注意事項：
1.本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
3.請在答題卡相應(yīng)位置作答，在試卷上作答無效.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡集合B，結(jié)合韋恩圖求出即可得解.
【詳解】由，得或，則，，
由韋恩圖知，陰影部分對應(yīng)的集合表示為.
故選：A
2. 已知角的終邊上有一點，，則的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦函數(shù)的定義求解即得.
【詳解】依題意，.
故選：C.
3. “”是“函數(shù)存在零點”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷即可.
【詳解】函數(shù)存在零點等價于方程有解，等價于有解，而，
因此，反之當(dāng)時，有解，
所以“”是“函數(shù)存在零點”的充分必要條件.
故選：C
4. 下列命題中正確的是（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】A
【解析】
【分析】對選項A和B，結(jié)合各個選項的條件，利用作差法，即可求解；對于選項C和D，通過取特殊，即可求解.
【詳解】對于A，由，
又，，則，得到，即，故A正確；
對于B，因為，又，，則，故，即B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，故C錯誤；
對于D，當(dāng)時，，故D錯誤.
故選：A.
5. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本函數(shù)的單調(diào)性，得到，，即可求解.
【詳解】因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，
又易知是減函數(shù)，所以，
因為在上單調(diào)遞增，所以，且，則，
故選：A.
6. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的定義域是
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 不等式的解集是，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正切函數(shù)圖象、性質(zhì)逐項判斷.
【詳解】對于A，函數(shù)的最小正周期是，A錯誤；
對于B，由，得，
所以函數(shù)定義域為，B錯誤；
對于C，當(dāng)時，函數(shù)無意義，又，則在上不單調(diào)遞增，C錯誤；
對于D，不等式，則，
解得，
所以不等式的解集是，D正確.
故選：D
7. 已知為正實數(shù)且，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由題知，再結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】解：因為為正實數(shù)且，
所以，
所以，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
故選：D
8. 某同學(xué)在研究高一數(shù)學(xué)問題時，給出下列四個問題：
（1）對于，都有在區(qū)間上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則；
（3）從午夜零時算起，時鐘的時針和分針一天內(nèi)會重復(fù)的次數(shù)是次；
（4）函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.
你認(rèn)為正確的個數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】對（1），根據(jù)條件可得在上恒成立，即可求解；對（2），構(gòu)造函數(shù)，可得是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；對（3），設(shè)經(jīng)過分鐘，分針與時針重合，兩針重合的次數(shù)為，根據(jù)題意有，進(jìn)而可得，即可求解；對于（4），利用奇偶函數(shù)的判斷方法及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可求解.
【詳解】對于（1），因為對于，都有在區(qū)間上恒成立，
則，根據(jù)單調(diào)性的定義，若時，，
所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故（1）正確，
對于（2），由，得到，
令，因為，
所以的定義域為，關(guān)于原點對稱，
又，所以為奇函數(shù)，
又函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，所以在區(qū)間上，，
又，得到，所以（2）正確，
對于（3），設(shè)經(jīng)過分鐘，分針與時針重合，兩針重合的次數(shù)為，
因為分針每分鐘旋轉(zhuǎn)的角度為，時針每分鐘旋轉(zhuǎn)的角度為，
所以，得到，
又時針旋轉(zhuǎn)一天所需的時間為，所以，得到，故（3）錯誤，
對于（4），易知的定義域為，關(guān)于原點對稱，
又，
所以是偶函數(shù)，
又當(dāng)時，，，
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故（4）正確，
故選：C.
【點晴】關(guān)鍵點點晴，本題的關(guān)鍵在于第（2）和第（4），對于第（2），通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性求解；對于第（4），將問題轉(zhuǎn)化成復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來處理，再利用三函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分.
9. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 命題“，”的否定是“，”
B. 函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)
C. 若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則
D. 函數(shù)的零點是
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A，直接寫出命題“，”的否定，即可求解；對于B，利用相同函數(shù)的判斷方法，即可求解；對于C，利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)，即可求解；對于D，利用函數(shù)零點的定義，即可求解.
【詳解】對于選項A，因為命題“，”的否定是“，”，所以選項A錯誤，
對于選項B，因為，所以與定義域相同，表達(dá)式相同，
故函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)，所以選項B正確，
對于選項C，因為冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，得到，故選項C正確，
對于選項D，令，得到，所以函數(shù)的零點是，故選項D錯誤，
故選：BC.
10. 下列選項正確的是（ ）
A. 函數(shù)是偶函數(shù)
B. 函數(shù)的值域為
C. 若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍
D. 若，，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用余弦函數(shù)的奇偶性判定A；利用同角三角函數(shù)關(guān)系和配方法求值域判定B；利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)求實數(shù)a函的范圍，判定C;利用兩角和的正弦公式化簡整理已知等式，結(jié)合給定范圍先求得的值，再利用兩角差的正弦公式化簡變化，進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)求值，即可判定D.
【詳解】對于A：，定義域，滿足偶函數(shù)的定義，故A正確.
對于B：，由于的值域為,所以原函數(shù)的值域為，故B正確.
對于C：若函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域包含所有正數(shù).
當(dāng)時滿足題意；
當(dāng)時，有，解得，
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是，故C正確.
