2024.9
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】借助百分位數(shù)定義計(jì)算即可得.
【詳解】由，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.
故選：C.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意可得，，則.
故選：B.
3. 已知，，，則的最小值為（ ）．
A. 4B. C. 6D.
【答案】B
【解析】由于，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.
故選：B
4. 由數(shù)字2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】將組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有種，
而其中偶數(shù)有兩種情況：
①以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種
②以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種
所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的情況共有種，
所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為事件，則.
故選：A.
5. 若正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為3，則該正三棱錐的體積為（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖，正三棱錐，，
取中點(diǎn)，連接，取等邊三角形的中心，連接，
由正四面體的性質(zhì)可知，頂點(diǎn)與底面中心連線(xiàn)垂直底面，
∴平面
即三棱錐的高為，
∵，
∴，∴，
∴，
∴.
故選：C
6. 隨機(jī)變量服從若
則下列選項(xiàng)一定正確的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?br>由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，可得，正態(tài)分布方差無(wú)法判斷，
，，
所以ABD錯(cuò)誤.
故選:：C
7. 已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為側(cè)面四邊形的中心，則四面體的外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
如圖：取中點(diǎn)，連結(jié)，
因?yàn)榈睦忾L(zhǎng)為的正方體，
所以，且，
所以四面體的外接球的球心為為，且外接球半徑，
所以四面體的外接球的體積.
故選：D.
8. 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，滿(mǎn)足，且，則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A. B. 圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)
C. 圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)D. 為偶函數(shù)
【答案】B
【解析】對(duì)于A(yíng)，令，則，所以f1=0，故A正確；
對(duì)于B，令，則，即，
解得：或，因?yàn)?，所以?br>令，，所以，
所以圖象不關(guān)于2,0對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，令，則有
即，故圖象關(guān)于1,0對(duì)稱(chēng)，故C正確.
對(duì)于D，令，則有
即，即，
即，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
所以為偶函數(shù)，故D正確.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，，C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，D正確.
故選：CD.
10. 已知事件A與B發(fā)生的概率分別為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】對(duì)于A(yíng)，由于題目中沒(méi)確定事件A與B是否相互獨(dú)立，
所以，不一定成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由于，則，
則，故B正確；
對(duì)于C，由于題目中沒(méi)確定事件A與B是否相互獨(dú)立，
所以，也不一定成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故，故D正確；
故選：BD.
11. 函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?，區(qū)間，對(duì)于任意，，恒滿(mǎn)足，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AD
【解析】對(duì)A：，，
，
由在0,+∞上單調(diào)遞增，故其等價(jià)于，
化簡(jiǎn)可得，故滿(mǎn)足題意，故A正確；
對(duì)B：，，，
取，，可得，，
又，故此時(shí)不滿(mǎn)足題意，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：，，，
化簡(jiǎn)得恒成立，不滿(mǎn)足題意，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：，，，
左右平方后化簡(jiǎn)可得，故滿(mǎn)足題意，故D正確.
故選：AD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對(duì)其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為0.5，并且答每道題之間相互獨(dú)立，則他能合格的概率為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】解：某人參加考試，4道題目中，答對(duì)的題目數(shù)滿(mǎn)足二項(xiàng)分布，
所以
故答案為：
13. 已知二次函數(shù)從1到的平均變化率為，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】設(shè)fx=ax2+bx+c，
則，
由題意知，解之得，
顯然c的取值不改變結(jié)果，不妨取，則.
故答案為：
14. 勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間像球一樣來(lái)回自由滾動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸（如圖）．勒洛四面體是以一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分圍成的幾何體．若構(gòu)成勒洛四面體ABCD的正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，在該“空心”勒洛四面體ABCD內(nèi)放入一個(gè)球，則該球的球半徑最大值是_______．
【答案】
【解析】勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，
由對(duì)稱(chēng)性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，
正外接圓半徑，正四面體的高，
設(shè)正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，
因此，勒洛四面體內(nèi)切球半徑為.
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 某自助餐廳為了鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱，箱中放有8折、8.5折、9折的獎(jiǎng)券各2張，每張獎(jiǎng)券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取2張獎(jiǎng)券，最終餐廳將在結(jié)賬時(shí)按照2張獎(jiǎng)券中最優(yōu)惠的折扣進(jìn)行結(jié)算．
（1）求一位顧客抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率；
（2）若自助餐的原價(jià)為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時(shí)的價(jià)格為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1） （2）答案見(jiàn)詳解
【解析】【小問(wèn)1詳解】
從6張獎(jiǎng)券中，任取2張獎(jiǎng)券共有種選法，抽到的兩張獎(jiǎng)券相同的有3種選法，
所以一位顧客抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率為.
【小問(wèn)2詳解】
的所有可能取值為80，85，90，
，
，
，
的分布列為：
.
16. 如圖，在四棱錐中，，，，，平面，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)詳解
（2）
【解析】【小問(wèn)1詳解】
如圖，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，

所以，，
又，，
所以，，
所以四邊形是平行四邊形，則，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，，
又，是平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，
平面，又平面，
，
所以?xún)蓛苫ハ啻怪保?br>以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則A0,0,0，，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1，
則，即，令，得，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，令，得，，
，
設(shè)二面角的平面角為，
，則.
所以二面角的正弦值為.
17. 我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
（1）證明“三元不等式”： ．
（2）已知函數(shù)．
①解不等式；
②對(duì)任意x∈0,+∞，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）①；②.
【解析】小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>則
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），
同理（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），
三式相加可得：，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）.
【小問(wèn)2詳解】
①由可得：，
所以，即，
即，則，
所以，
解得：
②因?yàn)楫?dāng)x∈0,+∞時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，
所以當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，，
對(duì)任意x∈0,+∞，恒成立，
則，
所以，解得：.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：.
18. 在如圖所示的平行六面體中，，．
（1）求的長(zhǎng)度；
（2）求二面角的大小；
（3）求平行六面體的體積．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)圖形可知：，
則
；
【小問(wèn)2詳解】
作，則等于二面角的一個(gè)平面角，
因?yàn)?，?br>則，
易知
，
所以，所以，
即二面角的大小為；
【小問(wèn)3詳解】
由（2）知平面，而四邊形的面積，
則平行六面體的體積.
19. 已知函數(shù)．
（1）函數(shù)是否具有奇偶性?為什么?
（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，，證明：．
【答案】（1）函數(shù)不具有奇偶性
（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】【小問(wèn)1詳解】
，而，
顯然，且，
所以既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故函數(shù)y=fx不具有奇偶性.
【小問(wèn)2詳解】
時(shí)，，
，
故當(dāng)時(shí)，f′x>0，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，f′x

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