新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習導(dǎo)數(shù)重難點突破訓(xùn)練專題14 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

求解步驟：
第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸(或直線)在某區(qū)間上的交點問題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖像；
第三步：結(jié)合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù).
二．利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點的常用方法
(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問題（畫草圖時注意有時候需使用極限）．
(2)利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值的符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)．
三．利用函數(shù)的零點求參數(shù)范圍的方法
(1)分離參數(shù)()后，將原問題轉(zhuǎn)化為的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；
(2)利用函數(shù)零點存在定理構(gòu)建不等式求解；
(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．
專項突破一判斷函數(shù)零點的個數(shù)
一、單選題
1．函數(shù) 所有零點的個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【解析】由題可知，，且，
故函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，且，
當，且時，，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，且，故函數(shù)在區(qū)間上無零點，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，當時，，故函數(shù)在區(qū)間上必存在一點，使得，所以函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，
又函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，又，
所以函數(shù)共有3個零點.故選：C.
2．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）
A．1B．0C．3D．2
【解析】當時，，得，即，成立，
當時，，得，設(shè)，，
，得或（舍），
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以時，函數(shù)取得最大值，，，，
根據(jù)零點存在性定理可知，，存在1個零點，
綜上可知，函數(shù)有2個零點.故選：D
3．函數(shù)的零點個數(shù)為( )
A．0B．1C．2D．3
【解析】，
令，，則，故h(x)在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴存在唯一的，使得，即，即，，
∴當時，，，單調(diào)遞減，
當時，，，單調(diào)遞增，
∴，
∴函數(shù)的零點個數(shù)為1．故選：B．
4．已知，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
【解析】函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得：，
令，，顯然在上單調(diào)遞減，而，，，
則存在，使得，即，當時，，，當時，，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
而，則存在使得，即在上存在唯一零點，又，令，，
則在上單調(diào)遞減，，，
于是得，則存在使得，即在上存在唯一零點，
綜上得：函數(shù)的零點個數(shù)為2.故選：C
5．已知a∈R，則函數(shù)零點的個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．與a有關(guān)
【解析】令，得.
令，，只需看兩個圖像的交點的個數(shù).
所以在R上單調(diào)遞增.當時，；當時，；
所以與有且只有一個交點.故選：A
6．已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，當時，，若，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．0或2
【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
當時，.當時，，
此時，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當時，，
此時，函數(shù)單調(diào)遞增，則.
所以，當時，；
當時，.綜上所述，函數(shù)的零點個數(shù)為0.故選：A.
二、填空題
7．設(shè)函數(shù)滿足，則函數(shù)的零點個數(shù)為______.
【解析】因為①，所以②，①×2-②，
得，即，則，
當，或時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，
所以的極小值為，極大值為，
因為的零點為0或3，所以由，
得或，即或，
因為的極小值為，極大值為，所以方程有3個不同的實數(shù)解，又有2個不同的實數(shù)解，所以的零點個數(shù)為5.
8．已知函數(shù)則函數(shù)零點的個數(shù)為___________
【解析】時，，時，，遞減；
時，，遞增；
則時，取極小值也是最小值；
時，，時，，遞減；
時，，遞增；則時，取極小值也是最小值，
綜上所述，可作出圖象，在作兩條直線，
結(jié)合圖象可知，與有個交點.
三、解答題
9．已知函數(shù).
(1)求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
(2)判斷函數(shù)f（x）的零點的個數(shù)，并說明理由.
【解析】(1)由，
而，所以該函數(shù)在點（0，f（0））處的切線方程為：
；
(2)函數(shù)的定義域為，由（1）可知：，
當時，單調(diào)遞增，
因為，所以函數(shù)在時有唯一零點；
當時，單調(diào)遞增，
因為，所以函數(shù)在時有唯一零點，
所以函數(shù)f（x）有個零點.
10．設(shè)函數(shù).
（1）討論在定義域上的單調(diào)性；
（2）當時，判斷在，上的零點個數(shù)．
【解析】（1）由題意，函數(shù)的定義域為，
可得，
①當時，，則在上是減函數(shù)；
②當時，，
則當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）①當時，函數(shù)，
令，解得，故在上有一個零點；
②當時，因為，則，
即在，上單調(diào)遞減，又，，
所以函數(shù)在上沒有零點．
11．已知函數(shù)，其中．
（1）當時，求的極值；
（2）當時，求的零點個數(shù)．
【解析】（1）當時，，，求導(dǎo)得，，
令，得，當時，；當時，．
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴當時，取得極大值，無極小值；
（2），，當時，∵，∴，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，故只有一個零點0．
12．已知函數(shù),．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當時,判斷的零點個數(shù)．
【解析】(1),故當時,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,當時,令,得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,
綜上,當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)設(shè),則,令,
解得,當時,；當時,；
故最大值為，所以有且只有一個零點.
