一、知識(shí)點(diǎn)梳理
1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象
描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線，具體為：
(1)①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊點(diǎn)：如零點(diǎn)、最值點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)．(3)描點(diǎn)、連線．
2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象
(1)平移變換
提醒：“左加右減”只針對(duì)x本身，與x的系數(shù)無(wú)關(guān)，“上加下減”指的是在f (x)整體上加減．
(2)對(duì)稱(chēng)變換
①y＝f (x)的圖象eq \(―――――――→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)))y＝－f (x)的圖象；
②y＝f (x)的圖象eq \(――――――――→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)))y＝f (－x)的圖象；
③y＝f (x)的圖象eq \(―――――――――→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)))y＝－f (－x)的圖象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的圖象eq \(――――――――――→,\s\up7(關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)))y＝lgax(a＞0且a≠1)的圖象．
(3)伸縮變換
①y＝f (x)的圖象
eq \(―――――――――――――――――――――――→,\s\up27(a＞1，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的\f(1,a)，縱坐標(biāo)不變,0＜a＜1，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的\f(1,a)倍，縱坐標(biāo)不變)) y＝f (ax)的圖象；
②y＝f (x)的圖象
eq \(――――――――――――――――――――――――――――――→,\s\up10(a＞1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的a倍，橫坐標(biāo)不變),\s\d10(0＜a＜1，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的a倍，橫坐標(biāo)不變))y＝af (x)的圖象．
(4)翻轉(zhuǎn)變換
①y＝f (x)的圖象eq \(――――――――――――――――→,\s\up10(x軸下方部分翻折到上方),\s\d10(x軸及上方部分不變))y＝|f (x)|的圖象；
②y＝f (x)的圖象eq \(―――――――――――――――――――→,\s\up10(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\d10(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f (|x|)的圖象．
【常用結(jié)論】
1．函數(shù)圖象自身的軸對(duì)稱(chēng)
(1)f (－x)＝f (x)?函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
(2)函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于x＝a對(duì)稱(chēng)?f (a＋x)＝f (a－x)?f (x)＝f (2a－x)?f (－x)＝f (2a＋x)；
(3)若函數(shù)y＝f (x)的定義域?yàn)镽，且有f (a＋x)＝f (b－x)，則函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(a＋b,2)對(duì)稱(chēng)．
2．函數(shù)圖象自身的中心對(duì)稱(chēng)
(1)f (－x)＝－f (x)?函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
(2)函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于(a，0)對(duì)稱(chēng)?f (a＋x)＝－f (a－x)?f (x)＝－f (2a－x)?f (－x)＝－f (2a＋x)；
(3)函數(shù)y＝f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)成中心對(duì)稱(chēng)?f (a＋x)＝2b－f (a－x)?f (x)＝2b－f (2a－x)．
3．兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系
(1)函數(shù)y＝f (a＋x)與y＝f (b－x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(b－a,2)對(duì)稱(chēng)(由a＋x＝b－x得對(duì)稱(chēng)軸方程)；
(2)函數(shù)y＝f (x)與y＝f (2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng)；
(3)函數(shù)y＝f (x)與y＝2b－f (－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，b)對(duì)稱(chēng)；
(4)函數(shù)y＝f (x)與y＝2b－f (2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱(chēng)．
二、題型分類(lèi)精講
刷真題 明導(dǎo)向
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】設(shè)，則，故排除B;
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
所以，故排除C;
設(shè)，則，故排除D.
故選：A.
2．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.
【詳解】對(duì)于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；
對(duì)于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；
對(duì)于C，，則，
當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C.
故選：D.
3．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，結(jié)合已知，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)不同交點(diǎn)，分三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.
【詳解】注意到，所以要使恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程恰有3個(gè)實(shí)根
即可，
令，即與的圖象有個(gè)不同交點(diǎn).
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，此時(shí)，如圖1，與有個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，如圖2，此時(shí)與恒有個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，如圖3，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立方程得，
令得，解得（負(fù)值舍去），所以.
