全卷滿(mǎn)分150分 考試時(shí)間120分鐘
注意事項(xiàng)：
1.考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)及所有的答案均填寫(xiě)在答題卡上.
2.答題要求見(jiàn)答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項(xiàng)”.
第I卷（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，.共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，則，利用復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)相等可求出、的值，可得出復(fù)數(shù)，即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則，
所以，，
所以，解得，，故，即復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：A.
2. 已知平面向量，則“”是“，共線(xiàn)”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)及充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】若則，共線(xiàn)，故充分性成立；
若，共線(xiàn)，不一定得到，
如，，顯然滿(mǎn)足，共線(xiàn)，
但是不存在實(shí)數(shù)使得，故必要性不成立；
所以“”是“，共線(xiàn)”的充分不必要條件.
故選：A
3. 如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是（ ）
A. 四棱臺(tái)B. 四棱錐C. 四棱柱D. 三棱柱
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征直接判斷即可.
【詳解】記水面與三棱柱四條棱的交點(diǎn)分別為，如圖所示，
由三棱錐性質(zhì)可知，和是全等的梯形，
又平面平面，
平面分別與平面和相交于，
所以，同理，
又，所以互相平行，
所以盛水部分的幾何體是四棱柱.
故選：C
4. 在三角形中，，，，則（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理求解出角，然后由內(nèi)角和定理求解角即可.
【詳解】由可得：，
所以，又，
所以，
結(jié)合內(nèi)角和定理，所以.
故選：B
5. 若的周長(zhǎng)為15，面積為5，則（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)的周長(zhǎng)為15，得到，再根據(jù)三角形面積為5，且求得ac，然后利用余弦定理求解.
【詳解】解：因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為10，
所以，
又因?yàn)槿切蚊娣e為5，且
所以，
解得，
由余弦定理得，
解得 ，
故選：A
6. 如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D.現(xiàn)測(cè)得，，，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高為
A. B. C. 60mD. 20m
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理確定的長(zhǎng)，再求出．
【詳解】，
由正弦定理得：
故選D
【點(diǎn)睛】本題是正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是利用正弦定理求出，屬于基礎(chǔ)題．
7. 在正方形中，與交于點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)計(jì)算夾角的余弦值即可.
【詳解】
建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的棱長(zhǎng)為，
因?yàn)椋?br>則，，，，
所以，，
所以.
故選：C
8. 已知圓半徑為13，和是圓的兩條動(dòng)弦，若，，則的最大值是（ ）
A. 17B. 20C. 34D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算、絕對(duì)值三角不等式、垂徑定理等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】設(shè)是圓的圓心，連接，作，垂足分別為，
則分別是的中點(diǎn)，由勾股定理得，
，
，
故
當(dāng)反向時(shí)等號(hào)成立，
所以的最大值是.
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
解決圓中向量問(wèn)題，垂徑定理是一個(gè)重要的工具，通過(guò)垂徑定理找到弦的中點(diǎn)，將向量與圓心和中點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，便于進(jìn)行向量的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化.
對(duì)于求向量和的模的最值問(wèn)題，利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算將其轉(zhuǎn)化為已知向量的運(yùn)算形式，再結(jié)合絕對(duì)值三角不等式（當(dāng)且僅當(dāng)與同向或反向時(shí)取等號(hào)）來(lái)求解，是一種常用的方法.
二.多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐
B. 長(zhǎng)方體是直四棱柱
C. 用一個(gè)平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)；
D. 球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面．
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)正棱錐的概念判斷A；根據(jù)直四棱柱的概念判斷B；根據(jù)圓臺(tái)的概念判斷C；根據(jù)球的概念判斷D.
【詳解】對(duì)于A，各側(cè)棱都相等，但無(wú)法保證底面為正多邊形，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，易知長(zhǎng)方體的側(cè)棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正確；
對(duì)于C，根據(jù)圓臺(tái)的定義，用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，
圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，故D正確．
故選：BD
10. 已知，關(guān)于的方程有一個(gè)根為，為虛數(shù)單位，另一個(gè)根為，則正確的有（ ）
A. 該方程不存在實(shí)數(shù)根B. ，
C. 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn).
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)相等復(fù)數(shù)求得，即可判斷B；根據(jù)計(jì)算即可判斷A；根據(jù)韋達(dá)定理求出，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念和幾何意義即可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算即可判斷D.
【詳解】由是方程的根，得，
整理得，因此，解得，
所以方程為，故B正確；
對(duì)于A，根據(jù)方程，可得，
所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故A正確；
對(duì)于C，D，方程，由韋達(dá)定理可知，得，
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，的共軛復(fù)數(shù)不在第四象限.
，
所以，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：ABD
11. “奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(chē)的標(biāo)志很相似，所以形象地稱(chēng)其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（ ）

