一、單選題
1．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．D．
2．集合的非空真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．14B．15C．30D．31
3．已知函數(shù)，則的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
4．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“，，”成等差數(shù)列的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
5．現(xiàn)有五人站成一排，則相鄰且不相鄰的排法種數(shù)共有（ ）
A．6B．12C．24D．48
6．已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．已知函數(shù)，若存在滿足，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．若，，且，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為
D．的最大值為3
10．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.按照以下方式可構(gòu)造一個(gè)半正多面體：如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體中，，，過(guò)三點(diǎn)可做一截面，類似地，可做8個(gè)形狀完全相同的截面.關(guān)于該幾何體，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，該幾何體是一個(gè)半正多面體
B．若該幾何體是由正八邊形與正三角形圍成的半正多面體，則邊長(zhǎng)為
C．若該幾何體是由正方形與正三角形圍成的半正多面體，則體積為
D．該幾何體可能是由正方形與正六邊形圍成的半正多面體
11．已知點(diǎn)，曲線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．曲線上存在點(diǎn)，使得
B．直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)
C．若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是
D．點(diǎn)是曲線上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向直線與直線作垂線，垂足分別為，則
三、填空題
12．若的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為0，則 .
13．已知三棱錐如圖所示，兩兩垂直，且，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則空間幾何體的體積為 .
14．已知中內(nèi)角滿足，若在邊上各取一點(diǎn)，滿足，，則角 ，三角形的面積的最大值是 .
四、解答題
15．某工廠的生產(chǎn)線上的產(chǎn)品按質(zhì)量分為：一等品，二等品，三等品.質(zhì)檢員每次從生產(chǎn)線上任取2件產(chǎn)品進(jìn)行抽檢，若抽檢出現(xiàn)三等品或2件都是二等品，則需要調(diào)整設(shè)備，否則不需要調(diào)整.已知該工廠某一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品每件為一等品，二等品，三等品的概率分別為0.9，0.05和0.05，且各件產(chǎn)品的質(zhì)量情況互不影響.
(1)求在一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整的概率；
(2)若質(zhì)檢員一天抽檢3次，以表示一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
16．如圖，側(cè)面水平放置的正三棱臺(tái)，側(cè)棱長(zhǎng)為為棱上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
17．已知數(shù)列和滿足.記數(shù)列和滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
18．若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：①；②對(duì)任意且恒成立，則稱具有性質(zhì).
(1)證明：函數(shù)具有性質(zhì)；
(2)判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
(3)記，若具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的值.
19．已知雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在上.按如下方式構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線與的左支交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，記點(diǎn)的坐標(biāo)為為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求的面積；
(2)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(3)分別為線段的中點(diǎn)，記的面積分別為.判斷是否為定值，如果是定值，求的值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
1．B
【詳解】依題意有：，
故選：B.
2．C
【詳解】解不等式，得，又，所以，共5個(gè)元素，
所以集合的非空真子集個(gè)數(shù)為，
故選：C.
3．B
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以時(shí)，，則周期，
所以，
當(dāng)時(shí)，，所以.
故選：B.
4．A
【詳解】 若，，成等差數(shù)列，則，即，
即，解之得或，
故“”是“，，”成等差數(shù)列的充分不必要條件.
故選：A.
5．C
【詳解】根據(jù)題意，將，看成一個(gè)整體，，的排列方法有種方法，
然后將這個(gè)整體與進(jìn)行全排列，即不同的排列方式有，
最后將，插入到三個(gè)空中的兩個(gè)中，有種方法，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知排法種數(shù)為，
故選：C.
6．D
【詳解】令，由，可得，
可得點(diǎn)的軌跡方程為，其中圓心，半徑為2.
而直線過(guò)定點(diǎn)，
故距離的最大值為，
故選：D.
7．A
【詳解】函數(shù)，
其中，，，
，是在內(nèi)的兩根，
又，，
則在有對(duì)稱軸滿足，
故有，則，
那么，
由，知.
故選：A
8．C
【詳解】先證明，記，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即在上恒成立，即成立；
由糖水不等式可得：，故；
設(shè)，，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，故C正確，
故選：C.
9．ACD
【詳解】對(duì)于A，由，得，因此，故A正確；
對(duì)于B，若，則，所以，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因，，
由在上的投影向量為，解得，
又，，故C正確；
對(duì)于D，因，
故，
當(dāng)，即時(shí)，
也即時(shí)，取得最大值9，即的最大值為3，故D正確.
故選：ACD.
10．BCD
【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，但，不滿足正多邊形條件，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：如圖1，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為4的正方體中，，，…，，所以，，
