1.已知事件A與B互斥，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，則( )
A. P(AB)=0.2B. P(A∪B)=0.9C. P(A?)=0.5D. P(B?)=0.6
2.已知等軸雙曲線過點(diǎn)(2,1)，則該雙曲線方程為( )
A. x2?y2=1B. x2+y2=5C. x2?y2=3D. y2?x2=3
3.若點(diǎn)(1,1)在圓(x?a)2+y2=5的外部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. (?1,3)B. (?2,2)
C. (?∞,?1)∪(3,+∞)D. (?∞,?2)∪(2,+∞)
4.已知直線l1：2x+y+n=0，l2：4x+my?4=0互相平行，且l1，l2之間的距離為35 5，則m+n=( )
A. ?3或3B. ?2或4C. ?1或5D. ?2或2
5.某高中有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學(xué)生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本.經(jīng)計(jì)算得到男生身高樣本均值為170cm，方差為17cm2；女生身高樣本均值為160cm，方差為30cm2.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是( )個(gè)
①男生樣本量為30；②每個(gè)女生入樣的概率均為25；③所有樣本的均值為166cm；④所有樣本的方差為22.2cm2
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.如圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的2018年春運(yùn)期間十二個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格以及相比去年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是( )
A. 變化幅度從高到低居于后兩位的城市為北京，深圳
B. 天津的變化幅度最大，北京的平均價(jià)格最高
C. 北京的平均價(jià)格同去年相比有所上升，深圳的平均價(jià)格同去年相比有所下降
D. 廈門的平均價(jià)格最低，且相比去年同期降幅最大
7.已知斜率存在的直線l與橢圓x216+y24=1交于A，B兩點(diǎn)，且l與圓C：(x?1)2+y2=1切于點(diǎn)P.若P為線段AB的中點(diǎn)，則直線PC的斜率為( )
A. 2 2B. ? 2C. 2 2或?2 2D. 2或? 2
8.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為5，點(diǎn)M在棱AB上，且AM=2，點(diǎn)P是正方體下底面ABCD內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為25，則動(dòng)點(diǎn)P到B點(diǎn)的最小值是( )
A. 72B. 2 3C. 6D. 2
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.北京時(shí)間2024年7月27日，我國射擊健將黃雨婷、盛李豪在奧運(yùn)會(huì)上戰(zhàn)勝韓國選手，摘奪了射擊混合團(tuán)體10米氣步槍金牌，通過賽后數(shù)據(jù)記錄得到其中一名選手的得分分別為7，12，13，18，18，20，32，則( )
A. 該組數(shù)據(jù)的極差為26
B. 該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為20
C. 該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為18
D. 若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)最高分和最低分，則這組數(shù)據(jù)的方差變小
10.下列說法正確的是( )
A. 如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則這組數(shù)據(jù)是近似對(duì)稱的
B. A，B，C三點(diǎn)不共線，平面ABC外一點(diǎn)O，若2OP=32OA+14OB+14OC，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
C. 已知空間直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)A(2,0,2)、B(0,0,1)、C(2,2,2)，則點(diǎn)A到直線BC的距離為2 53
D. 有2人從一座8層大樓的底層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則該2人在不同層離開電梯的概率是78
11.已知F是拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，A，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則( )
A. 若A的縱坐標(biāo)為2，則|AF|=3
B. 若直線AB過點(diǎn)F，則|AB|的最小值為4
C. 若OA?OB=?4，則直線AB恒過定點(diǎn)(2,0)
D. 若BB′垂直C的準(zhǔn)線于點(diǎn)B′，且|BB′|=2|OF|，則四邊形OFBB′的周長為3+ 5
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.設(shè)a=(1,?2,3)，b=(?3,1,2)，ka+b與b垂直，則k等于______．
13.已知直線y=k(x+2)與曲線y= 1?x2有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則k的取值范圍是______．
14.從雙曲線x216?y225=1的左焦點(diǎn)F1引圓x2+y2=16的切線，切點(diǎn)為T，延長F1T交雙曲線右支于P點(diǎn)，設(shè)M為線段F1P的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)坐標(biāo)，則|MO|?|MT|=______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
某地區(qū)課改時(shí)實(shí)行高考新方案試點(diǎn)，規(guī)定：語文、數(shù)學(xué)和英語是必考科目，考生還要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目.為了解某校學(xué)生選科情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表，用頻率估計(jì)概率．
(1)已知該校高一年級(jí)有400人，估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生中選考?xì)v史的人數(shù)；
(2)現(xiàn)采用分層抽樣(按比例抽取)的方式從樣本中隨機(jī)抽取三個(gè)年級(jí)中選擇歷史學(xué)科的5名學(xué)生組成興趣小組，再從這人中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加知識(shí)問答比賽，求這2名參賽同學(xué)來自不同年級(jí)的概率．
