注意事項：
1．答卷前，考生務將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是
A．4B．5C．6D．9
2．圓心在y軸上，半徑為1，且過點的圓的方程是
A．B．
C．D．
3．記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則
A．20B．16C．14D．12
4．若古典概型的樣本空間，事件A={1，2}，甲：事件，乙：事件A，B相互獨立，則甲是乙的
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
5．一般來說，輸出信號功率用高斯函數(shù)來描述，定義為，其中為輸出信號功率最大值（單位：mW），x為頻率（單位：Hz），為輸出信號功率的數(shù)學期望，為輸出信號的方差，3dB帶寬是光通信中一個常用的指標，是指當輸出信號功率下降至最大值一半時，信號的頻率范圍，即對應函數(shù)圖象的寬度?，F(xiàn)已知輸出信號功率為（如圖所示），則其3dB帶寬為
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)的圖象恰為橢圓C：x軸上方的部分，若，，成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是
A．線段（不包含端點）
B．橢圓一部分
C．雙曲線一部分
D．線段（不包含端點）和雙曲線一部分
7．已知，，則
A．B．C．D．
8．方程所有正根的和為
A．810πB．1008πC．1080πD．1800π
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9．已知復數(shù)，是關于x的方程（，）的兩根，則下列說法中正確的是
A．B．
C．D．若，則
10．四棱錐的底面為正方形，PA與底面垂直，，，動點M在線段PC上，則
A．不存在點M，使得
B．的最小值為
C．四棱錐的外接球表面積為5π
D．點M到直線AB的距離的最小值為
11．設a為常數(shù)，，，則
A．
B．成立
C．
D．滿足條件的不止一個
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．的展開式中的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）
13．如圖，圓錐底面半徑為，母線，點B為PA的中點，一只螞蟻從A點出發(fā)，沿圓錐側面繞行一周，到達B點，其最短路線長度為________，其中下坡路段長為________．
14．設嚴格遞增的整數(shù)數(shù)列，，…，滿足，．設f為，，…，這19個數(shù)中被3整除的項的個數(shù)，則f的最大值為________，使得f取到最大值的數(shù)列的個數(shù)為________．
四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
15．（13分）已知拋物線C：的焦點為，過點F的直線l與C交于A，B兩點，過A，B作C的切線，，交于點M，且，與x軸分別交于點D，E．
（1）求證：；
（2）設點P是C上異于A，B的一點，P到直線，，l的距離分別為，，d，求的最小值．
16．（15分）如圖，在棱長為2的正方體中，點M是正方體的中心，將四棱錐繞直線CG逆時針旋轉后，得到四棱錐．
（1）若，求證：平面平面；
（2）是否存在，使得直線平面MBC，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
17．（15分）已知函數(shù)（其中a，b為常數(shù)且）在處取得極值．
（1）當時，求的極大值點和極小值點；
（2）若在上的最大值為1，求a的值．
18．（17分）物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應用非常廣泛．其定義是：對于函數(shù)，若滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．已知，如圖，在橫坐標為的點處作的切線，切線與x軸交點的橫坐標為，用代替重復上述過程得到，一直下去，得到數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列的前n項和為，且對任意的，滿足，求整數(shù)的最小值．（參考數(shù)據(jù)：，，，）
19．（17分）若函數(shù)滿足且，則稱函數(shù)為“M函數(shù)”．
（1）試判斷是否為M函數(shù)”，并說明理由；
（2）函數(shù)為“M函數(shù)”，且當時，，求的解析式，并寫出在上的單調(diào)增區(qū)間；
（3）在（2）條件下，當，關于x的方程（a為常數(shù)）有解，記該方程所有解的和為S，求S．
雅禮中學2024屆高三綜合自主測試（一）
數(shù)學參考答案
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）
1、C【解析】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，4，m，12，16，17，
則極差為，故該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，數(shù)據(jù)共6個，
