1.函數(shù)的單調(diào)性
（1）單調(diào)函數(shù)的定義
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間：
如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．
如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意兩個自變量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．
（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．
（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).
2．函數(shù)的奇偶性
函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點
判斷與的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．
注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點對稱)．
3．函數(shù)的對稱性
(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱．
(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點對稱．
(3)若，則函數(shù)關(guān)于對稱．
(4)若，則函數(shù)關(guān)于點對稱．
4.函數(shù)的周期性
（1）周期函數(shù)：
對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個函數(shù)的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做的最小正周期.
【方法技巧與總結(jié)】
1.單調(diào)性技巧
（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；
②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；
③定號：判斷差的正負或商與的大小關(guān)系；
④得出結(jié)論．
（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法
①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．
（3）記住幾條常用的結(jié)論：
①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；
②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；
③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；
④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．
2.奇偶性技巧
(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.
(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.
函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；
函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱.
(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；
偶函數(shù)必滿足.
(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.
(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記，，則.
(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數(shù)，如.
對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.
(8)常見奇偶性函數(shù)模型
奇函數(shù)： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函數(shù)或函數(shù)．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函數(shù)或函數(shù)
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函數(shù)或函數(shù)．
注意：關(guān)于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．
偶函數(shù)： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函數(shù)．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函數(shù)類型的一切函數(shù)．
④常數(shù)函數(shù)
3.周期性技巧
4.函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系
（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.
5.對稱性技巧
（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．
（2）若函數(shù)關(guān)于點對稱，則．
（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點對稱．
【題型歸納目錄】
題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用
題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷
題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值
題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍
題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性
題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明
題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值
題型九：已知奇函數(shù)+M
題型十：函數(shù)的對稱性與周期性
題型十一：類周期函數(shù)
題型十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性
題型十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合
【典例例題】
題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用
例1．（2022·全國·高三專題練習）若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（ ）
A．f(x)在R上是增函數(shù)B．f(x)在R上是減函數(shù)
C．函數(shù)f(x)先增后減D．函數(shù)f(x)先減后增
例2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，且對任意兩個不相等的實數(shù)，都有，則不等式的解集為（ ）．
A．B．C．D．
例3．（2022·全國·高三專題練習）的單調(diào)增區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).
（1）判斷在其定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；
（2）解關(guān)于的不等式.
例5．（2022·全國·高三專題練習）討論函數(shù)（）在上的單調(diào)性.
【方法技巧與總結(jié)】
函數(shù)單調(diào)性的判斷方法
①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進行判斷．
②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．
題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷
例6．（2022·全國·高三專題練習（文））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：
1．若，在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；
2．若，在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：
復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減．
題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值
例9．（2022·河南·新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測（理））在人工智能領(lǐng)域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，常用到在定義域I內(nèi)單調(diào)遞增且有界的函數(shù)，即，，．則下列函數(shù)中，所有符合上述條件的序號是______．
①；②；③；④．
例10．（2022·全國·高三專題練習）定義在上的函數(shù)對于任意的，總有，且當時，且．
（1）求的值；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；
（3）求函數(shù)在上的最大值與最小值．
例11．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；
（2）若，求時函數(shù)的值域.
例12．（2022·山西運城·模擬預(yù)測（理））已知，函數(shù)的定義域為I，若存在，使得在上的值域為，我們就說是“類方函數(shù)”.下列四個函數(shù)中是“類方函數(shù)”的是（ ）
①；②；③；④.
A．①②B．②④C．②③D．③④
【方法技巧與總結(jié)】
利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：
1．如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．
2．如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．
3．若函數(shù)在上是嚴格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．
4．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．
5．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．
題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍
例13．（2022·河南濮陽·一模（理））“”是“函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
例14．（2022·全國·江西科技學院附屬中學高三階段練習（理））已知函數(shù)若，，，且僅有1個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例15．（2022·浙江·高三學業(yè)考試）已知函數(shù)在區(qū)間（-∞，1]是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．[1，+∞）B．（-∞，1]C．[-1，+∞）D．（-∞，-1]
例16．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
例17.（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
例18．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預(yù)測）函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的范圍是_______.