16.(本小題15分)
已知圓O：x2+y2=r2(r>0)上一點(diǎn)P(3,4)．
(1)求圓O在點(diǎn)P處的切線方程；
(2)過點(diǎn)P作直線l交圓O于另一點(diǎn)A，點(diǎn)B(0,5)滿足S△ABP=15，求直線l的方程．
17.(本小題15分)
計(jì)算機(jī)能力考試分理論考試與實(shí)際操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計(jì)算機(jī)考試“合格”，并頒發(fā)合格證書．甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為45，34，23，在實(shí)際操作考試中“合格”的概率依次為12，23，56，所有考試是否合格相互之間沒有影響．
(1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行計(jì)算機(jī)理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，誰獲得合格證書的可能性最大？
(2)這三人進(jìn)行計(jì)算機(jī)理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率．
18.(本小題17分)
如圖所示，直角梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四邊形EDCF為矩形，CF= 3，平面EDCF⊥平面ABCD．
(1)求證：DF//平面ABE；
(2)求平面ABE與平面EFB夾角的余弦值；
(3)在線段DF上是否存在點(diǎn)P，使得直線BP與平面ABE所成角的余弦值為 134，若存在，求出線段BP的長度，若不存在，請(qǐng)說明理由．
19.(本小題17分)
已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離與到其準(zhǔn)線l的距離之和的最小值為2．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知點(diǎn)A，B，D(a,2)是拋物線C上不同的三點(diǎn)．
(i)若直線AB過點(diǎn)F，且交準(zhǔn)線l于點(diǎn)M，MA=λ1AF，MB=λ2BF，求λ1+λ2的值；
(ii)若直線DA，DB的斜率分別為k1，k2，且k1k2=1，求直線AB的斜率k的取值范圍．
參考答案
1.B
2.C
3.C
4.A
5.B
6.D
7.C
8.B
9.BCD
10.BC
11.BC
12.?14
13.[0, 33)
14.1
15.解：(1)由題意知，樣本中高一學(xué)生共有100人，
其中選擇歷史學(xué)科的學(xué)生有20人，
∴估計(jì)高一年級(jí)選歷史學(xué)科的學(xué)生有400×20100=80人．
(2)由表格數(shù)據(jù)可知應(yīng)從樣本中三個(gè)年級(jí)選歷史的學(xué)生中分別抽取人數(shù)為1，2，2，
編號(hào)依次為A1，A2，A3，A4，A5，
從這5名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參加比賽，所有可能的結(jié)果為：
{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,A5}，{A2,A3}，{A2,A4}，{A2,A5}，{A3,A4}，{A3,A5}，{A4,A5}，共10種，
設(shè)A為事件“這2名參賽同學(xué)來自不同年級(jí)”，
則 A?為事件“這2名參賽同學(xué)來自相同年級(jí)”，有{A2,A3}，{A4,A5}共2種，
∴這2名參賽同學(xué)來自不同年級(jí)的概率為：
P(A)=1?P(A?)=1?210=45．
16.解：(1)圓O：x2+y2=r2(r>0)上一點(diǎn)P(3,4)，點(diǎn)P(3,4)在圓x2+y2=r2上，可得r=5，
因直線OP的斜率為kOP=43，則圓O在點(diǎn)P處的切線斜率為?34，
故切線方程為y?4=?34(x?3)，即3x+4y?25=0；
(2)如圖，由(1)知圓O：x2+y2=25，又點(diǎn)P(3,4)，B(0,5)，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y?4=k(x?3)，即kx?y+4?3k=0，
代入x2+y2=25中，整理得：(k2+1)x2?(6k2?8k)x+9k2?24k?9=0，
設(shè)A(x0,y0)，由韋達(dá)定理，3x0=9k2?24k?9k2+1，即x0=3k2?8k?3k2+1，
代入kx?y+4?3k=0，可得y0=?4k2?6k+4k2+1，即A(3k2?8k?3k2+1,?4k2?6k+4k2+1)，
于是|PA|2=(3k2?8k?3k2+1?3)2+(?4k2?6k+4k2+1?4)2=(k2+1)(8k+6)2(k2+1)2，
則得|PA|=|8k+6| k2+1k2+1，
點(diǎn)B(0,5)到直線l：kx?y+4?3k=0的距離為：d=|3k+1| k2+1，
則S△ABP=12×|8k+6| k2+1k2+1×|3k+1| k2+1=15，解得k=43或k=3，
故直線l的方程為4x?3y=0或3x?y?5=0．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x=3，易知此時(shí)，A(3,?4)，
點(diǎn)B(0,5)到l：x=3的距離為3，則S△ABP=12×8×3=12，不符合題意．
綜上：直線l的方程為4x?3y=0或3x?y?5=0．
17.解：(1)記“甲獲得‘合格證書’”為事件A，“乙獲得‘合格證書’”為事件B，
“丙獲得‘合格證書’”為事件C，
則P(A)=45×12=25,P(B)=34×23=12,P(C)=23×56=59
從而P(A)0，
設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，又M(?1,?2m)，
則y1+y2=4my1y2=?4，所以MA=(x1+1,y1+2m),AF=(1?x1,?y1)，
由MA=λ1AF，得y1+2m=?λ1y1，整理得λ1=?1?2my1，同理得λ2=?1?2my2，
所以λ1+λ2=?2?2m(1y1+1y2)=?2?2m?y1+y2y1y2=?2?2m?4m?4=0．
(ii)設(shè)直線AB的方程為：x=uy+t，
聯(lián)立x=uy+ty2=4x，消去x得y2?4uy?4t=0，則Δ=16u2+16t>0，
A(x3,y3)，B(x4,y4)，y3+y4=4u，y3y4=?4t，
而D(1,2)，所以k1=y3?2x3?1=y3?2y324?1=4y3+2,k2=4y4+2，
因?yàn)閗1k2=1，所以4y3+2?4y4+2=16，即(y3+2)(y4+2)=16，
即y3y4+2(y3+y4)+4=16，則?4t+8u?12=0，解得t=2u?3，
由Δ>0，得u2+2u?3>0，解得u1，
則k=1u∈(?13,0)∪(0,1)，
所以直線AB的斜率k的取值范圍是(?13,0)∪(0,1)．
選考情況
第1門
第2門
第3門
第4門
第5門
第6門
物理
化學(xué)
生物
歷史
地理
政治
高一選科人數(shù)
80
70
35
20
35
60
高二選科人數(shù)
60
45
55
40
40
60
高三選科人數(shù)
50
40
60
40
40
70

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