浙江省臺州市溫嶺中學2024-2025學年高一下學期3月考試 數(shù)學試題（含解析）

這是一份浙江省臺州市溫嶺中學2024-2025學年高一下學期3月考試 數(shù)學試題（含解析），共16頁。試卷主要包含了單項選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
1. 設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)交集的概念求解出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
故選：C.
2. 設(shè)命題，則命題的否定為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題易求.
【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知，
命題的否定為.
故選：D．
3. 已知角的終邊上一點的坐標為，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得，再根據(jù)和角公式求解即可.
【詳解】解：因為角的終邊上一點的坐標為，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，
所以，點是角的終邊上的點，
所以，，
所以
故選：C
4. 若向量，滿足，且，則向量與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知條件結(jié)合數(shù)量積公式化簡即可求解.
【詳解】因為，，即，，求得，所以向量與的夾角為.
故選：B
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用“分段法”比較出的大小關(guān)系.
【詳解】因為，，，所以.
故選：D
【點睛】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式比較大小，屬于基礎(chǔ)題.
6. 若，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性可得，，，可得結(jié)論.
【詳解】因為在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，
因為在上單調(diào)遞增，又，所以，
因為在上單調(diào)遞增，又，所以，
所以.
故選：B.
7. 已知a，b為正實數(shù)且，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】將代入，利用基本不等式可求最小值.
【詳解】由題意，，又a，b為正實數(shù)，
所以由基本不等式可得，
當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.
故選：D.
8. 已知函數(shù)，若圖像的任何一條對稱軸與x軸交點的橫坐標均不屬于區(qū)間，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得，，且，解之討論，可得選項.
【詳解】因為的圖像的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標均不屬于區(qū)間，
所以，
所以，
又，且，解得，
又因，
所以，解得，
當時，符合題意，
當時，符合題意，
所以.
故選：B.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義和基本函數(shù)的性質(zhì)逐個分析判斷即可.
【詳解】對于A，定義域為，令，因為，
所以此函數(shù)為偶函數(shù)，由冪函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以A正確；
對于B，定義域為，令，因為，
所以此函數(shù)為偶函數(shù)，因為在上單調(diào)遞減，所以B正確；
對于C，定義域為，為定義域遞減的函數(shù)，不具有奇偶性，所以C錯誤；
對于D，定義域為，令，因為，
所以此函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，因為在上單調(diào)遞減，
所以D正確.
故選：ABD
10. 已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于AC，利用完全平方公式與三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可求得所求；對于B，結(jié)合選項A中結(jié)論，判斷得，從而求得的取值范圍即可判斷；對于D，利用選項C中的結(jié)論求得，進而求得，即可解答.
【詳解】對于A，由①，以及，
對等式①兩邊取平方得，則②，故A正確；
對于B，∵，∴，由②知，，故B正確；
對于C，又，故C錯誤；
對于D，由方程，解得，所以，故D正確.
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)若函數(shù)所有零點的乘積為1，則實數(shù)的值可以為（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】BD
【解析】
【分析】令，可得，討論與圖象位置關(guān)系求解即可.
【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象如圖.
令，則函數(shù)，即，即，即.
由題意函數(shù)所有零點的乘積為1，
可知的所有解的乘積為1，
而的解可看作函數(shù)的圖象與直線的交點的橫坐標.
結(jié)合的圖象可知，
當時，函數(shù)的圖象與直線有2個交點，
不妨設(shè)交點橫坐標為，則，
且，即，所以，所以，符合題意；
當時，函數(shù)的圖象與直線有3個交點，
其中只有最左側(cè)交點的橫坐標小于等于0，
則的所有解的乘積小于等于0，不合題意；
當時，函數(shù)的圖象與直線有2個交點，
不妨設(shè)交點橫坐標為，則，
且，即，所以，所以，符合題意.
綜合以上，可知實數(shù)的取值范圍為，
故選：BD.
【點睛】方法點睛：（1）轉(zhuǎn)化法：利用換元法，令，將函數(shù)所有零點的乘積為1，轉(zhuǎn)化為的所有解的乘積為1；
（2）數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，分類討論解決問題.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)，則的值為__________．
【答案】1.
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的運算算出答案即可.
【詳解】因為
所以，
所以
故答案為：1
13. 已知實數(shù)，滿足，則的最大值是__________．
【答案】81
【解析】
【分析】由直線與圓相切，即可求解；
【詳解】由題意可知當直線與圓相切時，
取得最值，即：，
可得：，
解得：或，
所以的最大值是81，
故答案為：81
14. 設(shè)為實數(shù)，若實數(shù)是關(guān)于的方程的解，則_________.
【答案】##
【解析】
【分析】將已知等式變，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性推出，即得，由此可化簡求值，即得答案.
【詳解】由題意知，得，
即，
設(shè)，則在上單調(diào)遞增，
則由可得，
而實數(shù)是關(guān)于的方程的解，即，
故，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是能夠變形得到，從而結(jié)合的單調(diào)性推出，即，即可求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知全集，集合，集合.
