1．（3分）下列方程中，是關(guān)于x一元二次方程是（ ）
A．a(chǎn)x2+bx+c＝0B．x2+y＝1
C．x2+1x2=0D．x2+x＝4
2．（3分）我市積極開展“全民參與垃圾分類，共享環(huán)保低碳生活”宣傳活動．生活垃圾應(yīng)按照廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾進行分類，分別投入相應(yīng)標識的收集容器內(nèi)．下面有關(guān)垃圾分類的圖標，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）將拋物線y＝﹣（x﹣1）2+2先向左平移1個單位，再向上平移2個單位，則平移后所得拋物線表達式為（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+4B．y＝﹣x2+4
C．y＝﹣x2D．y＝﹣（x+1）2+4
4．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．“水滴石穿”這個事件是必然事件
B．“太陽西升東落”這個事件是隨機事件
C．“守株待兔”這個事件是不可能事件
D．“明天全市的降水概率為70%”表示明天全市一定會下雨
5．（3分）已知半徑為9的扇形的弧長為6π，該扇形的面積為（ ）
A．18πB．27πC．36πD．54π
6．（3分）若一個正多邊形的一個外角是60°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．10B．9C．8D．6
7．（3分）一件產(chǎn)品原來每件的成本是1000元，由于連續(xù)兩次降低成本，現(xiàn)在的成本是810元，則平均每次降低成本（ ）
A．8.5%B．9%C．9.5%D．10%
8．（3分）如圖，量角器外緣上有A，B，C三點，且A，B兩點所表示的讀數(shù)分別是130°，100°，則∠ACB應(yīng)為（ ）
A．15°B．25°C．30°D．40°
9．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣1，3），以原點O為中心，將點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點A'，則點A'坐標為（ ）
A．（1，?3）B．（?3，1）C．（0，2）D．（3，1）
10．（3分）如圖，已知開口向下的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（3，0），對稱軸為直線x＝1．則下列結(jié)論：①ac＜0；②3a+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的兩個根為x1＝﹣1，x2＝3；④拋物線上有兩點P（a1，b1）和Q（a2，b2），若b1＝b2，則a1+a2＝2．其中正確的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）若a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數(shù)根，則a+b＝ ．
12．（3分）已知點A（m，1）與點B（5，n）關(guān)于原點對稱，則m+n＝ ．
13．（3分）長江是中華民族的母親河，長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區(qū)域文化．若從上述四種區(qū)域文化中隨機選一種文化開展專題學(xué)習(xí)，則選中“荊楚文化”的概率是 ．
14．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若AB＝10，CD＝8，則線段BE的長為 ．
15．（3分）如圖，D是等邊△ABC外一點，連接AD，BD．若BD=19，CD=3，AD＝4，則△ABC的邊AB長為 ．
三、解答題（本大題共9小題，共75分）
16．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個實數(shù)根相等．請直接寫出m的值，并解這個方程．
17．（6分）如圖，在9×6的長方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1個單位長度，我們把每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂A，B，C均在格點上．請你用一把無刻度的直尺完成作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．
（1）以C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△DEC（點A，B的對應(yīng)點分別為點D，E），并連接AD；
（2）作出經(jīng)過點A，C，D三點的圓的圓心O，并直接寫出⊙O的半徑．
18．（6分）如圖是一個長20cm、寬15cm的矩形圖案，其中有兩條寬度相等、互相垂直的彩條，彩條所占面積是圖案面積的1150，求彩條的寬度．
19．（8分）一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應(yīng)值如下表所示：
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）當(dāng)函數(shù)值y＜0時，對應(yīng)的x的取值范圍是 ；
