總分：150分 時(shí)量：120分鐘
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若命題且，則命題為（ ）
A．且B．或
C．且D．或
2．已知函數(shù)，則（ ）
A．6B．4C．2D．0
3．（★）設(shè)是非零向量，則是成立的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
4．如圖，一高為的球形魚缸，勻速注滿水所用時(shí)間為．若魚缸水深為時(shí)，勻速注水所用的時(shí)間為，則函數(shù)的圖像大致是（ ）
A．B．C．D．
5．（★）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．9B．8C．3D．
6．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．向量．若，則角的大小為（ ）
A．B．C．D．
7．（★）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知關(guān)于的不等式的解集為，則（ ）
A．B．
C．的解集是D．的解集是
10．（★）已知向量，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．與向量平行的單位向量?jī)H有D．向量在向量上的投影向量為
11．下列命題中正確的是（ ）
A．若且，則為第二象限角
B．
C．若，則
D．若角的終邊在第一象限，則的取值集合為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（★）_______．
13．（★）_______．
14．（★）已知函數(shù)，且，則下列結(jié)論中，一定成立的是
① ② ③ ④．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（13分）已知二次函數(shù)滿足．
（1）求的解析式．
（2）求在上的值域．
16．（15分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．已知．
（1）求的大小；
（2）若，求的面積．
17．（15分）已知定義在上的函數(shù)，且是偶函數(shù)．
（1）求的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，記的最大值為，若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．（17分）已知函數(shù)，其中在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)，點(diǎn)是圖象上的最低點(diǎn)，點(diǎn)是圖象上的最高點(diǎn)．
（1）求函數(shù)的解析式
（2）記（均為銳角），求的值．
19．（17分）已知為常數(shù)，函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集；
（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）對(duì)于給定的，且，證明：關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
2023-2024-2麓山國(guó)際高一年級(jí)第一次學(xué)情檢測(cè)
高一年級(jí) 數(shù)學(xué)試卷
參考答案
1．B
存在量詞命題的否定是全稱命題，將存在量詞改為全稱量詞，并否定結(jié)論，故命題為或．故選：B．
2．C
由題意，在中，
，故選：C.
3. B
由可知，方向相同，表示方向上的單位向量，所以成立；由可得，同向共線，不一定有，反之不成立，所以是成立的充分不必要條件，故選B.
4．D
將容器看做一個(gè)球體，在剛開始注水時(shí)，由于球體的截面積較小，對(duì)于相同的時(shí)間，
高度的變化較大，即較大，到水注入球體的一半時(shí)，由于球體的截面積較大，的變化率較小，接近于球體的頂端時(shí)，的變化率又較大．故選：D．
5. C
由條件知
當(dāng)且僅當(dāng)故選C.
6．B
因?yàn)橄蛄?，，，
所以 ，即 ，
由余弦定理可得.因?yàn)?，所以，故選：B.
7. B
因?yàn)?br>由故選B.
8．A
由題意可知時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)知.故選：A
9．CD
由題意可得和5是方程的兩根，且，
由韋達(dá)定理可得，得，
對(duì)于A，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，不等式，即，即，得，
∴不等式的解集是，故C正確； 對(duì)于D，由不等式，得，即，則，得或，即解集為，故D正確.故選：CD.
10. AD
因?yàn)椋?br>11．ABD
若，則為第二或四象限角，又，則為第一或二象限角或終邊為y軸非負(fù)半軸，則為第二象限角，故A選項(xiàng)正確；
，B選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，不滿足（），
故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
角的終邊在第一象限，則角的終邊在第一或第三象限，
當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，，
當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，，
故則的取值集合為，D選項(xiàng)正確. 故選：ABD
12.
13. 9
14. ④
畫出的圖象，由圖可知，的符號(hào)不確定, ,故①②錯(cuò)；
故
又
15．(1) (2)
【詳解】（1）令，則，，∴
（2）因?yàn)椋?br>所以的圖象對(duì)稱軸為，在上遞減，在上遞增，
∴，，即的值域?yàn)?br>16．(1) (2)
【詳解】（1）由，結(jié)合正弦定理，
得，即，
即，即，
因?yàn)?，所以，即?br>（2）因?yàn)?，所以?br>利用正弦定理得．
而，
故的面積為．
17．(1) (2)
【詳解】（1）記，為偶函數(shù)，恒成立，即恒成立，
恒成立，
恒成立，即恒成立，，
（2）和都是單調(diào)遞增函數(shù),在是單調(diào)遞增的，,
在上有解，在上有解，
在上有解，在上單調(diào)遞增，,
18.
【詳解】
以及點(diǎn)是圖象上的最低點(diǎn)，是圖象上的最高點(diǎn).
可得將Q點(diǎn)代入得：
所以又因?yàn)椋裕?br>所以
(2)由圖可知，點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為，
19．（1）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；
（2）；（3）證明見解析.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)，即時(shí)，由得或，
不等式的解集為或.
當(dāng)，即時(shí)，恒成立，不等式的解集為.
當(dāng)，即時(shí)，由得或，
不等式的解集為或.
綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或
（2）當(dāng)時(shí)，，其圖象的對(duì)稱軸為.
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上存在零點(diǎn)，，即得.
.當(dāng)，即時(shí)，在上存在零點(diǎn)，
或或或，
解得或或或或.
.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
在上存在零點(diǎn)，，即得.
.
綜上，.實(shí)數(shù)的取值范圍為
（3）設(shè).
當(dāng)給定時(shí)，為定值.
,
.又對(duì)于給定的，且，，
在區(qū)間上單調(diào)，即在區(qū)間上單調(diào)，
在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根

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