例19．（2022·全國·高三專題練習）如果 ，則的取值范圍是___________．
例20．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)滿足，當時，，且.
（1）求的值，并判斷的單調(diào)性；
（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【方法技巧與總結(jié)】
若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．
1.若在上恒成立在上的最大值．
2.若在上恒成立在上的最小值．
題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性
例21．（2022·全國·高三階段練習（文））下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（ ）
A．B．
C．D．
例22．（2022·全國·高三專題練習）下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是
A．B．C．D．
例23．（2022·全國·高三專題練習）已知是奇函數(shù)，且對任意且都成立，設(shè)， ， ，則（ ）
A．B．C．D．
例24．（2022·山東·濟南一中模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若，，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（ ）．
A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
1.比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.
2.求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間(同增異減).
3.利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關(guān)系求參數(shù).同時注意函數(shù)定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點左右端點函數(shù)值的大小關(guān)系.
題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明
例25．（2022·北京通州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)，且在是單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在是單調(diào)遞增
C．是偶函數(shù)，且在是單調(diào)遞減D．是奇函數(shù)，且在是單調(diào)遞減
例26．（2022·安徽·蒙城第一中學高三階段練習（理））下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
例27．（2022·廣東·二模）存在函數(shù)使得對于都有，則函數(shù)可能為（ ）
A．B．C．D．
例28．（2022·全國·高三專題練習）判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）f(x)＝＋；
（2）f(x)＝(x＋1)；
（3）f(x)＝.
（4）f(x)＝
例29．（2022·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②為奇函數(shù)；③，；④任意的，，.
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.
【方法技巧與總結(jié)】
函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性.
題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
例30．（2022·北京海淀·二模）若是奇函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
例31．（2022·河南洛陽·三模（理））若函數(shù)是偶函數(shù)，則（ ）
A．-1B．0C．1D．
例32．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A．1B．2C．D．
例33．（2022·江西·南昌十中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為_________.
例34．（2022·全國·高三階段練習（理））已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______．
例35．（2022·全國·高三階段練習（文））已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______．
例36.（2022·陜西·西安中學模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，則實數(shù)___________.
【方法技巧與總結(jié)】
利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為，建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.
題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值
例37．（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測（理））設(shè)為奇函數(shù)，且時，，則___________.
例38．（2022·重慶一中高三階段練習）已知偶函數(shù)，當時，，則的圖象在點處的切線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
例39．（2022·河北衡水·高三階段練習）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，則在上的最大值為( )
A．1B．8C．D．
例40．（2022·江西·模擬預(yù)測（理））分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則下列說法錯誤的是（ ）
A．B．在上單調(diào)遞減
C．關(guān)于直線對稱D．的最小值為1
例41．（2022·山西呂梁·一模（文））已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，（ ）
A．B．
C．D．
例42．（2022·北京·高三專題練習）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，.
(1)求和的值；
(2)求在上的解析式.
例43．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且其定義域均為.若，求，的解析式.
【方法技巧與總結(jié)】
抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式.
題型九：已知奇函數(shù)+M
例44．（2022·重慶一中高三階段練習）已知（a，b為實數(shù)），，則______．
例45．（2022·河南·西平縣高級中學模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，且，則（ ）
A．2B．3C．－2D．－3
例46．（2022·福建省福州第一中學高二期末）若對，有，函數(shù)在區(qū)間上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（ ）
A．4B．8C．12D．16
例47．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）若函數(shù)的最大值和最小值分別為、，則函數(shù)圖像的對稱中心不可能是_______
A．B．C．D．
例48．（2022·河南·溫縣第一高級中學高三月考（理））若函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為、，則的值為（ ）．
A．B．C．D．
例49．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三月考（理））函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
例50．（2022·廣東潮陽·高一期末）函數(shù)，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是______.
例51．（2022·安徽·合肥市第九中學高三月考（理））已知定義域為R的函數(shù)有最大值和最小值，且最大值和最小值的和為6，則λ-μ=___.