（4）當(dāng)﹣3＜x＜3時，直接寫出y的取值范圍．
20．（8分）為了提升新教材的應(yīng)用效果，教育主管部門開展了新教材培訓(xùn)活動，在如圖所示的場地里擺放了16把椅子，每個方框代表一把椅子，橫為排，豎為列，其中圓點表示已有10位老師入座，又有楊老師和梁老師兩位老師隨機入座．根據(jù)會議安排，楊老師需要坐第二排，梁老師需要坐第三排，假設(shè)這兩位老師在每一排選擇座位的可能性相同．
（1）楊老師選擇B3座位的可能性為 ；
（2）請用畫樹狀圖或列表的方法求兩位老師剛好坐同一列的概率．
21．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點D，分別交AC，AB于點E，F(xiàn)．
（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若BD＝23，BF＝2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．
22．（10分）某商場購進一批小商品，其進價為10元/個．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價為12元時，銷售量為180個．若銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10個，請回答以下問題：
（1）請寫出小商品的銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系（12≤x≤30）；
（2）為了讓利給顧客，并同時獲得840元利潤，銷售單價應(yīng)定為多少？
（3）當(dāng)銷售單價定為多少時，商場獲得利潤最大，最大利潤是多少？
23．（11分）我們可以通過類比聯(lián)想，引中拓展研究典型題目，達到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請你補充完整．
原題：如圖1，點E．F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連接EF．則EF＝BE+DF，請說明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE繞點A逆針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，
即點F，D，G在一條直線上．
根據(jù) ，易證△AEF≌ ，得EF＝BE+DF．
（2）類比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系 時，仍有EF＝BE+DF．
（3）聯(lián)想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，BD＝4，CE＝3．
①試猜想線段BD，DE，EC之間的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想；
②直接寫出△ADE的面積．
24．（12分）如圖，已知拋物線y＝a（x+2）（x﹣6）交x軸于點A，B，交y軸于點C，且OA：OC＝2：3．設(shè)拋物線的頂點為M，對稱軸交x軸于點N．
（1）求a的值；
（2）點P在拋物線的對稱軸上，點Q（n，0）在x軸上，且PQ⊥PC．
①當(dāng)點P在線段MN（含端點）上運動時，求n的變化范圍；
②當(dāng)n取最大值時，將線段CQ向上平移t個單位長度，使得線段CQ與拋物線有兩個交點，求t的取值范圍．
2024-2025學(xué)年湖北省襄陽市南漳縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題意的，請將所選選項的字母寫在題目后面的括號內(nèi)）
1．（3分）下列方程中，是關(guān)于x一元二次方程是（ ）
A．a(chǎn)x2+bx+c＝0B．x2+y＝1
C．x2+1x2=0D．x2+x＝4
【解答】解：A．a(chǎn)x2+bx+c＝0，當(dāng)a＝0時不是一元二次方程，不符合題意；
B．x2+y＝1，含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
C．x2+1x2=0，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合題意；
D．x2+x＝4，是一元二次方程，符合題意．
故選：D．
2．（3分）我市積極開展“全民參與垃圾分類，共享環(huán)保低碳生活”宣傳活動．生活垃圾應(yīng)按照廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾進行分類，分別投入相應(yīng)標識的收集容器內(nèi)．下面有關(guān)垃圾分類的圖標，是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：選項A、B、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；
選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；
故選：C．
3．（3分）將拋物線y＝﹣（x﹣1）2+2先向左平移1個單位，再向上平移2個單位，則平移后所得拋物線表達式為（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+4B．y＝﹣x2+4
