01 易錯陷阱
易錯點一：不會運用運動的合成與分解求解兩種模型
易錯點二：對拋體運動理解有誤
易錯點三：對圓周運動理解有誤
02 易錯知識點
知識點一、繩桿末端速度分解的三種方法
知識點二、常見斜面平拋模型與結論
類型一：沿著斜面平拋
類型二：垂直撞斜面平拋運動
類型三：撞斜面平拋運動中的最小位移問題
知識點三、水平方向上的圓周運動
知識點四、豎直面內“繩、桿（單、雙軌道）”模型對比
知識點五、豎直面內圓周運動常見問題與二級結論
03 舉一反三——易錯題型
題型一：對繩、桿端速度進行分解
題型二：平拋運動與斜面、曲面的結合
題型三：多體平拋運動
題型四：斜拋運動
題型五：水平面上的圓周運動（圓錐擺，圓碗……）
題型六：豎直面的繩、桿模型及臨界條件
04 易錯題通關
易錯點一：不會運用運動的合成與分解求解兩種模型
1．解決小船渡河問題掌握“三模型、兩方案、兩確定”
（1）小船渡河三種模型
2.繩（桿）關聯(lián)速度問題
（1）易錯注意點
①繩或桿質量忽略不計
②繩或桿不可伸長
③沿繩(桿)方向的速度分量大小相等．
（2）思路方法
合運動（實際發(fā)生的運動）→合速度→繩(桿)拉物體的實際運動速度v
分運動（對合運動沿某方向分解的運動）→分速度→eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(其一：沿繩?桿?的速度v1,其二：與繩?桿?垂直的速度v2))
方法：v1與v2的合成遵循平行四邊形定則．
（3）繩、桿末端速度分解四步
①找到合運動——物體的實際運動；②確定分運動——沿繩(桿)和垂直于繩(桿)；③作平行四邊形；④根據(jù)沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解。常見的模型如圖所示。

易錯點二：對拋體運動理解有誤
1．平拋(或類平拋)運動所涉及物理量的特點
2． 平拋運動中物理量的關系圖
兩個三角形，速度與位移；
九個物理量，知二能求一；
時間和角度，橋梁和紐帶；
時間為明線，角度為暗線。
3． 平拋運動常用三種解法
h
x
v
v0
θ
α
①正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出v0=xg2?；
分解速度（速度三角形）：若已知v0、θ，可求出v=v0/csθ；
②推論法：若已知h、x，可求出tanθ=2tanα=2h/x；
③動能定理法：若已知h、v0，動能定理：mgh=?mv2-?mv02 ，可求出v=v02+2g?。
4.平拋運動中的臨界、極值問題
在平拋運動中，由于時間由高度決定，水平位移由高度和初速度決定，因而在越過障礙物時，有可能會出現(xiàn)恰好過去或恰好過不去的臨界狀態(tài)，還會出現(xiàn)運動位移的極值等情況．
1．若題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點．
2．若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些“起止點”往往就是臨界點．
3．若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值點，這些極值點也往往是臨界點．
易錯點三：對圓周運動理解有誤
1．勻速圓周運動的向心力公式為F＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝mr(eq \f(2π,T))2.