【方法技巧與總結(jié)】
已知奇函數(shù)+M，，則
（1）
（2）
題型十：函數(shù)的對稱性與周期性
例52．（2022·天津三中二模）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若對任意的，且，恒有，則稱函數(shù)具有對稱性，其中點為函數(shù)的對稱中心，研究函數(shù)的對稱中心，求（ ）
A．2022B．4043C．4044D．8086
例53．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．是奇函數(shù)D．的圖象關(guān)于點對稱
例54．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R，且對任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，則（ ）
A．2021B．C．2022D．
例55．（2022·新疆·三模（文））已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當時，，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
例56．（2022·山東·肥城市教學研究中心模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足對任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且 則（ ）
A．B．C．D．
例57．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，且當時，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
例58．（2022·江西鷹潭·二模（文））已知是定義在R上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（ ）
A．B．C．D．6
例59．（2022·江蘇·徐州市第七中學高三階段練習）函數(shù)滿足：對，都有，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．-20B．-16C．-15D．0
例60．（2022·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））定義在R上的函數(shù)滿足以下三個條件：①對于任意的實數(shù)，都有成立；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；③對任意的，，，都有成立.則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
例61．（2022·陜西·榆林市教育科學研究所模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)滿足，且函數(shù)與的圖象的交點為， ，，，則（ ）
A．－4πB．－2πC．2πD．4π
【方法技巧與總結(jié)】
（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.
題型十一：類周期函數(shù)
例62．（2022·天津一中高三月考）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例63．（2022·浙江·杭州高級中學高三期中）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是( )
A．B．C．D．
例64．（2022山西省榆林市高三二模理科數(shù)學試卷）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若當時，函數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例65．（2022·湖北·高三月考）已知函數(shù)，其中，給出以下關(guān)于函數(shù)的結(jié)論：①②當時，函數(shù)值域為③當時方程恰有四個實根④當時，若恒成立，則．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【方法技巧與總結(jié)】
1.類周期函數(shù)
若滿足：或，則橫坐標每增加個單位，則函數(shù)值擴大倍．此函數(shù)稱為周期為的類周期函數(shù)．
類周期函數(shù)圖象倍增函數(shù)圖象
2.倍增函數(shù)
若函數(shù)滿足或，則橫坐標每擴大倍，則函數(shù)值擴大倍．此函數(shù)稱為倍增函數(shù)．
注意當時，構(gòu)成一系列平行的分段函數(shù)，．
題型十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性
例66．（2022·山東聊城·二模）已知為上的奇函數(shù)，，若對，，當時，都有，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
例67．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞增，若，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
例68．（2022·黑龍江大慶·三模（理））已知定義域為R的偶函數(shù)滿足，當時，，則方程在區(qū)間上所有解的和為（ ）
A．8B．7C．6D．5
例69．（2022·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)，滿足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性.
例70．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）定義在(－1，1)上的函數(shù)f(x)滿足①對任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②當x∈(－1，0)時，有f(x)>0．求證：．
【方法技巧與總結(jié)】
抽象函數(shù)的模特函數(shù)通常如下：
(1)若，則(正比例函數(shù))
(2)若，則(指數(shù)函數(shù))
(3)若，則(對數(shù)函數(shù))
(4)若，則(冪函數(shù))
(5)若，則(一次函數(shù))
(6)對于抽象函數(shù)判斷單調(diào)性要結(jié)合題目已知條件，在所給區(qū)間內(nèi)比較大小，有時需要適當變形.
題型十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合
例71．（2022·重慶南開中學模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則關(guān)于t的不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
例72．（2022·安徽·六安市裕安區(qū)新安中學高三開學考試（文））已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增. 若實數(shù)滿足， 則的最小值是（ ）
A．B．1C．D．2
例73．（2022·河南許昌·高三月考（理））已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例74．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學高三月考（文））已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例75．（2022·江蘇·南京市中華中學高三月考）定義在上的函數(shù)滿足，且當時，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
例76．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高一月考（理））設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例77．（2022·湖南·岳陽一中一模）已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例78．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若有解，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例79．（2022·黑龍江·哈師大附中三模（理））已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．[1，+∞)C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）奇偶性與單調(diào)性綜合解題，尤其要重視利用偶函數(shù)（或軸對稱函數(shù)）與單調(diào)性綜合解不等式和比較大小.