綜上，的取值范圍為.
故選：D.

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.
題型一 作函數(shù)的圖像
策略方法 作函數(shù)圖象的兩種常用方法
【典例1】已知.
（1）畫(huà)函數(shù)的圖象；
（2）若直線與的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.
【答案】（1）圖象見(jiàn)解析；（2）；4.
【分析】（1）由題得函數(shù)，再畫(huà)圖；
（2）利用數(shù)形結(jié)合分析得的取值范圍，再利用對(duì)稱(chēng)性求出所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.
【詳解】
（1）由題得函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示.
（2）當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)橹本€與的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以.
設(shè)四個(gè)交點(diǎn)依次為,
所以
所以所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為4.
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的畫(huà)法，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
【題型訓(xùn)練】
一、解答題
1．（1）畫(huà)函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出單調(diào)增區(qū)間；
（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.
【答案】（1）圖象見(jiàn)解析，增區(qū)間為，；（2）或.
【解析】（1）利用函數(shù)圖象的翻折變換可得的圖象，根據(jù)圖象可得其增區(qū)間.
（2）考慮直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即可得到a的取值范圍.
【詳解】（1）的圖象如圖所示：
由圖象可知：函數(shù)的增區(qū)間為，.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
故或.
2．畫(huà)函數(shù)圖象：．
【答案】答案見(jiàn)解析.
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，先利用描點(diǎn)法作出上函數(shù)的圖象，再利用對(duì)稱(chēng)關(guān)系作出的圖象.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
的對(duì)應(yīng)值表如下
描點(diǎn)后用平滑曲線連接可得上函數(shù)的圖象，再將其關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)畫(huà)出上的圖象，從而可得函數(shù)的圖象，如下圖
3．畫(huà)函數(shù)圖象
【答案】見(jiàn)解析.
【分析】利用圖象變換法作出函數(shù)圖象.
【詳解】由題可知＝,
當(dāng)時(shí)， ，其圖象可由的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位而得如圖()．
又因?yàn)椋?br> 所以為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
∴ 的圖象如圖()．
題型二 函數(shù)圖像的辨識(shí)
策略方法 辨析函數(shù)圖象的入手點(diǎn)
(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．
(2)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性．
(3)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．
(4)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．
(5)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．
【典例1】如圖，函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)的奇偶性及值域分析即可.
【詳解】由題意，
即為奇函數(shù)，可排除C項(xiàng)，
而當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，
且時(shí)，，可排除B、D選項(xiàng)，
故選：A
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)縣2023屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的部分圖像大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及時(shí)的函數(shù)值為正值，利用排除法即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，又函?shù)的定義域?yàn)?，故為奇函?shù)，排除AC；
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故，則，排除D.
故選：B
2．（海南省2023屆高三學(xué)業(yè)水平診斷（三）數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的大致圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性證明函數(shù)為偶函數(shù)；分別求出，利用排除法，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
，
則函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故排除C；
又，故排除AB，D符合題意.
故選：D.
3．（陜西省咸陽(yáng)市2023屆高三三模文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則它的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)圖象，利用函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】由圖象可知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽.
A：，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以A不符題意；
B：，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以B不符題意；
C：當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞增，在上遞減，所以是函數(shù)的極大值，
結(jié)合圖形，不是極大值，故C不符題意；
D：當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞增，在上遞減，結(jié)合圖形，D符合題意；
故選：D．
4．（山東省煙臺(tái)市2023屆高考適應(yīng)性練習(xí)（一）數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，再用賦值法，排除ABD，即可.
【詳解】由，
得，
所以為偶函數(shù)，故排除BD.
當(dāng)時(shí)，，排除A.
故選：C.
5．（2023年全國(guó)卷（老教材）文科數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷）函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由選項(xiàng)圖形特點(diǎn)，先判斷函數(shù)的奇偶性，然后再根據(jù)和兩個(gè)區(qū)間上函數(shù)值的正負(fù)即可判斷出函數(shù)圖象.
