1. 如圖，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則的值為（ ）
A. 6B. C. 13D.
【答案】C
【解析】由題意，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，
則.
故選：C.
2. 已知集合，其中表示不超過的最大整數(shù)，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題意，，，則.
故選：D.
3. 已知向量和滿足與的夾角為，則（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】由題意，.
故選：D.
4. 已知銳角滿足，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意，①，
則，又，
所以，
所以，
因?yàn)闉殇J角，所以，所以②，
由①和②聯(lián)立可解得，
所以.
故選：B.
5. 在平面內(nèi)，兩定點(diǎn)、之間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)、，
設(shè)點(diǎn)，由可得，
整理可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，如下圖所示：
所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，
因此，點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為.
故選：A.
6. 某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)第一天去兩個(gè)餐廳的概率分別是和，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為，則王同學(xué)第二天去餐廳的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意，設(shè)王同學(xué)第一天去餐廳為事件，第二天去餐廳為事件，
第一天去餐廳為事件，第二天去餐廳為事件，
則，，
則根據(jù)全概率公式，.
故選：C.
7. 如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓面，若，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
設(shè)圓的半徑為，橢圓方程為，
由題意，截面橢圓的半短軸長(zhǎng)等于圓柱的底面半徑，即，
因?yàn)?，，所以?br>在中，，，所以，
所以橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于，即，
所以，
因此橢圓的離心率.
故選：D.
8. 閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：直線l是兩平面與的交線，則下列向量可以為直線l的方向向量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由閱讀材料可知：平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
設(shè)直線的方向向量，
則，令，則，
故選：B
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則（ ）
A. B. 是公差為2的等差數(shù)列
C. D.
【答案】ACD
【解析】因?yàn)?，所以?shù)列為等差數(shù)列，且，則，又，則.故A選項(xiàng)正確；
，則，即為公差的等差數(shù)列，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由，故C選項(xiàng)正確；
，則，故D正確.
故選ACD.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 是周期為的函數(shù)
B. 與函數(shù)是同一函數(shù)
C. 是的一條對(duì)稱軸
D. 在區(qū)間上的取值范圍是
【答案】AD
【解析】由題意，，故A正確；
，
故B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>所以不是的一條對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，則，
則，
即在區(qū)間上的取值范圍是，故D正確.
故選：AD.
11. 數(shù)學(xué)里常研究一些形狀特殊的曲線，常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法.比如形狀酷似“星星”的曲線（如圖所示），則下列關(guān)于曲線的說法正確的有（ ）
A. 周長(zhǎng)大于25
B. 共有4條對(duì)稱軸
C. 圍成的封閉圖形面積小于14
D. 圍成的封閉圖形內(nèi)能放入圓的最大半徑為1
【答案】ABC
【解析】對(duì)A：由題意，在第一象限曲線的方程為，
即，
當(dāng)時(shí)，曲線在圓的下方，理由如下：
因?yàn)椋稍O(shè)，，
則
而
（只有當(dāng)或時(shí)取“”）.
所以（只有和時(shí)取“”）.
故時(shí)，曲線在圓的下方.
即第一象限曲線的長(zhǎng)度大于圓周長(zhǎng)的，
即曲線的周長(zhǎng)大于圓的周長(zhǎng)，而，則A選項(xiàng)正確；
對(duì)B：由曲線的方程為可知，
因?yàn)?，，，代入方程，方程都不變?br>所以曲線關(guān)于軸，軸，直線和對(duì)稱，共有4條對(duì)稱軸，則選項(xiàng)B正確；
對(duì)C：由A選項(xiàng)的推證可知：曲線圍成的封閉圖形的面積，
則選項(xiàng)C正確；
對(duì)D：第一象限曲線的方程為，
所以，，（都是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.
所以曲線上距離原點(diǎn)的最短距離為，因此圍成的封閉圖形內(nèi)最大能放入半徑為的圓，
則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：ABC
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.
12. 展開式的常數(shù)項(xiàng)為______.