對于D: 因為,若，則，與矛盾，故D錯誤.
故選：ABC
11. 若函數(shù)的定義域為，且函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. 的一條對稱軸為D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)fx?1的圖象關(guān)于點成中心對稱，求出是周期為4函數(shù)，利用賦值法、周期性逐項判斷可得答案.
【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，
故，所以是圖象的一條對稱軸，所以，
又函數(shù)fx?1的圖象關(guān)于點成中心對稱，
因為函數(shù)fx?1的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移1個單位得到，
所以函數(shù)關(guān)于點2,3成中心對稱，故，
所以，故且，
所以，所以，
所以，故，所以為周期函數(shù)，
且周期為4，
對于A，由、得，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，因為，
所以的一條對稱軸為，故C正確；
對于D，因為，，
所以，
所以，故D正確.
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點是利用已知條件判斷出是周期為4的函數(shù).
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. “數(shù)折聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋代朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號.如圖，這是折扇的示意圖，已知D為的中點，，，則此扇面（扇環(huán)）的面積是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式計算得解.
【詳解】依題意，此扇面面積為.
故答案為：
13. 若，則________.
【答案】
【解析】
【分析】通過令，得，再結(jié)合條件，即可求解.
【詳解】令，則，所以，
得到，
故答案為：.
14. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則_______，函數(shù)的所有零點之和為_______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)分段代入計算得解；按分段求出方程的解，進(jìn)而求出所有根的和.
【詳解】依題意，，因此；
，當(dāng)時，，則，解得或；
當(dāng)時，若，則，，
由，得，解得；
若，則，，
由，得，解得或，
所以函數(shù)的所有零點之和為.
故答案為：1；
【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：
①直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
②零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．
③利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 求值：
（1）；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用指、對數(shù)的運(yùn)算，即可求解；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡得，再利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求解.
【小問1詳解】
因為
【小問2詳解】
因為，
又，所以.
16. 已知函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的定義域為集合.
（1）若，求函數(shù)的定義域及實數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由對數(shù)函數(shù)的定義列出不等式求出集合A，進(jìn)而求出的定義域；解含參的不等式求出集合B，再利用集合的包含關(guān)系求出范圍.
（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用集合的包含關(guān)系求出范圍.
【小問1詳解】
函數(shù)中，，解得或，
因此，函數(shù)中，
，即，解得，因此，
由或，解得或，
所以函數(shù)定義域為；
由，得，則，
所以實數(shù)的取值范圍是.
【小問2詳解】
由（1）知，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，
依題意，，則且，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
17. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若時，的最小值為，求實數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件得到，再利用的單調(diào)區(qū)間，即可求解；
（2）令，得到，利用的性質(zhì)，求出的取值范圍，結(jié)合條件，即可求解.
【小問1詳解】
因為，
由，得到，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
因為，令，則，
因為，則，所以，則，
又因為的最小值為，所以，得到.
18. 正值安順市創(chuàng)建全國文明城市之際，某單位積極倡導(dǎo)“環(huán)保生活，低碳出行”，其中電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.某型號電動汽車，在一段平坦的國道進(jìn)行測試，國道限速.經(jīng)多次測試得到該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如表所示：
為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，.
（1）當(dāng)時，請選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）現(xiàn)有一輛該型號汽車從地駛到地，前一段是的國道，后一段是的高速路，若已知高速路上該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的關(guān)系是：，則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少?
【答案】（1）選擇，
（2）當(dāng)這輛車在國道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時，該車從地到地的總耗電量最少，最少為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)選出符合的函數(shù)模型，并利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；
（2）先求得耗電量的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【小問1詳解】
對于，當(dāng)時，它無意義，所以不合題意，
對于，易知是減函數(shù)，由圖表知，隨著的增大而增大，所以不合題意，
所以選，由表中數(shù)據(jù)可得，
解得，，所以當(dāng)時，.
【小問2詳解】
國道路段長為，所用時間為，
所耗電量為，
因為，當(dāng)時，；
高速路段長為，所用時間為，
所耗電量為，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.
所以：
故當(dāng)這輛車在國道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時，
該車從地到地的總耗電量最少，最少為.
19. 已知定義在上的函數(shù)（且）.
（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；
（2）若，函數(shù)，，求函數(shù)的值域；
（3）若，，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性定義判斷并證明.
（2）求出值，判斷的單調(diào)性，并求出時的范圍，再變形并借助二次函數(shù)求出值域.
（3）化簡函數(shù)并探討其性質(zhì)，進(jìn)而脫去函數(shù)不等式中法則“h”轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上恒成立問題求解.
【小問1詳解】
函數(shù)是R上的奇函數(shù)，
證明：由，得，，
所以函數(shù)是R上的奇函數(shù).
【小問2詳解】
由，得，即，而，解得，
函數(shù)，函數(shù)在R上都是增函數(shù)，
因此是R上的增函數(shù)，故當(dāng)時，，
，
則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)的值域是.
【小問3詳解】
當(dāng)時，函數(shù)在R上都增函數(shù)，
因此是R上的增函數(shù)，而，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
因此，，故函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
不等式，
因此，則依題意對任意，恒成立，
則，即，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第3問，化簡函數(shù)，并探討其性質(zhì)是求解問題的關(guān)鍵.

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