總分：150分 時量：120分鐘
一、單選題（每小題5分，共40分）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 復(fù)數(shù)，則z的虛部為（ ）．
A. 3B. C. iD.
3. 已知向量，則在上投影向量為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
5. 已知函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（ ）
A B. C. D.
6. 將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，在中，C是的中點(diǎn)，P在線段上，且.過點(diǎn)P的直線交線段分別于點(diǎn)N，M，且，其中，則的最小值為（ ）
A. B. C. 1D.
8. 已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、多選題（每小題6分，共18分，每題全對得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分）
9. 下列說法中，正確的命題有（ ）
A. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則
B. 以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和0.3
C. 在做回歸分析時，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越好
D. 若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為16
10. 已知函數(shù)，若將的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
D. 在上單調(diào)遞增
11. 如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 平面
C. 的最小值為
D. 當(dāng)，C，，P四點(diǎn)共面時，四面體的外接球的體積為
三、填空題（每小題5分，共15分）
12. 記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則________.
13. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_____________．
14. 已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)A，若，且的內(nèi)切圓半徑為1，則該橢圓的離心率是______．
四、解答題（共77分）
15. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．
（1）求；
（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．
16. 某機(jī)構(gòu)為了了解某地區(qū)中學(xué)生的性別和喜愛游泳是否有關(guān)，隨機(jī)抽取了100名中學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：
已知在這100人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.
（1）請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；
（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)聯(lián)；
（3）將樣本頻率視為總體概率，在該地區(qū)的所有中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，計(jì)抽取的3人中喜歡游泳的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．
附：.
17. 如圖所示，在三棱錐中，與AC不垂直，平面平面，．
（1）證明：；
（2）若，點(diǎn)M滿足，求直線與平面所成角的正弦值．
18. 已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．
（1）求；
（2）設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．
19. 南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問題”.在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式. 如圖，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第層球數(shù)比第層球數(shù)多，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列an.
（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（2）求最小值；
（3）若數(shù)列bn滿足，對于，證明：.
2025屆麓山國際高三第一次學(xué)情檢測試卷
高三年級數(shù)學(xué)答案
一、單選題（每小題5分，共40分）
1. B
解析：因?yàn)?，?br>所以.
故選：B.
2. B
解析：復(fù)數(shù)，
所以的虛部為
故選：B.
3. A
解析：根據(jù)題意，在上的投影向量為：
.
故選：A
4. C
解：由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”得：
在上單調(diào)遞減，且，
所以且，解得：.
故的取值范圍是
故選：C.
5. C
解析：由，，可得：，令，
依題意，函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn).
又，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故時，取得極大值，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn).，需使，解得.
故選：C.
6. C
解析：將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，
若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，
所以2個0不相鄰的概率為.
故選：C.
7. C
解：，則，，又P，M，N共線，∴.又，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故選：C.
8. B
解析：因?yàn)椋?br>當(dāng)時，因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最值，
則，解得，
當(dāng)時，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，
則，
所以 其中，解得，
所以，解得，
又因?yàn)?，則．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
又因?yàn)?，因此的取值范圍是．
故選：B．
二、多選題（每小題6分，共18分，每題全對得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分）
9. ABC
解析：對于A，因，且，于是得，故A正確；
對于B，由得，依題意得，即，故B正確；
對于C，在做回歸分析時，由殘差圖表達(dá)的意義知，C正確；
對于D，依題意的方差為，故D不正確．
故選：ABC.
10. BC
解析：因?yàn)椋?br>所以，
所以，而將的圖象平移后能與
函數(shù)的圖象完全重合，所以，解得，故A錯誤，
此時，向右平移個單位長度后，
設(shè)得到的新函數(shù)為，，
由正弦函數(shù)性質(zhì)得是奇函數(shù)，故B正確，
令，解得，
當(dāng)時，，所以圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確，
由題意得，，，
所以在上不單調(diào)，故D錯誤.
故選：BC
11. ABD
解析：對于A，因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，平面，
所以平面，又，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
又為定值，
故定值，A正確；
對于B，因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br>同理可知平面，
又，平面，
所以平面平面，
由于平面，故平面，B正確.
對于C，展開兩線段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，
連接，交于點(diǎn)，此時最小，最小值即為的長，
過點(diǎn)作⊥，交的延長線于點(diǎn)，
其中，
故，又勾股定理得，C正確；
對于D，點(diǎn)P在點(diǎn)B處，，C，，P四點(diǎn)共面，
四面體的外接球即正方體的外接球，
故外接球的半徑為，所以該球的體積為，D正確.
故選：ABD
三、填空題（每小題5分，共15分）
12. 95
解析：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，
則
故答案為：.
13.
解析：①，②，
兩式相減得，故，，
令中得，，
所以，而不適合上式，
故答案為：.
14. ##
解析：如圖，的內(nèi)切圓與三邊分別切于點(diǎn)，
若，則，
因?yàn)椋瑒t，可得，
則，可得，
因?yàn)椋?br>即，可得，
又因?yàn)椋?br>即，可得，
且，解得，
所以橢圓的離心率是．
故答案為：.
四、解答題（共77分）
15. （1）由題意得，因?yàn)闉殁g角，
則，則，則，解得，
因?yàn)闉殁g角，則.
（2）選擇①，則，因?yàn)椋瑒t為銳角，則，
此時，不合題意，舍棄；
選擇②，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，
則代入得，解得，
,
則.
選擇③，則有，解得，
則由正弦定理得，即，解得，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，
則
，
則
16. （1）
（2）零假設(shè):假設(shè)是否喜歡游泳與性別無關(guān)，，
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為是否喜歡游泳與性別無關(guān).
（3）X的可能取值為0，1，2，3，
，
.
的分布列為
.
17. （1）證明：在平面中，過點(diǎn)P作的垂線，垂足為D．
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，且平面平面，平面，
所以平面．又因?yàn)槠矫妫裕?br>又，，平面，平面，
所以平面，又平面，故．
（2）由（1）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，故，，
又因?yàn)椋?br>所以
即．
設(shè)平面ACM的一個法向量，
則令，則．
又因?yàn)椋O(shè)直線AP與平面ACM所成角為，
則，
所以直線AP與平面ACM所成角的正弦值為．
18. （1）設(shè)，
由可得，，所以，
所以，
即，因?yàn)?，解得：?br>（2）因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，
設(shè)直線：，，
由可得，，所以，，
，
因?yàn)?，所以?br>即，
亦即，
將代入得，
，，
所以，且，解得或．
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，
，
所以面積，
而或，所以，
當(dāng)時，的面積．
19. （1）依題意，，則有，
當(dāng)時，
，
又也滿足，所以.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，
所以函數(shù)的最小值為0.
（3）由（2）知，當(dāng)時，，令，則，
則，
因此，
令，
于是，
兩a式相減得，
因此，所以.喜歡游泳
不喜歡游泳
合計(jì)
男生
25
女生
35
合計(jì)
0.100
0.050
0.010
0001
2.706
3.841
6.635
10.828
喜歡游泳
不喜歡游泳
合計(jì)
男生
25
25
50
女生
35
15
50
合計(jì)
60
40
100
X
0
1
2
3
P

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