C．y＝﹣x2D．y＝﹣（x+1）2+4
【解答】解：將拋物線y＝﹣（x﹣1）2+2先向左平移1個單位，再向上平移2個單位，則平移后所得拋物線表達式為：y＝﹣（x﹣1+1）2+2+2，即y＝﹣x2+4．
故選：B．
4．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．“水滴石穿”這個事件是必然事件
B．“太陽西升東落”這個事件是隨機事件
C．“守株待兔”這個事件是不可能事件
D．“明天全市的降水概率為70%”表示明天全市一定會下雨
【解答】解：A、“水滴石穿”這個事件是必然事件，故該項說法正確，符合題意；
B、“太陽西升東落”這個事件是不可能事件，故該項說法不正確，不符合題意；
C、“守株待兔”這個事件是隨機事件，故該項說法不正確，不符合題意；
D、“明天全市的降水概率為70%”表示明天全市不一定會下雨，這個事件是隨機事件，故該項說法不正確，不符合題意；
故選：A．
5．（3分）已知半徑為9的扇形的弧長為6π，該扇形的面積為（ ）
A．18πB．27πC．36πD．54π
【解答】解：根據(jù)扇形的面積公式，得
S扇形=12lR=12×6π×9＝27π．
故選：B．
6．（3分）若一個正多邊形的一個外角是60°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．10B．9C．8D．6
【解答】解：360°÷60°＝6，即正多邊形的邊數(shù)是6．
故選：D．
7．（3分）一件產(chǎn)品原來每件的成本是1000元，由于連續(xù)兩次降低成本，現(xiàn)在的成本是810元，則平均每次降低成本（ ）
A．8.5%B．9%C．9.5%D．10%
【解答】解：設(shè)平均每次降低成本的百分率為x，根據(jù)題意得：
1000（1﹣x）（1﹣x）＝810，
解得：x＝0.1或1.9（不合題意，舍去）
即：x＝10%
故選：D．
8．（3分）如圖，量角器外緣上有A，B，C三點，且A，B兩點所表示的讀數(shù)分別是130°，100°，則∠ACB應(yīng)為（ ）
A．15°B．25°C．30°D．40°
【解答】解：設(shè)量角器的圓心是O，連接OA、OB，
則∠AOB＝130°﹣100°＝30°，
由圓周角定理，得∠ACB＝30°÷2＝15°．
故選：A．
9．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣1，3），以原點O為中心，將點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點A'，則點A'坐標為（ ）
A．（1，?3）B．（?3，1）C．（0，2）D．（3，1）
【解答】解：如圖所示，過A作AB⊥x軸于B，過A'作A'C⊥x軸于C，
∵∠AOA'＝90°＝∠ABO＝∠OCA'，
∴∠BAO+∠AOB＝90°＝∠A'OC+∠AOB，
∴∠BAO＝∠COA'，
又∵AO＝OA'，
∴△AOB≌△OA'C（AAS），
∴A'C＝BO＝1，CO＝AB=3，
∴點A′坐標為（3，1），
故選：D．
10．（3分）如圖，已知開口向下的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（3，0），對稱軸為直線x＝1．則下列結(jié)論：①ac＜0；②3a+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的兩個根為x1＝﹣1，x2＝3；④拋物線上有兩點P（a1，b1）和Q（a2，b2），若b1＝b2，則a1+a2＝2．其中正確的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線交y軸于正半軸，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①正確．
∵拋物線的對稱軸是直線x＝1，
∴?b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（3，0），對稱軸為直線x＝1，
∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于另一點（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴3a+c＝0，故②錯誤；
∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（﹣1，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的兩個根為x1＝﹣1，x2＝3，故③正確．
拋物線上有兩點P（a1，b1）和Q（a2，b2），若b1＝b2，則P和Q關(guān)于對稱軸對稱，
∴a1+a22=1，
∴a1+a2＝2，故④正確．
故選：C．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）若a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數(shù)根，則a+b＝ 3 ．
【解答】解：∵a和b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數(shù)根，
∴a+b＝3，
故答案為：3．
12．（3分）已知點A（m，1）與點B（5，n）關(guān)于原點對稱，則m+n＝ ﹣6 ．