故中位數(shù)為，解得，因為，
所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第3個數(shù)6，故選：C．
2、A【解析】因為圓心在y軸上，所以可設所求圓的圓心坐標為，
則圓的方程為，又點在圓上，所以，解得，所以所求圓的方程為．故選：A．
3、D【解析】YW是等差數(shù)列，SY，，
所以，SY公差，SY，
SY，故選：D．
4、A【解析】若，，則，
而，，所以，
所以事件A，B相互獨立，反過來，當，，
此時，，滿足，
事件A，B相互獨立，所以不一定，
所以甲是乙的充分不必要條件．故選：A
5、D【解析】依題意，由，，得，即，
則有，解得，，
所以3dB帶寬為．故選：D
6、A【解析】因為函數(shù)的圖象恰為橢圓C：x軸上方的部分，
所以，因為，，成等比數(shù)列，
所以有，且有，，成立，
即，成立，
由，
化簡得：，或，
當時，即，因為，
所以平面上點的軌跡是線段（不包含端點）；
當時，即，
因為，所以，而，
所以不成立，故選：A
7、A【解析】．
，，
，，，
又因為，所以，
則，，所以
．
．故選：A
8、C【解析】，
令，，則，即，
所以，或，，
當，時，即，，
所以，，，，
因為，所以，，，，
當，時，即，，
則，，，，
因為是奇數(shù)，所以也是奇數(shù)，不成立；
所以方程所有正根的和為：，故選：C
二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分）
9、ACD【解析】，SY，
不妨設，，，A正確；
，C正確
，SY，時，，B錯；
時，，，計算得，
，，同理，D正確．
故選：ACD．
10、BD【解析】對于A：連接BD，且，如圖所示，當M在PC中點時，
因為點O為AC的中點，所以，因為平面ABCD，
所以平面ABCD，又因為平面ABCD，所以，
因為ABCD為正方形，所以．
又因為，且BD，平面BDM，所以平面BDM，
因為平面BDM，所以，所以A錯誤；
對于B：將和所在的平面沿著PC展開在一個平面上，如圖所示，
則的最小值為BD，直角斜邊PC上高為，即，
直角斜邊PC上高也為，所以的最小值為，所以B正確；
對于C：易知四棱錐的外接球直徑為PC，
半徑，表面積，所以C錯誤；
對于D：點M到直線AB的距離的最小值即為異面直線PC與AB的距離，
因為，且平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，
所以直線AB到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離，過點A作，
因為平面ABCD，所以，又，且，
故平面PAD，平面PAD，所以，因為，
且PD，平面PCD，所以平面PCD，所以點A到平面PCD的距離，
即為AF的長，如圖所示，
在中，，，可得，
所以由等面積得，即直線AB到平面PCD的距離等于，所以D正確，
故選：BCD．
11、ABC【解析】，
對A：對原式令，則，
即，故A正確；
對B：對原式令，
則，
故，
對原式令，
則，故非負；
對原式令，則，解得，
又非負，故可得，故B正確；
對C：由B分析可得：，故C正確；
對D：由B分析可得：滿足條件的只有一個，故D錯誤．
故選：ABC．
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12、－40
【解析】的通項公式為，
令得，，此時，
令得，，此時，
故的系數(shù)為
故答案為：－40
13、①．②．
【解析】如圖，將圓錐側面沿母線PA剪開并展開成扇形，
易知該扇形半徑為2，弧長為，故圓心角，
最短路線即為扇形中的直線段AB由余弦定理易知，
過P作AB的垂線，垂足為M，
當螞蟻從A點爬行到M點的過程中，它與點P的距離越來越小，故AM為上坡路段，
當螞蟻從M點爬行到B點的過程中，它與點P的距離越來越大，故MB為下坡路段，
下坡路段長．
故答案為：，．
14、①．18②．25270
【解析】第一個空，設某個數(shù)除以a余數(shù)為b，則稱該數(shù)模a余b（a，b均為整數(shù)，且），
為了讓盡可能多的相鄰兩數(shù)之和被3整除，則要盡量多地出現(xiàn)相鄰兩數(shù)一個模3余1，一個模3余2這樣的組合，這樣它們之和才會被3整除．
而，均為模3余1，則不可能有19組上述組別，最多出現(xiàn)18組上述組別，例如嚴格遞增數(shù)列1，2，4，5，7，8，10，11，13，14，16，17，19，20，22，23，25，26，28，40，滿足題意，所以f的最大值為18．
第二個空，因為1-40這40個數(shù)中，共有27個數(shù)符合模3余1或模3余2，則要從這27個數(shù)中選出滿足要求的20個數(shù)．
第一步，在到這20個數(shù)中刪去一個數(shù)（后面再加回來），使得剩下的19個數(shù)滿足任意兩個相鄰數(shù)一個模3余1，一個模3余2，這樣就形成了18組，即使得f的最大值為18．
第二步，將這27個數(shù)從小到大排列，需要刪去8個數(shù)得到目標19個數(shù)的數(shù)列．它們中任意相鄰兩數(shù)一個模3余1，一個模3余2，因此，需要刪去的8個數(shù)應該為4組相鄰的數(shù)．