2．物體做勻速圓周運動的條件：合力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，提供物體做圓周運動的向心力．
易錯分析
3．向心力是效果力：向心力是根據(jù)力的作用效果命名的，不是性質力，它可以是重力、彈力、摩擦力等各種性質的力，也可以是它們的合力，或某個力的分力．注意在分析物體受力時，不能說物體還受一個向心力的作用，向心力可以是某一種性質力，也可以是幾個性質力的合力或某一性質力的分力．
知識點一、繩桿末端速度分解的三種方法
方法一、微元法
要求船在該位置的速率即為瞬時速率，需從該時刻起取一小段時間來求它的平均速率，當這一小段時間趨于零時，該平均速率就為所求速率。
如圖所示，設船在θ角位置經(jīng)△t時間向左行駛△x距離，滑輪右側的繩長縮短△L，當繩與水平方向的角度變化很小時，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有△L=△x csθ，兩邊同除以△t得：，即收繩速率v0=vA csθ，因此船的速率為：vA=υ0/csθ。
方法二、效果分解法
首先確定合運動，即物體實際運動；其次確定物體A的兩個分運動。兩個分運動：一是沿繩的方向被牽引，繩長縮短。繩長縮短的速度即等于v1=v0；二是隨著繩以定滑輪為圓心的擺動，它不改變繩長，只改變角度θ的值。這樣就可以將vA按圖示方向進行分解。所以v1及v2實際上就是vA的兩個分速度，如圖所示，由此可得vA=υ0/csθ。
方法三、功率等值法
由題意可知：人對繩子做功等于繩子對物體所做的功，即二者做功的功率相等。人對繩子的拉力為F，則對繩子做功的功率為P1=Fv0；繩子對物體的拉力，由定滑輪的特點可知，拉力大小也為F，則繩子對物體做功的功率為P2=FvAcsθ，因為P1= P2所以vA=v0/csθ。
知識點二、常見斜面平拋模型與結論
類型一：沿著斜面平拋
1.斜面上平拋運動的時間的計算
斜面上的平拋(如圖)，分解位移（位移三角形）
v0
θ(
)α
)α
x＝v0t ，
y＝eq \f(1,2)gt2，
tan θ＝eq \f(y,x)，
可求得t＝eq \f(2v0tan θ,g)。
2.斜面上平拋運動的推論
根據(jù)推論可知，tanα=2tanθ，同一個斜面同一個θ，所以，無論平拋初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.與斜面的最大距離問題
【構建模型】如圖所示，從傾角為θ的斜面上的A點以初速度v0水平拋出一個物體，物體落在斜面上的B點，不計空氣阻力．
法一：(1) 以拋出點為坐標原點，沿斜面方向為x軸，垂直于斜面方向為y軸，建立坐標系，如圖(a)所示
vx＝v0cs θ，vy＝v0sin θ，
ax＝gsin θ，ay＝gcs θ.
物體沿斜面方向做初速度為vx、加速度為ax的勻加速直線運動，垂直于斜面方向做初速度為vy、加速度為ay的勻減速直線運動，類似于豎直上拋運動．
令v′y＝v0sin θ－gcs θ·t＝0，即t＝eq \f(v0tan θ,g).
(2)當t＝eq \f(v0tan θ,g)時，物體離斜面最遠，由對稱性可知總飛行時間T＝2t＝eq \f(2v0tan θ,g)，
A、B間距離s＝v0cs θ·T＋eq \f(1,2)gsin θ·T2＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,gcs θ).
法二：(1) 如圖(b)所示，當速度方向與斜面平行時，離斜面最遠，v的切線反向延長與v0交點為此時橫坐標的中點P，
則tan θ＝eq \f(y,\f(1,2)x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,\f(1,2)v0t)，t＝eq \f(v0tan θ,g).
(2) eq \x\t(AC)＝y(tǒng)＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(veq \\al(2,0)tan2 θ,2g)，而eq \x\t(AC)∶eq \x\t(CD)＝1∶3，所以eq \x\t(AD)＝4y＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan2θ,g)，A、B間距離s＝eq \f(eq \x\t(AD),sin θ)＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,gcs θ).
法三：(1)設物體運動到C點離斜面最遠，所用時間為t，將v分解成vx和vy，如圖(c)所示，則由tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)，得t＝eq \f(v0tan θ,g).
(2)設由A到B所用時間為t′，水平位移為x，豎直位移為y，如圖(d)所示，由圖可得
tan θ＝eq \f(y,x)，y＝xtan θ①
y＝eq \f(1,2)gt′2②
x＝v0t′③
由①②③式得：t′＝eq \f(2v0tan θ,g)
而x＝v0t′＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,g)，
因此A、B間的距離s＝eq \f(x,cs θ)＝eq \f(2veq \\al(2,0)tan θ,gcs θ).
