天津市河西區(qū)2024-2025學年高二上學期期末考試數學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時90分鐘.第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至6頁.
祝各位考生考試順利!
第I卷
注意事項：本卷共9題，每小題3分，共27分.
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知數列中，，，，則等于（）
A. B. C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】用遞推公式，代入逐個計算即可.
【詳解】數列中，，，，
則，則.
故選：A.
2. 準線方程為的拋物線的標準方程是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由準線方程求出拋物線的標準方程即可求解.
【詳解】由題意可知拋物線開口向下，故設拋物線方程為.
因為拋物線的準線方程為，所以，即，所以該拋物線的標準方程為．
故選：D.
3. 數列的一個通項公式是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用給定條件歸納得到通項公式即可.
【詳解】因為數列，所以其奇數項符號為負，偶數項符號為正，
而分母可歸納為，分子可歸納為，
故數列的一個通項公式是，故B正確.
故選：B
4. 設雙曲線的漸近線方程為，則的值為（）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，，即可求出a的值.
【詳解】根據雙曲線漸近線公式知道，，則.
故選：C.
5. 如圖給出一個“直角三角形數陣”滿足每一列的數成等差數列，從第三行起，每一行的數成等比數列，且每一行的公比相等，則第8行第3列的數為（）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由第1列是首項為，公差為的等差數列，得到第8行第1列的數，再由第8行是以公比為的等比數列求解.
【詳解】解：因為第1列是首項為，公差為的等差數列，
所以第8行第1列的數為，
又第8行是首項為2，公比為等比數列，
所以第8行第3列的數為，
故選：C
6. 已知，是橢圓C的兩個焦點，過且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且，則C的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據題意結合橢圓的定義運算求解即可.
【詳解】如圖所示：，，
由橢圓的定義得.①
在中，.②
由①②得，則，
所以橢圓C的方程為.

故選：B.
7. 若實數k滿足，則曲線與曲線的（）
A. 離心率相等B. 虛半軸長相等
C. 實半軸長相等D. 焦距相等
【答案】D
【解析】
【分析】利用雙曲線的性質結合給定條件求出基本量，再進行比較即可.
【詳解】因為，所以，，
得到和都是雙曲線，
對于曲線，，，，
此時其焦距為，離心率為，
對于曲線，，，，
此時其焦距為，離心率為，
故兩條曲線離心率不相等，虛半軸長不相等，實半軸長不相等，焦距相等，故D正確.
故選：D
8. 設F為拋物線C：的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則（）
A. 12B. 6C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用過拋物線焦點的弦長公式求解；
【詳解】解：因為過拋物線C：的焦點，且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，
所以，
故選：A
9. 設數列的前n項和為，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將給定數列化簡后，利用公式法求和即可.
【詳解】給定數列，且設該數列為，
故，
則，故D正確.
故選：D
Ⅱ卷
注意事項：本卷共11題，共73分.
二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分.
10. 已知橢圓的焦距是2，則該橢圓的長軸長為__________.
【答案】或
【解析】
【分析】根據焦點在軸或軸上分類討論．
【詳解】焦點在軸時，，，長軸長為,
焦點在軸時，，，長軸長為,
故答案為：或．
11. 已知數列滿足，，則的前10項和等于______.
【答案】
【解析】
【分析】根據數列滿足，得到數列是等比數列求解.
【詳解】因數列滿足，且，則，
數列是以4為首項，以為公比的等比數列，
則的前10項和等于，
故答案為：.
12. 已知F是拋物線y2=x的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據拋物線方程求出準線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，列出方程求出A，B的中點橫坐標，求出線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離.
【詳解】由題意得，，準線方程為：，
設，，，
因此，
線段的中點到軸的距離為.
故答案為：.
【點睛】本題考查拋物線的簡單性質，將到焦點的距離轉化為其到準線的距離是關鍵，考查分析運算能力，屬于基礎題.
13. 已知等差數列的前項和為，，，則數列的前100項和為______.
【答案】
【解析】
【分析】首先根據已知條件求出等差數列的首項和公差，得出通項公式，進而得到數列的通項，然后利用裂項相消法求出前 100 項和.
【詳解】因為，，可得：
解得,，所以
因為，
設數列的前 100 項和為 ,
則：.
故答案為：.
