P(1, 3)作圓O：x2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)，則|AB|= ．
13.數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某校有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6位同學(xué)獲獎(jiǎng)，在競(jìng)賽結(jié)束后站成一排合影留念時(shí)，假設(shè)A，B兩人必須相鄰且站在正中間，C，D兩人不能相鄰，則不同的站法共有______種.
14.如圖的“心形”曲線C恰好是半圓C1，半圓C2，曲線y=csx+1(0≤x≤π)，y=?csx?1(0≤x≤π)組合而成的，則曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于______．
四、解答題：本題共5小題，共30分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題6分)
已知二項(xiàng)式(x?3 x)n的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為a，各項(xiàng)的系數(shù)之和為b，a+b=32．
(1)求n的值；
(2)求其展開式中所有的有理項(xiàng)．
16.(本小題6分)
如圖，在六面體ABCD?A1B1C1D1中，AA1//BB1//CC1//DD1，且底面ABCD為菱形．

(1)證明：四邊形A1B1C1D1為平行四邊形．
(2)若AA1⊥平面ABCD，AA1=CC1，∠BAD=60°，DD1=5，AB=BB1=2，求平面A1B1C1D1與平面ABCD所成二面角的正弦值．
17.(本小題6分)
已知圓C：x2+y2=16分別與x、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)過(guò)點(diǎn)D(3,4)的直線l截C所得弦長(zhǎng)為2 7，求l的方程；
(2)若點(diǎn)P為C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與y軸交于點(diǎn)M，直線BP與x軸交于點(diǎn)N，求證：|AN|?|BM|為定值．
18.(本小題6分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD=2，E是PC的中點(diǎn)．
(1)求證：PA//平面EDB．
(2)求平面EDB與平面PAD夾角的余弦值．
(3)在棱PB上是否存在一點(diǎn)F，使直線EF⊥平面EDB？若存在，求出線段BF的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．
19.(本小題6分)
定義：由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)(焦點(diǎn)與頂點(diǎn)在同一邊)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“焦頂三角形”，如果兩個(gè)橢圓的”焦頂三角形”相似，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比，下列問(wèn)題中(C1對(duì)應(yīng)圖1，C2對(duì)應(yīng)圖2)．