【詳解】因?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，故排除A，B．
當(dāng)時(shí)，，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，，，所以．故排除D．
故選：C．
6．（湘豫名校聯(lián)考2023屆高三5月三模文科數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后再代入特殊值計(jì)算即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋字亩x域?yàn)?
因?yàn)?，所以為奇函?shù)，
圖象關(guān)的原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).排除A，D選項(xiàng)；
又，，所以排除C選項(xiàng).
故選：B.
7．（2023年高三數(shù)學(xué)（理）押題卷四）函數(shù)的大致圖像為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合函數(shù)的定義域，零點(diǎn)，時(shí)函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行判斷.
【詳解】由知，，排除C選項(xiàng)；
函數(shù)沒(méi)有定義，排除B；
時(shí)，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，
又弧度是第二象限角，故，于是時(shí)，，排除D.
故選：A.
8．（重慶市2023屆普高三模擬調(diào)研（三）數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得的定義域并化簡(jiǎn)其解析式，再利用函數(shù)奇偶性排除選項(xiàng)CD，最后利用特值法排除選項(xiàng)B，進(jìn)而得到正確選項(xiàng)A.
【詳解】由，可得，則定義域?yàn)椋?br>則，
，
則為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，排除選項(xiàng)CD；
又，則排除選項(xiàng)B，正確選項(xiàng)為A.
故選：A
9．（安徽省蕪湖市2023屆高三下學(xué)期5月教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題）函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的奇偶性，發(fā)現(xiàn)是奇函數(shù)，排除C、D；觀察A、B兩項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)圖像在處的增減趨勢(shì)不同，所以對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再把特殊值代入導(dǎo)函數(shù)中判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所以是奇函?shù)，排除C、D兩項(xiàng)；
當(dāng)時(shí)，，則，
所以，
所以在處的切線斜率為負(fù)數(shù)，故排除A項(xiàng)；
故選：B.
10．（河北省2023屆高三模擬（一）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由圖象得故排除AC選項(xiàng)；對(duì)D選項(xiàng)根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)排除；分析B項(xiàng)滿足.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，，有兩個(gè)不等的實(shí)根，故有兩個(gè)極值點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
對(duì)于B選項(xiàng)，，；
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，
依次類(lèi)推可知函數(shù)值有正有負(fù)；
顯然不單調(diào)；
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以有多個(gè)零點(diǎn)；
因?yàn)?，所以，所以既不是奇函?shù)也不是偶函數(shù)，以上均符合，故B正確.
故選：B．
11．（2023年高考數(shù)學(xué)（理）終極押題卷）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)奇偶性，可排除AC，由，可排除B，從而可選出答案.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
且，
故函數(shù)為上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可排除AC；
，因?yàn)?，所以，可排除B，
只有D選項(xiàng)符合以上信息.
故選：D.
題型三 函數(shù)圖像的應(yīng)用
策略方法 1.利用函數(shù)圖象研究不等式
當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法直接求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，可將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象(圖象易得)的上、下關(guān)系問(wèn)題，利用圖象法求解．若函數(shù)為抽象函數(shù)，可根據(jù)題目畫(huà)出大致圖象，再結(jié)合圖象求解．
2.利用函數(shù)圖象研究方程根的個(gè)數(shù)
當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以通過(guò)函數(shù)圖象研究方程的根，方程f (x)＝0的根就是f (x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f (x)＝g(x)的根是函數(shù)y＝f (x)與函數(shù)y＝g(x)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【典例1】定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.若對(duì)，都有，則的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】根據(jù)已知可得出函數(shù)在區(qū)間以及區(qū)間上的對(duì)稱(chēng)性，進(jìn)而可作出函數(shù)的圖象.根據(jù)圖象設(shè)，以及.進(jìn)而根據(jù)已知條件，推出函數(shù)在內(nèi)的解析式，進(jìn)而求解即可得出的值，進(jìn)而得出的取值范圍.