（2）奇偶性、單調(diào)性、周期性綜合解題，尤其要注意對稱性與周期性之間的關(guān)系，周期是兩條對稱軸（或?qū)ΨQ中心）之間距離的2倍，是對稱中心與對稱軸之間距離的4倍.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·安徽·蒙城第一中學高三階段練習（理））下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知，，且，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖北·房縣第一中學模擬預(yù)測）已知函數(shù)，不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·浙江浙江·高三階段練習）已知定義在R上的奇函數(shù)在時滿足，且在有解，則實數(shù)m的最大值為（ ）
A．B．2C．D．4
5．（2022·河北·石家莊二中高三開學考試）已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于( )
A．0B．10C．D．
6．（2022·安徽·蒙城第一中學高三階段練習（理））已知為奇函數(shù)，且當時，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且，當時，，則（ ）
A．-11B．-8C．D．
8．（2022·江西·南昌市實驗中學一模（理））對于函數(shù)，若存在，使，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”．若函數(shù)的圖像恰好有2對“隱對稱點”，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．（2022·海南·模擬預(yù)測）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說法正確的是（ ）
A．的定義域為B．的值域為
C．在定義域上單調(diào)遞減D．點是圖象的對稱中心
10．（2022·遼寧·模擬預(yù)測）已知定義在R上的偶函數(shù)的圖像是連續(xù)的，，在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的一個周期為6B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．的圖像關(guān)于直線對稱D．在區(qū)間上共有100個零點
11．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知函數(shù)對任意都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且對任意的，且，都有，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．
C．的圖象關(guān)于點對稱D．
12．（2022·河北秦皇島·二模）已知函數(shù)，，，則（ ）
A．的圖象關(guān)于對稱
B．的圖象沒有對稱中心
C．對任意的，的最大值與最小值之和為
D．若，則實數(shù)的取值范圍是
三、填空題
13．（2022·山東臨沂·二模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則__________．
14．（2022·湖北·房縣第一中學模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上的最小值為1，則的值為________.
15．（2022·廣東佛山·三模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，若，則的取值范圍為________．
16．（2022·陜西寶雞·二模（文））若函數(shù)f（x）同時滿足：（1）對于定義域上的任意x，恒有；（2）對于定義域上的任意，當，恒有，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”，下列①，②，③，④四個函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)”的有___________.（填出函數(shù)序號）
四、解答題
17．（2022·上海市市西中學高三階段練習）設(shè)a∈R，函數(shù)；
(1)求a的值，使得f（x）為奇函數(shù)；
(2)若對任意x∈R成立，求a的取值范圍．
18．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且
(1)確定函數(shù)的解析式；
(2)用定義證明在上是增函數(shù)；
(3)解不等式．
19．（2022·陜西·武功縣普集高級中學高三階段練習（理））設(shè)函數(shù)，是定義域為R的奇函數(shù)
(1)確定的值
(2)若，判斷并證明的單調(diào)性；
(3)若，使得對一切恒成立，求出的范圍.
20．（2022·全國·高三專題練習）定義域均為的奇函數(shù)與偶函數(shù)滿足．
(1)求函數(shù)與的解析式；
(2)證明：；
(3)試用，，，表示與．
21．（2022·全國·高三專題練習）定義在上的函數(shù)，對任意，滿足下列條件：① ②
（1）是否存在一次函數(shù)滿足條件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，說明理由.
（2）證明：為奇函數(shù)；
22．（2022·上海·二模）對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“類函數(shù)”.
(1)已知函數(shù)，試判斷是否為“類函數(shù)”？并說明理由；
(2)設(shè)是定義域上的“類函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍；
(3)若為其定義域上的“類函數(shù)”，求實數(shù)取值范圍.
奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)
關(guān)于軸對稱
奇函數(shù)
如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)
關(guān)于原點對稱
增
增
增
增
減
減
減
增
減
減
減
增

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