第三步，利用捆綁思想，從27個數(shù)中刪去4組相鄰的數(shù)等價于從23個數(shù)中刪去4個數(shù)．有二種情況：
①兩端均刪去，這種情況不滿足要求．因為若兩端均刪去，那么1和40必定被刪去，在下一步加出來時也最多加回1或40中的一個，而1和40必定在數(shù)列中，因此不滿足．
②兩端均不刪去，從中間21個數(shù)中選4個數(shù)刪去，有種，再從刪去的8個數(shù)中拿一個加回原來的19個數(shù)中，由種，共有種．
③兩端中有一個被刪去，其余3個數(shù)從中間21個數(shù)里選，有種，此時加回來的數(shù)必定是刪去的兩端之一中的1或40，有1種選法，共種．
第四步，刪去的四組相鄰數(shù)中有一組中有一個數(shù)被加回來，即未被刪去，被刪去的是這一組中的另一個數(shù)，而對于刪去的數(shù)，假設為A，它旁邊兩個數(shù)分別為B，C，即排列為B，A，C，在第三步捆綁時，可能捆綁的組合為BA，然后刪去，再補回B；或者為AC，然后刪去，再補回C，這兩種刪去方式結果相同．
綜上，共有種．
故答案為：18；25270
四、解答題（本題共6小題，共70分）
15、（1）因為拋物線C的焦點為，
所以，即C的方程為：，如下圖所示：
設點，，
由題意可知直線l的斜率一定存在，設l：，
聯(lián)立得，
所以，．
由，得，，
所以：，即．
令，得，即，
同理：，且，
所以．
由，得，即．
所以．
故．
（2）設點，結合（1）知：，即：
因為，，
所以．
同理可得，
所以．
又
所以．
當且僅當時，等號成立；
即直線l斜率為0時，取最小值．
16、（1）證明：若，則平面DCGH、平面為同一個平面．
連接BH、，則M是BH中點，是中點，
所以平面MBF與平面BFHD重合，平面與平面重合，由正方體性質(zhì)可知平面，
因為HF、平面，所以，，，
為二面角的平面角，
因為，，則，同理可得-，
所以，所以，平面平面
（2）解：假設存在，使得直線平面MBC，
以C為原點，分別以、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、，故、，
設平面MBC的法向量為，則，
取，得是平面MBC的一個法向量，
取CG的中點P，BF的中點Q，連接PQ、PM，則，
因為，則，同理可知，，
因為，，，則四邊形BCPQ為矩形，所以，，
于是是二面角的平面角，
是二面角的平面角，
是二面角的平面角．于是，
因為，，
因為，則，所以，
因為，，，PM、平面，
所以，平面，且，
（（________]（________
故，同理，
所以，
因為，
，
所以，
若直線平面MBC，是平面MBC的一個法向量，則，
即存在，使得，則，
因為，可得，
故方程組無解，
所以不存在，使得直線平面MBC．
17、（1）YW
SY．
YW函數(shù)在處取得極值，
SY
SY當時，，則
、隨x的變化情況如下表：
SY的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為
SY的極大值點為，的極小值點為1．
（2）YW
令得，，
YW在處取得極值
SY—本x=1
法一：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
SY在區(qū)間上的最大值為，則，即
SY
法二：當時，
①當時，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
SY的最大值1可能在或處取得，
而SY
SY
②當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增
SY的最大值1可能在或處取得，而
SY，即，與
③當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
SY的最大值1可能在處取得，而，矛盾．
綜上所述，或．
18、（1）YW，
SY在點處的切線方程為：
令，得，
所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，
故
（2）令
法一：錯位相減法
，，
兩式相減得：
化簡得：
故化簡得
令，
則，
當時，，即，
當時，，即，
所以
從而整數(shù)；
法二：裂項相消法
由，
設且，
則，
于是，得，
即
所以
故，化簡得
令，
則時，，
當時，，即，
當時，，即，
所以
從而整數(shù)
19、（1）不是“M函數(shù)”，理由如下：
，
，，
則，
故不是“M函數(shù)”；
（2）函數(shù)滿足，故的周期為，
因為，
所以，
當時，，，
當時，，
，
綜上：，，中，
當時，，，此時單調(diào)遞增區(qū)間為，
，，中，
當時，，，
則，
當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，
經(jīng)檢驗，其他范圍不是單調(diào)遞增區(qū)間，
所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
（3）由（2）知：函數(shù)在上圖象為：
當或1時，有4個解，由對稱性可知：其和為，
當時，有6個解，由對稱性可知：其和為，
當時，有8個解，其和為，
所以．x
1
＋
0
－
0
＋
極大值
極小值

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