【詳解】由當(dāng)時(shí)，，可得的圖象在該區(qū)間內(nèi)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；
由當(dāng)時(shí)，，可得的圖象在該區(qū)間內(nèi)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
結(jié)合已知條件，作出函數(shù)的部分圖象如下圖
由圖象可設(shè)，且時(shí)，都有，且.
設(shè)，則，.
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，.
當(dāng)時(shí)，，所以.
又函數(shù)滿足，
所以，，
所以，.
令，解得，即.
所以，.
故答案為：
【典例2】對(duì)任意，恒有，對(duì)任意，現(xiàn)已知函數(shù)的圖像與有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】由，得，由已知條件可得函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)性和周期性，可作出函數(shù)的圖像，由題意的圖像函數(shù)在上的圖像相切，聯(lián)立方程組利用判別式求解.
【詳解】，，，
令，則有，
任意，恒有，則函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，
在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)與的圖像，如圖所示，
函數(shù)的圖像與有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，由圖像可知，的圖像函數(shù)在上的圖像相切，
由，消去得，則，解得.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（陜西省榆林市神木中學(xué)2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試題）已知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在軸下方，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依題意對(duì)任意恒成立，轉(zhuǎn)化為 恒成立，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒在軸下方，
所以對(duì)任意恒成立，
又時(shí)，可得對(duì)任意恒成立，
即恒成立，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象，如圖所示：
由圖象知，只需，
解得，又，所以，
故選：A
2．（重慶市第八中學(xué)2023屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考（四）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．[0，1]
【答案】D
【分析】轉(zhuǎn)化為的圖象在圖象的上方，畫(huà)出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到，再求出在的切線的斜率，得到，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】在上恒成立在上恒成立的圖象在圖象的上方，
其中，
畫(huà)出與y=ax的圖象，如下：
要想在上恒成立，則；
令，則，，
若為在的切線，則，
故要想在恒成立，則，
綜上：.
故選：D
3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)所給方程，求出,，根據(jù)關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根，借助于圖像可知的取值范圍.
【詳解】，
，
，
或.
作出函數(shù)的圖像如圖所示，
由圖知的圖像與有兩個(gè)交點(diǎn)，
若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根，則的圖像與有三個(gè)公共點(diǎn)，所以的取值范圍.
故選：D.
4．（江西省贛州市2023屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題）定義在上的偶函數(shù)滿足，且，關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且只有個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且該函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，根據(jù)題意可知不等式在上有且只有個(gè)整數(shù)解，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可得解.
【詳解】因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)滿足，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
則，即函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為，
令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則，即函數(shù)為偶函數(shù)，
因?yàn)?，則，即滿足，
又因?yàn)椴坏仁接袀€(gè)整數(shù)解，
所以，不等式在上有且只有個(gè)整數(shù)解，如下圖所示：
所以，，即，解得.
故選：A.
5．（2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)押題卷（三））已知函數(shù)，若不等式有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有3個(gè)整數(shù)解．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并畫(huà)出草圖，結(jié)合圖形列出關(guān)于a的不等式組，解之即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由，得，則不等式有3個(gè)整數(shù)解．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
易知的圖象恒過(guò)點(diǎn)，
在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出與函數(shù)的圖象，如圖所示．
由圖象可知，
要使不等式有3個(gè)整數(shù)解，
則，解得，故選：A．
6．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上恰有3對(duì)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程：有三個(gè)大于0的根，
即等價(jià)于與在上有三個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，
顯然，當(dāng)時(shí)，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，
只需滿足且方程：有兩根，
則有，
令，函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，要使函數(shù)兩零點(diǎn)均大于，則有，解得，滿足兩根均大于，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：C.
7．（2023·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知，函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個(gè)解，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】數(shù)形結(jié)合法，令，可得方程的解有3個(gè)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程各有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用判別式求解的范圍.