A.
B. 有可能是的重心
C. 若為的外心，則
D. 若為的內(nèi)心，則為直角三角形
【答案】AD
【解析】
分析】由奔馳定理可判斷A選項(xiàng)，利用重心結(jié)論可判斷B選項(xiàng)；
由外心可知，即可判斷C選項(xiàng)；
由內(nèi)心可知，滿(mǎn)足勾股定理，D選項(xiàng)正確.
【詳解】對(duì)于A，由奔馳定理可得，，
因?yàn)椋?，不共線(xiàn)，所以，故A正確；
對(duì)于B，若是的重心，，
因?yàn)?，所以，即共線(xiàn)，故B錯(cuò)誤．
對(duì)于C，當(dāng)為的外心時(shí)，，
所以，
即，故C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，當(dāng)為的內(nèi)心時(shí)，（為內(nèi)切圓半徑），
所以，所以，故D正確.
故選：AD.
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，滿(mǎn)分15分.
12. 在復(fù)平面內(nèi)，向量、分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)、，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為_(kāi)____
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可求解.
【詳解】，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
故答案：
13. 已知向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用投影向量的公式即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意得，，因?yàn)?，所以?br>所以，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為．
故答案為：
14. 如下圖，在梯形中，，，，，，則______，若是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式和坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】因?yàn)樘菪沃?，，，所以?br>所以，解得.
以所在直線(xiàn)為軸，垂直于所在直線(xiàn)為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，
由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，設(shè)，，，
則，，，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
最小值為，
故答案為：；
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知復(fù)數(shù)（）滿(mǎn)足為純虛數(shù)．
（1）求；
（2）若復(fù)數(shù)（）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化簡(jiǎn)，利用是純虛數(shù)求出的值，得出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，即可求出的值；
（2）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用點(diǎn)在第三象限，即可求出的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
，
由為純虛數(shù)，得
解得．
所以．
【小問(wèn)2詳解】
，
因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，
所以
解得，即的取值范圍是．
16. 在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若、，且.
（1）求；
（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解即可；
（2）首先根據(jù)三角形的面積公式求出的面積與的面積的比值為1，然后求解總面積的一半即可；
【小問(wèn)1詳解】
在中，，
∵，
∴，
又∵，∴，
∴由余弦定理得：，
即，解得（舍去）或（可?。?，
∴；
【小問(wèn)2詳解】

∵，∴，
∴，
∴的面積與的面積之比為，
∴,
又面積為，
∴面積為.
17. 如圖，在中，.

（1）若E是BD的中點(diǎn)，試用和表示；
（2）若G是AD上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)G的直線(xiàn)交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H.若，，其中，均為正實(shí)數(shù)，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的加減法運(yùn)算法則，結(jié)合平面向量基本定理求解；
（2）由已知條件可得，再由F，G，H三點(diǎn)共線(xiàn)，得，然后利用基本不等式可求得答案.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋裕?br>所以，
因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，
所以
；
【小問(wèn)2詳解】
由，，得，，
因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)镕，G，H三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，
則
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
18. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若的角平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，，，求BD；
（3）若的外接圓的半徑為，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可得，利用余弦定理可得，即可得結(jié)果；
（2）根據(jù)面積關(guān)系，結(jié)合面積公式運(yùn)算求解即可；
（3）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>可得，
由正弦定理得，則，
且，所以．
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知：，
因?yàn)椋?br>則，
即，可得．
【小問(wèn)3詳解】
由正弦定理可得，
則，
可得，
又因?yàn)椋瑒t，
可得，即，
所以的取值范圍為.
19. 歐拉（1707-1783），他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來(lái)，兩個(gè)超越數(shù)——自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，圓周率，兩個(gè)單位——虛數(shù)單位和自然數(shù)單位，以及被稱(chēng)為人類(lèi)偉大發(fā)現(xiàn)之一的，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請(qǐng)你根據(jù)歐拉公式：，解決以下問(wèn)題：
（1）將復(fù)數(shù)表示成（，為虛數(shù)單位）的形式；
（2）求的最大值；
（3）若，則，這里，稱(chēng)為的一個(gè)次單位根，簡(jiǎn)稱(chēng)單位根．類(lèi)比立方差公式，我們可以獲得，復(fù)數(shù)，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)歐拉公式直接可得解；
（2）由歐拉公式可證明，并得到，這即得結(jié)果；
（3）根據(jù)單位根的概念，代入化簡(jiǎn)即可.
【小問(wèn)1詳解】
由歐拉公式有
.
【小問(wèn)2詳解】
由于，，故，
而當(dāng)時(shí)，有.
故的最大值是.
【小問(wèn)3詳解】
由于，故，而，所以.
故
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)歐拉公式的使用和復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則的熟練運(yùn)用.

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