（1）求集合；
（2）設(shè)集合，若集合，且是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式得到或，根據(jù)補集和交集概念求出答案；
（2）得到為的真子集，且，從而得到不等式，求出答案.
【小問1詳解】
，
等價于，解得或，
故或，，
而，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知，，
由是的充分不必要條件，故為的真子集，
又，
故，解得，
故實數(shù)a的取值范圍是.
16. 在直角梯形中，已知，，，點是邊上的中點，點是邊上一個動點．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用結(jié)合向量的線性運算表示，再借助數(shù)量積及運算律求解作答.
（2）令，，利用結(jié)合向量的線性運算表示，再借助數(shù)量積及運算律求解作答.
【小問1詳解】
依題意，，，，
而是邊的中點，，則，
因此，又，，
所以.
【小問2詳解】
由（1）知：令，，則，
，
則有，
當時，，當時，，
所以的取值范圍是.
17. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，當時，．
（1）求和解析式；
（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性并證明；
（3）若對，都有，求實數(shù)m的取值集合．
【答案】（1）；；
（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）由即可求得函數(shù)的解析式，再由函數(shù)是上的偶函數(shù)，即可得到其解析式.
（2）由函數(shù)單調(diào)性的定義法即可證明的單調(diào)性；
（3）根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性可得，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解不等式.
【小問1詳解】
因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，
所以，且滿足，即；
設(shè)，則，即，
又是定義在上的偶函數(shù)，則，
所以；
【小問2詳解】
在區(qū)間上單調(diào)遞減.
證明：任取，且，
則
，
由可得，，，，
所以，即，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.
【小問3詳解】
因為是定義在上的偶函數(shù)，
且當時，，其對稱軸為，
所以當時，單調(diào)遞增，
對，都有，即，
由（1）可知，是定義在上的奇函數(shù)，
且時，單調(diào)遞減，
所以，
所以，即或，
當時，即，解得；
當時，即，解得；
綜上所述，實數(shù)m的取值集合為.
18. 某摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)﹐旋轉(zhuǎn)一周所需時間為分鐘．在圓周上均勻分布12個座艙，標號分別為1～12（可視為點）．現(xiàn)4號座艙位于圓周最上端，從此時開始計時，旋轉(zhuǎn)時間為t分鐘．
（1）求1號座艙與地面的距離h與時間t的函數(shù)關(guān)系的解析式；
（2）在前24分鐘內(nèi)，求1號座艙與地面的距離為17米時t的值；
（3）記1號座艙與5號座艙高度之差的絕對值為H米，若在這段時間內(nèi)，H恰有三次取得最大值，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）14或
（3）
【解析】
【分析】（1）設(shè)1號座艙與地面的距離與時間的函數(shù)關(guān)系的解析式為，，根據(jù)所給條件求出、、、，即可得到函數(shù)解析；
（2）由（1）中的解析式得出，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
（3）依題意可得，，從而得到高度差函數(shù)，利用兩角和差的正弦公式化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取得最大值時的值，即可得解；
【小問1詳解】
設(shè)1號座艙與地面的距離與時間的函數(shù)關(guān)系的解析式為，，，則，，
所以
依題意，所以，
當時，所以，
故；
【小問2詳解】
令，即，
所以，
又，所以，
所以或，解得或，
即或時1號座艙與地面的距離為17米；
【小問3詳解】
依題意，，
所以
令，解，
所以當時取得最大值，
故，解得，
所以.
19. 定義：若對定義域內(nèi)任意x，都有（a為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“a距”增函數(shù)．
（1）若，(0，)，試判斷是否為“1距”增函數(shù)，并說明理由；
（2）若，R是“a距”增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若，(﹣1，)，其中kR，且為“2距”增函數(shù)，求的最小值．
【答案】（1）見解析； （2）； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用“1距”增函數(shù)的定義證明即可；（2）由“a距”增函數(shù)的定義得到在上恒成立，求出a的取值范圍即可；（3）由為“2距”增函數(shù)可得到在恒成立，從而得到恒成立，分類討論可得到的取值范圍，再由，可討論出的最小值．
【詳解】（1）任意,,
因為,, 所以，所以，即是“1距”增函數(shù)．
（2）.
因為是“距”增函數(shù)，所以恒成立，
因為,所以在上恒成立，
所以，解得，因為,所以.
（3）因為，，且為“2距”增函數(shù)，
所以時，恒成立，
即時，恒成立，
所以，
當時，，即恒成立，
所以, 得;
當時，，
得恒成立，
所以得,
綜上所述，得.
又，
因為,所以，
當時，若，取最小值為；
當時，若，取最小值
因為在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以當，的最小值為；當時的最小值為，
即 .
【點睛】本題考查了函數(shù)的綜合知識，考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了恒成立問題，考查了分類討論思想的運用，屬于中檔題．