【詳解】令，則方程的解有3個(gè)，
由圖象可得，，且三個(gè)解分別為，
則，，，
均有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
則，且，且，
即且，解得，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，所以，且?br>所以，即恒成立，
故的取值范圍為.
故選:B.
8．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）函數(shù)，關(guān)于的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】把函數(shù)有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為以和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出圖象求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
所以和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
作出函數(shù)的圖象如圖所示：
當(dāng)時(shí)，，，，
要使函數(shù)和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，
當(dāng)，，，，
當(dāng)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)與曲線的切點(diǎn)為，
，可得：，所以，
所以切線斜率為，要使函數(shù)和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖可得,
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
綜上：.
故選：A.
9．（2023·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有三個(gè)互不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)圖象，考慮臨界點(diǎn)即可求解.
【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，直線恒過(guò)點(diǎn)，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，解得，此時(shí)直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，故關(guān)于的方程有兩個(gè)互不相等的實(shí)根；
將代入得，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則，解得或，
當(dāng)時(shí)，解得，不滿足，則應(yīng)舍去，即，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
故選：.
10．（山東省青島市即墨區(qū)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件分段求解析式及對(duì)應(yīng)函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結(jié)合即得.
【詳解】因，又當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，，時(shí)，，
則，
，
當(dāng)，，時(shí)，，
則，
，
作出函數(shù)的大致圖象，
對(duì)任意，都有，
設(shè)的最大值為，
則，且
所以，解得
所以m的最大值為.
故選：A.
11．（2023春·天津和平·高三天津一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，的定義域?yàn)椋?，若，且，則關(guān)于x的方程有兩解時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由題知，根據(jù)題意得到：恒成立且有兩解，分別討論和時(shí)的情況，根據(jù)圖象即可得到的取值范圍.
【詳解】由題意知：，
則對(duì)任意的恒成立，
又有兩解，
則恒成立且有兩解.
，
當(dāng)時(shí)，如圖所示：
只需，解得，
當(dāng)時(shí)，如圖所示：
只需且或者即可，解得，
綜上所述：.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想，數(shù)形結(jié)合為解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程有且僅有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】確定函數(shù)的大致圖象，令，則關(guān)于的方程即可寫(xiě)成，結(jié)合圖象分析二次方程的根的取值范圍使其滿足方程有6個(gè)不同的根，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意可知，函數(shù)的圖象如圖所示：
根據(jù)函數(shù)圖像，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；且時(shí)取最大值2，在時(shí)取最小值0，是該圖像的漸近線.
令，則關(guān)于的方程即可寫(xiě)成，
此時(shí)關(guān)于的方程應(yīng)該有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
設(shè)，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，顯然，有以下兩種情況符合題意：
①當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，則；
②當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，則；
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.
二、填空題
13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知四個(gè)函數(shù)：（1），（2），（3），（4），從中任選個(gè)，則事件“所選個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為_(kāi)__________.
【答案】
【詳解】
如圖所示，與，與，與，與均有多個(gè)公共點(diǎn)，
令，則，∴在上單調(diào)遞增，
又∵，∴有唯一零點(diǎn)，
∴與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；
令，則，∴在上單調(diào)遞增，
又∵，
∴存在，使，且是的唯一零點(diǎn)，
∴與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).∴從四個(gè)函數(shù)中任選個(gè)，共有種可能，
“所選個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的有與和與共種可能，∴“所選個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為.故答案為：.