【解答】解：∵點A（m，1）與點B（5，n）關(guān)于原點對稱，
∴m＝﹣5，n＝﹣1，
∴m+n＝﹣6，
故答案為：﹣6．
13．（3分）長江是中華民族的母親河，長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區(qū)域文化．若從上述四種區(qū)域文化中隨機選一種文化開展專題學(xué)習(xí)，則選中“荊楚文化”的概率是 14 ．
【解答】解：∵共有四種區(qū)域文化，隨機選一種文化開展專題學(xué)習(xí)，隨機選一種文化開展專題學(xué)習(xí)，
∴則選中“荊楚文化”的概率是14．
故答案為：14．
14．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若AB＝10，CD＝8，則線段BE的長為 2 ．
【解答】解：連接OC，如圖
∵弦CD⊥AB，
∴CE＝DE=12CD＝4，
在Rt△OCE中，∵OC＝5，CE＝4，
∴OE=52?42=3，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．
故答案為：2．
15．（3分）如圖，D是等邊△ABC外一點，連接AD，BD．若BD=19，CD=3，AD＝4，則△ABC的邊AB長為 7 ．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，點B的對應(yīng)點為點C，點D的對應(yīng)點為點E，
連接DE，過點C作CH⊥AD于點F，如圖所示：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABD≌△ACE，AD＝AE＝4，∠DAE＝60°，CE＝BD=19，
∴△ADE是等邊三角形，
∴DE＝AD＝4，∠ADE＝60°，
∵CD=3，
∴CD2+DE2＝（√3）2+42(3)2+42=19，
又∵CE2=(19)2=19，
∴CD2+DE2＝CE2，
∴△CDE是直角三角形，即∠CDE＝90°，
∴∠CDA＝∠CDE﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△CDF中，∠CDA＝30°，CD=3，
∴CF=12CD=32，
由勾股定理得：DF=CD2?CF2=√(3)2?(32)2=32，
∴AF＝AD﹣DF=4?32=52，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AC=AF2+CF2=(32)2+(72)2=7．
△ABC的邊AB長為7．
故答案為：7．
三、解答題（本大題共9小題，共75分）
16．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個實數(shù)根相等．請直接寫出m的值，并解這個方程．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m≥0，
解得m≤4；
（2）若該方程的兩個實數(shù)根相等，則m＝4，
故方程為x2﹣4x+4＝0，
（x﹣2）2＝0，
解得x1＝x2＝2．
17．（6分）如圖，在9×6的長方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1個單位長度，我們把每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂A，B，C均在格點上．請你用一把無刻度的直尺完成作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．
（1）以C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△DEC（點A，B的對應(yīng)點分別為點D，E），并連接AD；
（2）作出經(jīng)過點A，C，D三點的圓的圓心O，并直接寫出⊙O的半徑．
【解答】解：（1）如圖，△DEC即為所求．
（2）如圖，取AD的中點O，
由旋轉(zhuǎn)得，∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴AD為經(jīng)過點A，C，D三點的圓的直徑，
∴點O為經(jīng)過點A，C，D三點的圓的圓心，
則點O即為所求．
由勾股定理得，AD=72+12=52，
∴⊙O的半徑為12AD=522．
18．（6分）如圖是一個長20cm、寬15cm的矩形圖案，其中有兩條寬度相等、互相垂直的彩條，彩條所占面積是圖案面積的1150，求彩條的寬度．
【解答】解：設(shè)彩條的寬度為x，
根據(jù)題意可得，
（20﹣x）（15﹣x）＝20×15×（1?1150），
解得x1＝2，x2＝33（舍去）
答：彩條的寬度2cm．
19．（8分）一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應(yīng)值如下表所示：
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；
（3）當(dāng)函數(shù)值y＜0時，對應(yīng)的x的取值范圍是 ﹣3＜x＜1 ；
（4）當(dāng)﹣3＜x＜3時，直接寫出y的取值范圍．
【解答】解：（1）設(shè) y＝a（x+3）（x﹣1），
將（0，﹣3）代入得a×3×（﹣1）＝﹣3，解得a＝1，
∴拋物線解析式為y＝（x+3）（x﹣1），