【答案】60
【解析】的常數(shù)項(xiàng)為,
故答案為：
13. 銳角中，分別為角所對(duì)的邊，且，若，則周長(zhǎng)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】由已知得，所以，
解得，
由正弦定理得，
所以，，
所以
，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以銳角周長(zhǎng)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)在上的最大值比最小值大，則______.
【答案】1
【解析】，
所以為奇函數(shù)，且在上的最大值比最小值大，
所以在上最大值比最小值大.
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增.
則，
解得.
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
，
因?yàn)椋裕?br>所以，
解得（舍去）或9（舍去）.
綜上，
故答案為：1
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 為了研究某市高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)抽取了200名高三年級(jí)學(xué)生，整理數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表，并畫出身高的頻率分布直方圖：
（1）根據(jù)身高的頻率分布直方圖，求列聯(lián)表中的，的值；
（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“高三年級(jí)學(xué)生的性別”與“身高是否低于”有關(guān)聯(lián)？
（3）將樣本頻率視為概率，在全市不低于的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，其中不低于的人數(shù)記為，求的期望.
附：，
解：（1）由圖，低于學(xué)生有人，則不低于170cm的學(xué)生有人.
從而，；
（2）零假設(shè)為：性別與身高沒有關(guān)聯(lián)，
計(jì)算可得
根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，因此該市高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高是否低于170cm有關(guān)聯(lián)；
（3）樣本中抽中不低于175cm的頻數(shù)為人
樣本中抽中不低于175cm的頻率為
將樣本頻率視為概率，在全市不低于170cm的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，
其中不低于175cm的人數(shù)記為，則
.
16. 已知函數(shù).
（1）求在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求取值范圍.
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故，，
所以，在點(diǎn)處切線方程為，即.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不等正根，
即有兩個(gè)不等正根，
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，
如下圖所示：
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，
由圖可知，當(dāng)或時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，
此時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，
故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，
綜上，的取值范圍為.
17 已知數(shù)列中，.
（1）若依次成等差數(shù)列，求；
（2）若，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和.
（1）解：，
又依次成等差數(shù)列，所以，
即，解得.
（2）證明：因?yàn)椋?br>且，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
可得，則，
.
18. 如圖所示，三棱柱中，平面平面，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.
（1）當(dāng)時(shí)，求證：；
（2）若平面與平面所成角的正切值為，求的值.
（1）證明：方法一：由可得，，
即，即.
如圖：
當(dāng)時(shí)，在中，，，，因?yàn)?，所以，又，所?
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面.
又平面，所以.
又在平行四邊形中，，，為中點(diǎn)，所以，
，平面，
所以平面.
又平面，所以.
方法二：（向量方法）
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以過作于，則平面；
連接，因?yàn)?，所?
在中，，，.
所以，則，
.
，
當(dāng)時(shí)，.
.
所以.
（2）解：如圖，由（1）得：兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立如圖所示坐標(biāo)系.
平面中，，.
，
設(shè)平面的法向量為：，
則,
令，則；
平面中，由（1）可知，，
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以.
，
設(shè)平面的法向量為，
則,
令，則；
由題意，設(shè)平面與平面所成角為，且，則.，解得.
即平面與平面所成角的正切值為時(shí)，的值為.
19. 已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）若過點(diǎn)的直線與曲線相切，且與直線分別交于點(diǎn).
（i）證明：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；
（ii）求的取值范圍.
解：（1）為的垂直平分線上一點(diǎn)，則.
.
點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且
故點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）（i）設(shè)，
雙曲線漸近線方程為①，②
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)且與相切的直線的方程為，
與雙曲線聯(lián)立
由，且，故可得.
由；
.
.
點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程是，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，
此時(shí)直線即是雙曲線的切線，同時(shí)滿足點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
綜上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
（ii）由（i）知，.
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
又，
的取值范圍為.
性別
身高
合計(jì)
低于
不低于
女
20
男
50
合計(jì)
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828

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