命題：修其生 審題：張楠
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 如果是兩個(gè)單位向量，那么下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
2 已知平面向量，且，則（ ）
A. B. C. D. 3
3. 在中，，則（ ）
A. 或B. C. 或D. 或
4. 甲船在B島正南方向的A處，AB＝10 km，若甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們航行的時(shí)間是（ ）
A. hB. h
C. hD. h
5. 如圖，在中，設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
6. 已知非零向量滿足，且，則是（ ）
A. 三邊均不相等三角形B. 直角三角形
C. 等腰（非等邊）三角形D. 等邊三角形
7. 點(diǎn)在邊長(zhǎng)為的正三角形的外接圓上，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
8. 對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β，定義.若兩個(gè)非零的平面向量和，滿足與的夾角，且和都在集合中，則=
A. B. C. 1D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)得0分．
9. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（ ）
A B.
C. D.
10. 已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，下列命題正確是（ ）
A. 若，則點(diǎn)是的重心
B. 若點(diǎn)是的外心，則
C. 若，則點(diǎn)是的垂心
D. 若點(diǎn)是的垂心，則
11. 在中，，（為常數(shù)），的最大值為12，則（ ）
A. 為銳角B. 面積的最大值為8
C. D. 周長(zhǎng)的最大值為
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．其中第14題第一空2分，第二空3分．
12. 已知是兩個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，則與的夾角為_________．
13. 正方形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的余弦值為________.
14. 英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：
，
，
其中，
（1）__________.
（2）已知在中，，邊，則面積的最大值為__________.
（以上兩空均用小數(shù)作答，且精確到0.001）
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知向量，．
（1）當(dāng)，求的值；
（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使，若存在請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
16. 記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，
（1）求B；
（2）若面積為，求c．
17. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．
18. 某景區(qū)擬開辟一個(gè)平面示意圖是如圖所示的五邊形ABCDE的觀光步行道，BE為景點(diǎn)電動(dòng)車專用道，，，，．
（1）求景點(diǎn)電動(dòng)車專用道BE的長(zhǎng)；
（2）由于受資金的限制，折線步行道BAE（即）不能超過20km，問景區(qū)可不可以鋪設(shè)該步行道？
19. 對(duì)于一組向量，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長(zhǎng)向量”．
（1）設(shè)，且，若是向量組的“長(zhǎng)向量”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若且，向量組是否存在“長(zhǎng)向量”？若存在，求出正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）已知均是向量組的“長(zhǎng)向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的位置向量的終點(diǎn)，且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，與（且）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值．

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