類型二：垂直撞斜面平拋運動
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝eq \f(vx,vy)＝eq \f(v0,gt)，
可求得t＝eq \f(v0,gtan θ).
底端正上方平拋撞斜面中的幾何三角形
v0
)θ
H
H-y
x
類型三：撞斜面平拋運動中的最小位移問題
v0
)θ
θ

過拋出點作斜面的垂線，如圖所示，
當小球落在斜面上的B點時，位移最小，設運動的時間為t，則
水平方向：x＝hcs θ·sin θ＝v0t
豎直方向：y＝hcs θ·cs θ＝eq \f(1,2)gt2，解得v0＝ eq \r(\f(gh,2))sin θ，t＝eq \r(\f(2h,g))cs θ.
知識點三、水平方向上的圓周運動
1．結構特點：一根質量和伸長可以不計的輕細線，上端固定，下端系一個可以視為質點的擺球在水平面內做勻速圓周運動，細繩所掠過的路徑為圓錐表面。
2．受力特點：擺球質量為m，只受兩個力即豎直向下的重力mg和沿擺線方向的拉力FT。兩個力的合力，就是擺球做圓周運動的向心力，如圖所示（也可以理解為拉力的豎直分力與擺球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
4．運動特點：擺長為l，擺線與豎直方向的夾角為θ的圓錐擺，擺球做圓周運動的圓心是O，圓周運動的軌道半徑是r=lsinθ
向心力 F合=mgtanθ=man=mω2lsinθ=mv2/(lsinθ)
擺線的拉力 FT=mg/csθ
【討論】：(1)當擺長一定，擺球在同一地點、不同高度的水平面內分別做勻速圓周運動時，據(jù)csθ=g/(ω2l)可知，若角速度ω越大，則θ越大，擺線拉力FT=mg/csθ也越大，向心加速度an=gtanθ也越大，線速度v=ωr =glsinθtanθ也越大。
結論是：同一圓錐擺，在同一地點，若θ越大，則擺線的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，轉動的越快，運動的也越快，。
(2)當lcsθ為定值時（lcsθ=?為擺球的軌道面到懸點的距離h，即圓錐擺的高度），擺球的質量相等、擺長不等的圓錐擺若在同一水平面內做勻速圓周運動，則擺線拉力FT=mg/csθ，向心力F合=mgtanθ，向心加速度an=gtanθ，角速度ω=g/?，線速度v=ωr=g?tanθ。
結論是：在同一地點，擺球的質量相等、擺長不等但高度相同的圓錐擺，轉動的快慢相等，但θ角大的圓錐擺，擺線的拉力大，向心力大，向心加速度大，運動得快。
知識點四、豎直面內“繩、桿（單、雙軌道）”模型對比
知識點五、豎直面內圓周運動常見問題與二級結論
【問題1】一個小球沿一豎直放置的光滑圓軌道內側做完整的圓周運動，軌道的最高點記為A和最低點記為C，與原點等高的位置記為B。圓周的半徑為R
要使小球做完整的圓周運動，當在最高點A 的向心力恰好等于重力時，由mg=mv2R可得vgR①
對應C點的速度有機械能守恒mg2R=12mvC2?12mvA2得vC=5gR②
當小球在C點時給小球一個水平向左的速度若小球恰能到達與O點等高的D位置則由機械能守恒
mgR=12mvc2得vc=2gR③
小結：(1).當vc>5gR時小球能通過最高點A小球在A點受軌道向內的支持力由牛頓第二定律FA+mg=mvA2R④
(2).當vc=5gR時小球恰能通過最高點A小球在A點受軌道的支持力為0由牛頓第二定律mg=mvA2R。⑤
(3).當2gR

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