即y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，﹣4），
如圖，
（3）當(dāng)函數(shù)值y＜0時，對應(yīng)的x的取值范圍﹣3＜x＜1；
故答案為：﹣3＜x＜1；
（4）x＝3時，y＝（x+1）2﹣4＝12，
當(dāng)﹣3＜x＜3時，y的取值范圍是﹣4≤y＜12．
20．（8分）為了提升新教材的應(yīng)用效果，教育主管部門開展了新教材培訓(xùn)活動，在如圖所示的場地里擺放了16把椅子，每個方框代表一把椅子，橫為排，豎為列，其中圓點表示已有10位老師入座，又有楊老師和梁老師兩位老師隨機入座．根據(jù)會議安排，楊老師需要坐第二排，梁老師需要坐第三排，假設(shè)這兩位老師在每一排選擇座位的可能性相同．
（1）楊老師選擇B3座位的可能性為 13 ；
（2）請用畫樹狀圖或列表的方法求兩位老師剛好坐同一列的概率．
【解答】解：（1）楊老師還有三個座位可選，是等可能性的，選擇B3座位的可能性有1種，
故概率為13，
故答案為：13；
（2）楊老師需要坐第二排，梁老師需要坐第三排，列表如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中兩位老師剛好坐同一列的結(jié)果有2種，
∴兩位老師剛好坐同一列的概率為29．
21．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點D，分別交AC，AB于點E，F(xiàn)．
（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若BD＝23，BF＝2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．
【解答】解：（1）BC與⊙O相切．
證明：連接OD．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．
又∵BC過半徑OD的外端點D，
∴BC與⊙O相切．
（2）設(shè)OF＝OD＝x，則OB＝OF+BF＝x+2，
根據(jù)勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，即（x+2）2＝x2+12，
解得：x＝2，即OD＝OF＝2，
∴OB＝2+2＝4，
∵Rt△ODB中，OD=12OB，
∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴S扇形DOF=60π×4360=2π3，
則陰影部分的面積為S△ODB﹣S扇形DOF=12×2×23?2π3=23?2π3．
故陰影部分的面積為23?2π3．
22．（10分）某商場購進一批小商品，其進價為10元/個．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價為12元時，銷售量為180個．若銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10個，請回答以下問題：
（1）請寫出小商品的銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系（12≤x≤30）；
（2）為了讓利給顧客，并同時獲得840元利潤，銷售單價應(yīng)定為多少？
（3）當(dāng)銷售單價定為多少時，商場獲得利潤最大，最大利潤是多少？
【解答】解：（1）y＝180﹣10（x﹣12）＝180﹣10x+120＝﹣10x+300，
即：y＝﹣10x+300；
（2）由題意得：（x﹣10）y＝840，
（x﹣10）（﹣10x+300）＝840，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得：x1＝16，x2＝24（舍去），
∴為了讓利給顧客，并同時獲得840元利潤，銷售單價應(yīng)定為16元；
（3）設(shè)總利潤為w元，
由題意得：w＝（x﹣10）（﹣10x+300）
＝﹣10x2+400x﹣3000
＝﹣10（x﹣20）2+1000，
∵a＝﹣10＜0，
∴當(dāng)x＝20時，w最大＝1000元，
∴當(dāng)銷售單價定為20元時，商場獲得利潤最大，最大利潤是1000元．
23．（11分）我們可以通過類比聯(lián)想，引中拓展研究典型題目，達到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請你補充完整．
原題：如圖1，點E．F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連接EF．則EF＝BE+DF，請說明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE繞點A逆針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，
即點F，D，G在一條直線上．
根據(jù) SAS ，易證△AEF≌ △AGF ，得EF＝BE+DF．
（2）類比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°．若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系 ∠B+∠D＝180° 時，仍有EF＝BE+DF．
（3）聯(lián)想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，BD＝4，CE＝3．
