1．已知向量，則 ．
2．計算： ．
3．設(shè)向量，若，則 ．
4．若，則 ．
5．已知、，則的單位向量坐標為 ．
6．若，且滿足，則的最小值為 ．
7．在△中，．記，用表示 ．
8．始邊與軸的正半軸重合的角的終邊過點，則 ．
9．已知向量在上的投影向量為，且，則 ．
10．“南昌之星”摩天輪半徑為80米，建成時為世界第一高摩天輪，成為南昌地標建筑之一．已知摩天輪轉(zhuǎn)一圈的時間為30分鐘，甲坐上摩天輪6分鐘后，乙也坐上了摩天輪，又過了分鐘后，甲乙兩人離底面高度相等，則 ．
11．已知、是圓的直徑上的兩點，且，、是圓上的兩個動點，且，則的最大值為 ．
12．設(shè)函數(shù)，若對于任意，在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，則的取值范圍為 ．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分16分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑。
13．已知向量，則
A．B．2C．3D．0
14．函數(shù)是由 得到的．
A．向右平移B．向右平移C．向右平移D．向右平移
15．已知是平面上兩個不平行的向量，則以下可以作為平面向量的一個基的一組向量是
A．B．
C．D．
16．下列定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)的是
A．B．C．D．
三、解答題（本大題共有5題，滿分40分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟。
17．在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若邊的長為11，求的面積．
18．已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．
19．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
20．如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底是半圓的直徑，上底的端點在圓周上．記．（提示：直徑所對的圓周角是直角，即圖中
（1）用表示的長；
（2）若，求如圖中陰影部分的面積；
（3）記梯形的周長為，將表示成的函數(shù)，并求出的最大值．
21．已知△中，，令，且．過邊上一點（異于端點）作邊的垂線，垂足為，再由作邊的垂線，垂足為，又由作邊的垂線，垂足為．設(shè)．
（1）求的長度；
（2）若，求的值；
（3）若存在實數(shù)，使得為常數(shù)，求的值，并寫出該常數(shù)．
參考答案
一．選擇題（共4小題）
一、填空題（本大題共有12題，滿分48分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫結(jié)果。
1．已知向量，則 ．
解：向量，
所以．
故答案為：．
2．計算： ．
解：設(shè)，則，且為銳角，
所以．
故答案為：．
3．設(shè)向量，若，則 ．
解：，
，
，
．
故答案為：．
4．若，則 ．
解：已知，
則．
故答案為：．
5．已知、，則的單位向量坐標為 ．
解：由、，
可得，
則的單位向量為．
故答案為：．
6．若，且滿足，則的最小值為 ．
解：周期為，且在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，
，
故，．
且，
故的最小值為．
故答案為：．
7．在△中，．記，用表示 ．
解：
．
故答案為：．
8．始邊與軸的正半軸重合的角的終邊過點，則 ．
解：始邊與軸的正半軸重合的角的終邊過點，
則，
故．
故答案為：．
9．已知向量在上的投影向量為，且，則 1 ．
解：在上的投影向量為，得，，
，．
故答案為：1．
10．“南昌之星”摩天輪半徑為80米，建成時為世界第一高摩天輪，成為南昌地標建筑之一．已知摩天輪轉(zhuǎn)一圈的時間為30分鐘，甲坐上摩天輪6分鐘后，乙也坐上了摩天輪，又過了分鐘后，甲乙兩人離底面高度相等，則 12 ．
解：根據(jù)題意，摩天輪轉(zhuǎn)一圈的時間為30分鐘，
則甲與乙的角度相差，
設(shè)甲乙二人之間的劣弧的中點為，則當(dāng)乙坐上摩天輪時，
點與摩天輪最低點之間劣弧所對的圓心角為，
所以點與摩天輪最高點之間劣弧所對的圓心角為，
經(jīng)過了分鐘，點到達最高點，甲乙二人離地面高度相等，所以．
故答案為：12．
11．已知、是圓的直徑上的兩點，且，、是圓上的兩個動點，且，則的最大值為 ．
解：由題意可得，，則，
由可得：，
所以
，
當(dāng)時，取得最大值為．
故答案為：．
12．設(shè)函數(shù)，若對于任意，在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，則的取值范圍為 ．
解：因為函數(shù)，，
所以，
又因為在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，
即在區(qū)間，上總存在唯一確定的，使得，
因為，，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得．
故答案為：．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分16分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑。
13．已知向量，則
A．B．2C．3D．0
解：由題意可知：．
故選：．
14．函數(shù)是由 得到的．
A．向右平移B．向右平移C．向右平移D．向右平移
解：因為，
所以函數(shù)是由向右平移得到的．
故選：．
15．已知是平面上兩個不平行的向量，則以下可以作為平面向量的一個基的一組向量是
A．B．
C．D．
解：項，，故共線，故項錯誤；
項，，故共線，故項錯誤；
項，，故共線，故項錯誤；
項，設(shè)，，則，
所以，無解，故不共線，故項正確．
故選：．
16．下列定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)的是
A．B．C．D．
解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于，，其定義域為，，所以為奇函數(shù)，故對；
對于，，其定義域為，，所以為偶函數(shù)，故錯；
對于，，其定義域為，，所以為偶函數(shù)，故錯；
對于，，其定義域為，，所以為偶函數(shù)，故錯．
故選：．
三、解答題（本大題共有5題，滿分40分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟。
17．在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若邊的長為11，求的面積．
解：，，，，，．
．
由正弦定理可得：，可得：，．
．
18．已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．
解：（1），，則的最小正周期為．
（2），則，，．
所以在上的最大值為，最小值為．
19．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
解：（1）
即
（2）由
即化簡得
故有
又，，
或
或
20．如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底是半圓的直徑，上底的端點在圓周上．記．（提示：直徑所對的圓周角是直角，即圖中
（1）用表示的長；
（2）若，求如圖中陰影部分的面積；
（3）記梯形的周長為，將表示成的函數(shù)，并求出的最大值．
解：（1）連接，過作，
則，，
所以，
可得；
（2）由題意，
可得，
，
所以；
（3），
則
，
令，則，
則，當(dāng)時，．
21．已知△中，，令，且．過邊上一點（異于端點）作邊的垂線，垂足為，再由作邊的垂線，垂足為，又由作邊的垂線，垂足為．設(shè)．
（1）求的長度；
（2）若，求的值；
（3）若存在實數(shù)，使得為常數(shù)，求的值，并寫出該常數(shù)．
解：（1）設(shè)，由，
可得，
解得，
所以
；
（2）由已知，
則，設(shè)，
則，
所以，
則有，得；
（3）由，可得，
由（1）知，
，，，
，
，
，
，
又，所以，
所以，
若為常數(shù)，則，即，
故存在，使得該常數(shù)為．
題號
13
14
15
16
答案
D
B
D
A

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