當(dāng)此半正多面體是由正八邊形與正三角形圍成時(shí)，，，解得，故B正確；
選項(xiàng)C，如圖2，當(dāng)此半正多面體是由正方形與正三角形圍成時(shí)，，
所以，體積為，故C正確；
選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，如圖3所示，此半正多面體是由正方形與正六邊形圍成，
此時(shí)幾何體也是半正多面體，故D正確，
故選：BCD.
11．BC
【詳解】當(dāng)，時(shí)，曲線，即；
當(dāng)，時(shí)，曲線，即不存在；
當(dāng)，時(shí)，曲線，即；
當(dāng)，時(shí)，曲線，即，
畫(huà)出圖形如圖所示：
對(duì)于A：滿足條件的曲線是雙曲線的下支，
該雙曲線的下支與曲線是沒(méi)有交點(diǎn)的，
所以不存在曲線上的點(diǎn)，使得成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：一三象限曲線的漸近線方程為，
則直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線，三個(gè)交點(diǎn)，顯然.
聯(lián)立；
聯(lián)立；
直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍是，C正確；
對(duì)于D：設(shè)，由點(diǎn)到直線距離公式得：，，
所以.
因?yàn)辄c(diǎn)是曲線上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，則有，
所以，故D錯(cuò)誤，
故選:BC.
12．
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為,
當(dāng)時(shí),，的展開(kāi)式有常數(shù)項(xiàng),
當(dāng)時(shí),，的展開(kāi)式有常數(shù)項(xiàng)，
所以，所以.
故答案為：
13．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
因?yàn)?，，，，平面?br>所以平面，所以平面，且，
因此，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，
所以，，
所以.
故答案為：.
14．
【詳解】由，得，又因?yàn)?，代入上式中，，整理可得，故，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由于，所以，因?yàn)?，所以，又此時(shí)，故為等邊三角形，故角；如圖，在中，由余弦定理得，所以，所以，從而，設(shè)，則，，，在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，，其中，所以的最大值為，當(dāng)時(shí)取得最大值，所以.
故答案為：；.
15．(1)；
(2)分布列見(jiàn)解析，.
【詳解】（1）設(shè)表示事件“在一次抽檢中抽到的第件產(chǎn)品為一等品”，，
表示事件“在一次抽檢中抽到的第件產(chǎn)品為二等品”，，
表示事件“一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整”，則.
由已知，
所求的概率為.
（2）依題意有：隨機(jī)變量的可能取值為，
由（1）知一次抽檢后，設(shè)備需要調(diào)整的概率為，
依題意知，則，
故的分布列為：
所以：.
16．(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在，點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)
【詳解】（1）延長(zhǎng)三條側(cè)棱交于一點(diǎn)，如圖所示，
因?yàn)檎馀_(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為，且
所以，而，所以，
，即，同理，
，又平面，
所以平面，即平面.
（2）由（1）知，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
，
設(shè)，
則，則.
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，所以，
因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，
所以，
整理得，即，解得或（舍），
故當(dāng)點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，使得直線與平面所成角的正弦值為.
17．(1)，
(2)
【詳解】（1）①由題可得①，②.
由①+②得：，即，
于是數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為，于是，
由①-②得：，即，
于是數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為2，于是.
（2）求和看通項(xiàng)：，
奇數(shù)項(xiàng)和；
偶數(shù)項(xiàng)和：
，
，
所以.
18．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析；
(3)0或1.
【詳解】（1）依題意，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因此，所以具有性質(zhì).
（2）依題意，；
令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，則，
因此，所以具有性質(zhì).
（3）由，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)0，則只能具有性質(zhì)，
令，求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
①當(dāng)或1時(shí)，，由在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則對(duì)任意，均有，
即，于是，
，因此函數(shù)具有性質(zhì)；
②當(dāng)時(shí)，，
于是存在使得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則對(duì)任意，均有，
即，于是，
，因此函數(shù)不具有性質(zhì)；
③當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則存在使得，
由在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
則對(duì)任意，均有，
即，于是，
，因此函數(shù)不具有性質(zhì)，
所以實(shí)數(shù)的值為0或1.
19．(1)1
(2)證明見(jiàn)解析
(3)是定值，
【詳解】（1）由題知，又，所以，
故雙曲線的方程為.
又過(guò)點(diǎn)，斜率為1的直線方程為，如圖，
由雙曲線與直線的對(duì)稱性可知，所以，
又過(guò)，且斜率為1的直線方程為，即，
由，解得或，
當(dāng)時(shí)，，所以；
于是：.
（2）設(shè)，
則過(guò)，且斜率為1的直線方程為，
聯(lián)立，消得到，
由題有，得到，
由題知點(diǎn)在直線上，即有，
所以，所以，所以，
由（1）知，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.
（3）由（2）知，得到，
由，即，
即，則，
，
故，
，
故，
，
即，則，
由可得：
，
由可得：
，
所以：.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
A
C
D
A
C
ACD
BCD
題號(hào)
11









答案
BC









0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001

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