①試猜想線段BD，DE，EC之間的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想；
②直接寫出△ADE的面積．
【解答】解：（1）如圖1，
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，點F，D、G共線，
則∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，
∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，
即∠EAF＝∠FAG，
在△AEF和△AGF中，
AF=AF∠EAF=∠GAFAE=AG，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG＝BE+DF；
故答案為：SAS，△AGF；
（2）當(dāng)∠B+∠D＝180°時，EF＝BE+DF，理由如下：
如圖2，
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∴∠BAE＝∠DAG，∠ABE＝∠ADG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠FAG＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，點F、D、G共線，
在△AEF和△AGF中，
AE=AG∠FAE=∠FAGAF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
即EF＝BE+DF；
故答案為：∠B+∠D＝180°；
（3）①BD2+CE2＝DE2，理由如下：
把△ACE旋轉(zhuǎn)到△ABF的位置，連接DF，如圖3，則∠FAB＝∠CAE，BF＝CE，
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝45°，
又∵∠FAB＝∠CAE，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△ADF和△ADE中，
AD=AD∠FAD=∠DAEAF=AE，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF＝DE，
又∵∠ABF＝∠C＝45°，
∴∠FBD＝90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2＝DF2，
∴BD2+CE2＝DE2．
②∵BD＝4，CE＝3，BD2+CE2＝DE2，
∴DE=BD2+CE2=5，
∴BC＝BD+DE+CE＝4+5+3＝12，
∴△ABC的邊BC上的高為12BC＝6，
∴S△ADE=12×5×6=15．
24．（12分）如圖，已知拋物線y＝a（x+2）（x﹣6）交x軸于點A，B，交y軸于點C，且OA：OC＝2：3．設(shè)拋物線的頂點為M，對稱軸交x軸于點N．
（1）求a的值；
（2）點P在拋物線的對稱軸上，點Q（n，0）在x軸上，且PQ⊥PC．
①當(dāng)點P在線段MN（含端點）上運動時，求n的變化范圍；
②當(dāng)n取最大值時，將線段CQ向上平移t個單位長度，使得線段CQ與拋物線有兩個交點，求t的取值范圍．
【解答】解：（1）由a（x+2）?（x﹣6）＝0得，
x1＝﹣2，x2＝6，
∴OA＝2，
∵OA：OC＝2：3，
∴OC＝3，
∴a?2×（﹣6）＝3，
∴a=?14；
（2）①如圖1，由（1）知，拋物線的解析式為y=?14（x+2）（x﹣6），
當(dāng)x=6?22=2時，y=?14×4×（﹣4）＝4，
當(dāng)3＜PN≤4時，
作PE⊥OC于E，作QD⊥PC于D，
∴∠PEC＝∠D＝90°，
∵∠EPC+∠ECP＝90°，
∵∠CPQ＝90°，
∴∠EPC+∠QPD＝90°，
∴∠ECP＝∠QPD，
∴△CPE∽△PQD，
∴PDCE=DQPE，
∴n?2CE=CE+32，
∴n=(CE+32)2+742，
∴當(dāng)CE＝1時，n最大＝4，
如圖2，
當(dāng)0＜PN＜3時，
同理可得：△CDP∽△PNQ，
∴CDPN=PDQN，
∴23?PD=PD2?n，
∴n=(PD?32)2+742，
當(dāng)PD=32時，n最小=78，
∴78≤n≤4；
②∵C（0，3），Q（4，0），
∴直線CQ的關(guān)系式是：y=?34x+3，
∴設(shè)平移后的CQ的關(guān)系式是：y=?34x+（3+t），
由?34x+（t+3）=?14x2+x+3得，
x2﹣7x+4t＝0，
當(dāng)Δ＝（﹣7）2﹣4×4t＝0時，
∴t=4916，
CQ與拋物線只有一個公共點，
當(dāng)x＝4時，y=?14×42+4+3＝3，
∴當(dāng)3≤t＜4916時，線段CQ與拋物線有兩個交點．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
A
B
D
D
A
D
C
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
C1
C2
C3
B2
（B2，C1）
（B2，C2）
（B2，C3）
B3
（B3，C1）
（B3，C2）
（B3，C3）
B4
（B4，C1）
（B4，C2）
（B4，C3）

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