(1)判斷橢圓C1：x24+y23=1與橢圓C2：x216+y212=1是否是“相似橢圓”？若是，求出相似比；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)證明：兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”的充要條件是離心率相等；
(3)已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，橢圓C2：x2a′2+y2b′2=1(a′>b′>0)的離心率為e′，C1與C2是“相似橢圓”，且C1與C2的相似比為k：1，若△AF2B的面積為S，求△A′F1′F2′的面積(用e′，k，S表示)．
參考答案
1.A
2.C
3.C
4.C
5.C
6.D
7.C
8.C
9.AC
10.ACD
11.BCD
12. 3
13.32
14.3π
15.解：(1)因?yàn)閍=2n，b=(?2)n，所以2n+(?2)n=32，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此方程無(wú)解，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，方程可化為2×2n=32，解得n=4；
(2)由通項(xiàng)公式Tr+1=C4rx4?r?(?3 x)r=(?3)r?C4rx4?32r，
當(dāng)4?32r為整數(shù)時(shí)，Tr+1是有理項(xiàng)，則r=0，2，4，
所以有理項(xiàng)為T1=(?3)0C40x4=x4,T3=(?3)2C42x1=54x,T5=(?3)4C44x?2=81x?2．
16.(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BC/?/AD，
又AD?平面A1ADD1，BC?平面A1ADD1，
所以BC/?/平面A1ADD1，
因?yàn)锽B1//AA1，AA1?平面A1ADD1，BB1?平面A1ADD1，
所以BB1/?/平面A1ADD1，
又BB1∩BC=B，BB1，BC?平面BCC1B1，
所以平面BCC1B1/?/平面A1ADD1，
又平面A1B1C1D1∩平面BCC1B1=B1C1，平面A1B1C1D1∩平面A1ADD1=A1D1，
所以B1C1//A1D1，
同理可得A1B1/?/C1D1，
所以四邊形A1B1C1D1為平行四邊形．
(2)解：由題意得BD=2,AC=2 3，
設(shè)菱形ABCD的中心為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC的方向分別為x，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則B1(1,0,2)，D1(?1,0,5)，
設(shè)AA1=?，則A1(0,? 3,?)，C1(0, 3,?)，
因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1為平行四邊形，
所以A1B1=D1C1，即(1, 3,2??)=(1, 3,??5)，
所以2??=??5，解得?=72，
所以A1B1=(1, 3,?32),A1D1=(?1, 3,32)，
設(shè)平面A1B1C1D1的法向量為n1=(x,y,z)，則A1B1?n1=0A1D1?n1=0，即x+ 3y?32z=0,?x+ 3y+32z=0,
令z=2，則x=3，y=0，所以n1=(3,0,2)，
易知平面ABCD的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1)，
設(shè)平面A1B1C1D1與平面ABCD所成二面角為θ
則csθ=|cs|=|n1?n2||n1|?|n2|=2 13×1=2 1313，
所以sinθ= 1?cs2θ= 1?(2 1313)2=3 1313，
所以平面A1B1C1D1與平面ABCD所成二面角的正弦值為3 1313．
17.(1)解：圓C：x2+y2=16的圓心(0,0)，半徑為4，過(guò)點(diǎn)D(3,4)的直線l截C所得弦長(zhǎng)為2 7，
根據(jù)垂徑定理可得圓心到直線的距離d= 42?( 7)2=3．
①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為：x=3，
直線l截所得弦長(zhǎng)2 r2?d2=2 7，符合題意：
②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y?4=k(x?3)，
圓心到直線l的距離為d=|4?3k| k2+1=3，解得k=724．
綜上所述，直線l的方程為7x?24y+75=0或x=3．
(2)證明：根據(jù)題意，A(4,0)，B(0,4)，設(shè)P(x1,y1)(x1≠4且x1≠0)，則x12+y12=16，
直線AP方程是y=y1x1?4(x?4)，令x=0，得y=?4y1x1?4，
直線BP方程是y=y1?4x1x+4，令y=0，得x=?4x1y1?4，
所以|AN|?|BM|=|4??4x1y1?4|?|4??4y1x1?4|=16|(x1+y1?4)2(x1?4)(y1?4)|
=16|x12+y12+2x1y1?8x1?8y1+16x1y1?4x1?4y1+16|=16|16+2x1y1?8x1?8y1+16x1y1?4x1?4y1+16|=32，
即|AN|?|BM|為定值．
18.解：(1)證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE．
因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，
所以PA/?/OE，又OE?平面EDB，PA?平面EDB，
所以PA//平面EDB．
(2)如圖，以DA、DC、DP的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，B(1,2,0)，E(0,1,1)，
所以DB=(1,2,0),DE=(0,1,1)．
設(shè)平面EDB的法向量為m=(x,y,z)，則m⊥DB，m⊥DE，
所以DB?m=x+2y=0,DE?m=y+z=0,令y=?1，得x=2，z=1，所以m=(2,?1,1)，
由題可得，平面PAD的一個(gè)法向量為n=(0,1,0)，
設(shè)平面EDB和平面PAD的夾角為θ，
則csθ=|cs?m,n?|=|m?n||m||n|=1 6= 66，
所以平面EDB和平面PAD夾角的余弦值為 66．
(3)由(2)知，D(0,0,0)，B(1,2,0)，E(0,1,1)，P(0,0,2)，
則EB=(1,1,?1),BP=(?1,?2,2)，BF=λBP=(?λ,?2λ,2λ)(0≤λ≤1)，
EF=EB+BF=(1,1,?1)+(?λ,?2λ,2λ)=(1?λ,1?2λ,?1+2λ)，
由(2)知，平面EDB的一個(gè)法向量可為m=(2,?1,1)，
根據(jù)題意可得：EF//m，即1?λ?1+2λ=21，解得λ=35，
又當(dāng)λ=35時(shí)，BF=(?λ,?2λ,2λ)=(?35,?65,65)，
所以|BF|= 925+3625+3625=95，則BF的長(zhǎng)為95．
綜上所述，棱PB上存在一點(diǎn)F，使直線EF⊥平面EDB，且BF的長(zhǎng)為95．
19.解：(1)易知|BF2|=2?1=1,|AF2|=2,|AB|= 4+3= 7，
|B′F2′|=4?2=2,|A′F2′|=4,|A′B′|= 16+12=2 7，
所以|BF2||B′F2′|=|AF2||A′F2′|=|AB||A′B′|=12，
所以兩個(gè)橢圓的”焦頂三角形”相似，
則這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且相似比為12．
(2)證明：若兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，
此時(shí)其焦頂三角形的三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，

若∠ABO=∠A′B′O′，
則tan∠ABO=|AO||BO|=ba，
tan∠A′B′O′=|A′O′||B′O′|=b′a′，
所以ba=b′a′，
因?yàn)閑=ca= c2a2= a2?b2a2= 1?b2a2，
e′=c′a′= c′2a′2= a′2?b′2a′2= 1?b′2a′2= 1?b2a2，
所以e=e′；
若離心率相等，
此時(shí)ca=c′a′，
所以ba=b′a′，
所以tan∠ABO=|AO||BO|=ba，tan∠A′B′O′=|A′O′||B′O′|=b′a′=ba，
則∠ABO=∠A′B′O′；
同理得tan∠AF2O=|AO||F2O|=bc，tan∠A′F2′O′=|A′O′||F2′O′|=b′c′=bc，
所以∠AF2O=∠A′F2′O′，
可得∠AF2B=∠A′F2′B′；
所以兩個(gè)橢圓的”焦頂三角形”相似，
所以兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，
則兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”的充要條件是離心率相等；
(3)設(shè)橢圓C1的半焦距為c，
因?yàn)闄E圓C2的離心率為e′，橢圓C2與C1相似，
所以橢圓C1的離心率也為e′，
因?yàn)镾△AF2F1=12?2c?b=bc，S△AF2B=12ab?12ac=12b(a?c)，
所以△AF2F1的面積與△AF2B的面積之比為2c：(a?c)，
所以△AF2F1的面積為2cSa?c，
因?yàn)镃1與C2的相似比為k：1，
所以△AF2F1的面積與△AF′2F1′的面積的比為k2：1．
則△AF′2F1′的面積為2cS(a?c)k2=2?ca?S(1?ca)k2=2e′S(1?e′)k2．