14. 設雙曲線的半焦距為c，直線經過，兩點，已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為_____.
【答案】2
【解析】
【分析】利用給定條件得到關于的方程，結合因式分解法得到它們的關系，再結合條件并利用雙曲線中基本量的性質求解即可.
【詳解】因為直線經過，兩點，
所以設直線方程為，化簡得，
設原點到直線的距離為，由點到直線的距離公式得，
因為原點到直線的距離為，所以，
故，即，
得到，解得或，
因為，所以符合題意，此時，
故.
故答案為：2
15. 在等差數列中，，公差為d，前n項和為，當且僅當時取得最大值，則d的取值范圍為_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據題意得到數列是遞減數列，由求解.
【詳解】因為等差數列中，當且僅當時取得最大值，
所以數列遞減數列，
又，所以，
解得，
所以d的取值范圍為.
故答案為：
三、解答題：本大題共5小題，共49分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上一點與，的距離差的絕對值等于6.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）求雙曲線的頂點，實軸長，虛軸長，焦距，漸近線方程、離心率.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）利用給定條件結合雙曲線中基本量的性質得到基本量的值，再寫出方程即可.
（2）利用雙曲線的性質求解目標元素即可.
【小問1詳解】
因為雙曲線的兩個焦點在軸上，
所以設雙曲線方程為，
因為雙曲線的兩個焦點分別為，，
所以，由題意得雙曲線上一點與，的距離差的絕對值等于6，
故，由雙曲線的定義得，解得，
得到，故雙曲線的標準方程為.
【小問2詳解】
對于雙曲線，其實軸長為，虛軸長為，
焦距為，離心率為,
漸近線方程為，頂點為.
17. 解答下列各題
（1）在等差數列中，，，求通項及數列的前項和；
（2）在等比數列中，，，求通項及數列的前項和.
【答案】（1）答案見解析
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）利用等差數列的性質建立方程，求出基本量，再求通項公式和前項和即可.
（2）利用等比數列的性質建立方程，求出基本量，再求通項公式和前項和即可.
【小問1詳解】
設首項為，公差為，因為，，
所以，，解得，，
故，.
【小問2詳解】
設首項為，公比為，因為，，
所以，，解得，，
故，.
18. 已知等比數列的首項為，前n項和為，若，求公比.
【答案】
【解析】
【分析】對公比分類討論，再依據等比數列求和公式建立方程，求解參數即可.
詳解】當時，，與題意不符，故排除，
當時，，
因為，所以，解得，故公比為.
19. 已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點.
（1）求的方程；
（2）設過點的動直線與E相交于兩點.當的面積最大時，求的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用給定條件結合橢圓基本量的性質求解出所有基本量，得到橢圓方程即可.
（2）先對直線進行分類討論，確定其斜率存在，再結合給定條件求出斜率范圍，再依據題意將三角形面積表示為一元函數，利用換元法結合基本不等式求解最大面積，結合取等條件解出斜率值，檢驗后滿足條件，得到直線方程即可.
【小問1詳解】
設，因為直線的斜率為，
所以，解得，而橢圓的離心率為，
故，解得，則，故橢圓方程為.
【小問2詳解】
當直線斜率不存在時，不符合題意，排除，
當直線斜率存在時，設直線方程為，
聯立方程組，，得到，
因為直線與E相交于兩點，所以，
解得或，且設，
由韋達定理得，
由弦長公式得，
，
設點到直線的距離為，由點到直線的距離公式得，
故，
令，則，
得到，
當且僅當時取等，此時解得(負根舍去)，
此時，解得，滿足或，
此時得到直線方程為.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查解析幾何，解題關鍵是利用給定條件表示出三角形面積，然后利用換元法結合基本不等式找到最值，再利用取等條件得到直線斜率，進而得到所要求的直線方程即可．
20. 數列的前n項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足：，求數列的通項公式；
（3）令，求數列的前n項和.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據時，，驗證，從而得到的通項；（2）由，得到，通過作差得到的通項公式；（3）根據錯位相減法得結果.
【小問1詳解】
因為，所以當時，，
當時，
又也滿足上式，所以.
又.
【小問2詳解】
∵①
∴②
②－①得：，，故．
【小問3詳解】
，
∴，
令，①
則②
①－②得：，
∴
∴．
∴數列的前項和.

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