14．（上海市2023屆高三上學(xué)期二模暨秋考模擬數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，則不等式的解集是___________．
【答案】
【分析】由得，作出和的圖像，結(jié)合圖像求得不等式的解集．
【詳解】因?yàn)椋缘葍r(jià)于，
在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖像如圖：
兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
由圖可知：當(dāng)或時(shí)，成立，
所以不等式的解集為：．故答案為：．
15．（河南省許濟(jì)洛平2022-2023學(xué)年高三第三次質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題）定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則t的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】由，根據(jù)，可得依此類(lèi)推，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可求解．
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)椋?dāng)時(shí)，即時(shí)，
由，所以，
同理可得
依此類(lèi)推，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
由圖象知：當(dāng)時(shí)，令，則，
對(duì)任意，都有，則
故的取值范圍為，故答案為：
16．（2022秋·遼寧本溪·高三本溪高中?？计谥校┮阎瘮?shù)，若互不相等，且，則的取值范圍為_(kāi)_________________.
【答案】
【分析】首先畫(huà)出函數(shù)的圖像，不妨設(shè)，根據(jù)可知，根據(jù)可知，所以，利用的單調(diào)性可求得的取值范圍.
【詳解】作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：
由題意，若，，互不相等，且，可知不妨設(shè)，
則，，得，
所以，即，同理，即，，
所以，
又，，，所以，令函數(shù)（），
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)可得g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
從而.
所以的取值范圍為.
故答案為：.
17．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程恰好有四個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___．
【答案】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)分段作出函數(shù)的圖象，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可得解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，的圖象向右平移2個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到的圖象，也即在區(qū)間上的圖象，以此類(lèi)推，則在區(qū)間上的圖象如圖所示，
設(shè)，若方程恰好有四個(gè)實(shí)根，
則函數(shù)與的圖象有且只有四個(gè)公共點(diǎn)，
由圖得，，
則，
則，
所以與的圖象有且只有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，
故答案為：
18．（2023屆高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（一）全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，若不等式的解集中恰有兩個(gè)非負(fù)整數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_____________．
【答案】
【分析】由題可得，構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題等價(jià)于的圖象在的圖象上方所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍中恰好有兩個(gè)非負(fù)整數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，然后利用數(shù)形結(jié)合即得.
【詳解】因?yàn)榈葍r(jià)于，即，
設(shè)，則上面不等式轉(zhuǎn)化為，
因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，要使的解集中恰有兩個(gè)非負(fù)整數(shù)，
只需的圖象在的圖象上方所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍中恰好有兩個(gè)非負(fù)整數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，且，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
作出函數(shù)與直線的圖象：
從圖象可得，要使的圖象在的圖象上方所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍中恰好有兩個(gè)非負(fù)整數(shù)解，只需滿足：
，即，
解得，
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為．
故答案為：．
19．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）已知直線和曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在實(shí)數(shù)和，使直線和曲線沒(méi)有交點(diǎn)；
②存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線和曲線恰有個(gè)交點(diǎn)；
③存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線和曲線不會(huì)恰有個(gè)交點(diǎn)；
④對(duì)任意實(shí)數(shù)和，直線和曲線不會(huì)恰有個(gè)交點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____．
【答案】① ② ③
【分析】根據(jù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，求導(dǎo)得切線斜率的最大值，由數(shù)形結(jié)合，結(jié)合選項(xiàng)即可判斷.
【詳解】對(duì)于①,由于為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且，
當(dāng)或時(shí)，此時(shí)直線和曲線沒(méi)有交點(diǎn)；（如下圖）故正確 ①，
對(duì)于②，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，
故當(dāng) 單調(diào)遞減，當(dāng) 單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，此時(shí) 取極大值也是最大值，
故某一點(diǎn)處的切線的斜率最大值為，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線和曲線恰有個(gè)交點(diǎn)；故②正確，
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的 直線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線與只有一個(gè)零點(diǎn)，故③正確，
對(duì)于④，當(dāng)直線與曲線上某一點(diǎn)處的切線平行時(shí)（斜率小于），且在切點(diǎn)之上的位置時(shí)，此時(shí)直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)，故④錯(cuò)誤.
故答案為：① ② ③①作函數(shù)的圖像
②函數(shù)圖像的辨識(shí)
③函數(shù)圖像的應(yīng)用
0
1
2
3
…
2
…

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