注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上
無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教 A 版必修第一冊(cè)
一?選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1.已知集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
2.函數(shù) 的定義域是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知 是三角形的一個(gè)內(nèi)角，則不等式 的解集為（ ）
A. B. C. D.
5.“ ”是“關(guān)于 的不等式 有解”的（ ）
A.充要條件 B.必要不充分條件
C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件
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6.已知 ，則 的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
7.如圖，這是一塊扇形菜地， 是弧 的中點(diǎn)， 是該扇形菜地的弧 所在圓的圓心，D 為 和
的交點(diǎn)，若 米，則該扇形菜地的面積是（ ）
A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米
8.已知 ，則 的最小值為（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
二?多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題
目要求.全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9.已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn) ，則（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則（ ）
A.
B.
C.
D.將 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，
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得到函數(shù) 的圖象
11.已知函數(shù) 則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.若 ，則
B.若 在 上單調(diào)遞增，則 的值可以為
C.存在 ，使得 在 上單調(diào)遞減
D.若 的值域?yàn)?，則 的取值范圍為
三?填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
的值為__________.
13.已知函數(shù) 則 __________.
14.如圖， 地在自西向東的一條直線鐵路上，在距 地 的 B 地有一金屬礦， 地到該鐵路的距離
.現(xiàn)擬定在 之間的 地修建一條公路到 地，即修建一條 的運(yùn)輸路線.若公路運(yùn)
費(fèi)是鐵路運(yùn)費(fèi)的 倍，則當(dāng) 地到 地的距離為__________ 時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低.
四?解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13 分）
（1）求值： （ 為正數(shù)）.
（2）若 ，且 ，求 的值.
16.（15 分）
已知
（1）求 的值；
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（2）求 的值.
17.（15 分）
已知函數(shù)
（1）求 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求 在 上的值域；
（3）若函數(shù) 在 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2，求 的取值范圍.
18.（17 分）
已知 是偶函數(shù)， ，且 在 上單調(diào)遞增.
（1）比較 與 2 的大小；
（2）求不等式 的解集；
（3）若函數(shù) ，且 ，且不等式 在 上恒成立，求 的取值范圍.
19.（17 分）
已知函數(shù) 的定義域?yàn)?D，若 且 ，則稱 是凹函
數(shù)；若 且 ，則稱 是凸函數(shù).
（1）已知函數(shù)
①求 的解析式；
②判斷 是凹函數(shù)還是凸函數(shù)，根據(jù)凹函數(shù)、凸函數(shù)的定義證明你的結(jié)論.
（2）討論函數(shù) 在定義域 上的凹凸性.
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2024 年下期高一年級(jí)期末考試
數(shù)學(xué)參考答案
1.A 由題意可得 ，則 .
2.B 由題意可得 解得 或 或 .
3.B 均是奇函數(shù)， 是偶函數(shù).
4.C 由題意得 ，因?yàn)?，所以 ，即不等式 的解集為 .
5.D 若關(guān)于 的不等式 有解，則 ，得 .由
“ ”可以推出“ ”，由“ ”不能推出“ ”，所以“ ”是“關(guān)于 的不等式
有解”的充分不必要條件.
6.D 因?yàn)?，所以 .
7.A 如圖，連接 .因?yàn)?是弧 的中點(diǎn)，所以 ， 米.因?yàn)?，
所以 ，所以 ，所以 是等邊三角形，則 .因?yàn)?br>米，所以 米， 米，則該扇形菜地的面積是
平方米.
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8.C 由題意得 ，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)
，即 時(shí)，等號(hào)成立.故 的最小值為 3.
9.BCD 由題意得 ，所以 .
10.AB 由圖可知 ，由 ，得 ，則 ，A，B 正確.因?yàn)?br>，所以 ，得 ，又 ，
所以 ，C 錯(cuò)誤.由題意得 ，
D 錯(cuò)誤.
11.ABD 由題意得 ，得 ，得 ，A 正確.
若 在 上單調(diào)遞增，則 得 ，B 正確.
若 在 上單調(diào)遞減，則 不等式組無解，C 錯(cuò)誤.
若 的值域?yàn)?，則 ，得 在 上單調(diào)遞增.當(dāng) 時(shí)， 在 ， 上單調(diào)
遞增，則 ，得 ，即 .當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，則 ，得 恒成立，即 2.綜上， 的取值范圍為 ，D
正確.
12. .
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所以 .
14.10 設(shè)當(dāng) 地到 地的距離為 時(shí)，鐵路每公里運(yùn)費(fèi)為 ，公路每公里運(yùn)費(fèi)為 .由題意得
，則總運(yùn)費(fèi) ，
要使總費(fèi)用最低，只需 最小即可.
設(shè) ，則 ，得 ，則
，得 .當(dāng) 時(shí)，總費(fèi)用最低，則
，得 ，所以當(dāng) 地到 地的距離為 時(shí)，總運(yùn)費(fèi)
最低.
15.解：（1）原式 .
（2）由題意得 .
由 ，得 ，則 ，即 .
故 .
16.解：（1）由 ..
，
得 ，
所以 .
（2） .
17.解：（1） .由 ，得
，所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
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（2）令 ，由 ，得 ，則 .
由正弦函數(shù)的圖象可知 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
則 ，
因?yàn)?，所以 .
故 在 上的值域?yàn)?.
（3）令 ，得 ，即 ，則 在 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即 的圖象與直線
在 上的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).
由（2）可知 ，所以 ，即 的取值范圍為 .
18.解：（1）因?yàn)?是偶函數(shù)，所以 .
又 在 上單調(diào)遞增，所以 在 上單調(diào)遞減，
則 ，即 .
（2）由 ，得 ，
得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集為 .
（3）當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，由 的圖象（圖略）可知，不等式 不恒
成立.
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減， 在 上單調(diào)遞增，要使不等式 在 上
恒成立，則 ，得 ，得 ，即 .
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綜上， 的取值范圍為 .
19.解：（1）①（方法一）由題意得 ，
所以 .
（方法二）令 ，則 ，得 ，
所以 .
② 是凹函數(shù).
證明如下：
由題意得 的定義域?yàn)?.設(shè) 且 ，
則
，
所以 ，即 .
故 是凹函數(shù).
（2）由題意得 的定義域?yàn)?.設(shè) ，且 ，
則
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.
由 ，得 ，
得 .
當(dāng) 時(shí)， ，
即 ，所以 在 上是凸函數(shù).
當(dāng) 時(shí)， ，
即 ，所以 在 上是凹函數(shù).
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