13．已知
(1)當時，求的單調(diào)性；
(2)討論的零點個數(shù)．
【解析】(1)因為，，
所以，
令，，所以在單增，且，
當時，當時，
所以當時，當時，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
(2)因為
令，易知在上單調(diào)遞增，且，
故的零點轉(zhuǎn)化為即，，
設(shè)，則，當時，無零點；
當時，，故為上的增函數(shù)，
而，，故在上有且只有一個零點；
當時，若，則；，則；
故，
若，則，故在上有且只有一個零點；
若，則，故在上無零點；
若，則，此時，
而，，
設(shè)，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
故此時在上有且只有兩個不同的零點；
綜上：當時，0個零點；當或時，1個零點；時，2個零點；
14．已知函數(shù).
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，討論的零點個數(shù).
【解析】(1)當時，函數(shù)，
可得.
當在區(qū)間上變化時，，f（x）的變化如下表：
所以的單調(diào)增區(qū)間為；的單調(diào)減區(qū)間為.
(2)由題意，函數(shù)，
可得
當時，在上恒成立，
所以時，，所以在上單調(diào)遞增.
又因為，所以f（x）在上有0個零點.
當時，令，可得.
由可知存在唯一的使得，
所以當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
因為，，，
①當，即時，在上有0個零點.
②當，即時，在上有1個零點.
綜上可得，當時，有2個零點；當時，有0個零點.
15．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).
【解析】(1)由題意，得
當時，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增.
當時，由，得，由，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無單調(diào)遞減區(qū)間，
當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
(2)由（1）可知當時，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增.
因為，
所以由零點存在性定理知，函數(shù)在上有1個零點，
當時，若，則，若，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可得，
①當時，，此時在上有1個零點
②當時，
因為當時，
所以此時在上有2個零點
③當時，，此時在上無零點.
綜上，當或時，在上有1個零點，
當時在上有2個零點，
當時在上無零點.
16．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)討論在上的零點個數(shù)．
【解析】(1)因為，則，
當時，，此時在上單調(diào)遞減；
當時，令，可得，
則當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減.
綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；
當時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)當時，在上單調(diào)遞減，又，
故當時，，故此時在無零點；
當時，，故在單調(diào)遞減，
同時，此時在無零點；
當時，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，
若，即時，，故在無零點；
若，即時，，此時在有一個零點；
若，即時，，
又因為，故在上一定存在一個零點；
又因為，且，故在上也一定存在一個零點；
下證：
，
令，則，即在單調(diào)遞減，
故，即
故.故當時，有兩個零點.
綜上所述：當時，在無零點；
時，在有一個零點；時，有兩個零點.
專項突破二由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)
一、單選題
1．若函數(shù)有且只有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【解析】根據(jù)題意，時，，此時
時，;時，,
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
時，，所以在上無零點
從而時，有2個零點，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得
，故選：D.
2．若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【解析】，.
令，解得，.
，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，
，，為增函數(shù).
所以，.
因為函數(shù)有三個不同的零點，
等價于方程有三個不同的根.所以，解得.故選：D
3．若關(guān)于的方程有且只有2個零點，則a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【解析】由，得（），令，
所以關(guān)于的方程有且只有2個零點，等價于函數(shù)的圖像與直線有兩個交點，
由，得，
當時，，當，，
所以在上遞增，在上遞減，所以，
當時，，所以當時，函數(shù)的圖像與直線有兩個交點，
所以a的取值范圍是，故選：D
4．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【解析】因為函數(shù)有兩個零點，定義域為；
所以方程在上有兩不等實根，顯然
即方程在上有兩不等實根，令，
則直線與曲線在上有兩不同交點；
因為，
令，則在上顯然恒成立，
因此在上單調(diào)遞減，
又，所以當時，，即，所以單調(diào)遞增；
當時，，即，所以單調(diào)遞減；
因此，又當時，；當時，，
所以為使直線與曲線在上有兩不同交點，
只需，解得.故選：C.
5．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【解析】當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，則時，，
所以當時，，時，，故當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取極小值，極小值為，作出函數(shù)的圖象如圖：
因為函數(shù)有兩個零點，所以函數(shù)與有兩個交點，所以當時
函數(shù)與有兩個交點，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D.
6．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，
令，即，即，
設(shè)，可得，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
又，作出簡圖，如圖所示，
要使得函數(shù)有兩個零點，
只需與的圖像有兩個交點，所以，
即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.
7．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【解析】因為函數(shù)有兩個極值點，
所以有兩個相異的零點，即有兩個交點，
令，則，
令，則恒成立，
所以在上遞減，且，
所以時，；時，；
所以時，；時，；
所以時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；
，又當時，；時，；
所以當有兩個交點時，則有，即，
所以函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是，故選：A
8．已知函數(shù)）有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．（0，）B．（0，）C．（0，1）D．（0，e）
【解析】令，所以或，
令，則，令，則，
當時，，h(x)在（－∞，0）上單調(diào)遞增；
當時，，h(x)在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以g(x)在R上單調(diào)遞減，又，g（0）＝，
所以存在使得，
所以方程有兩個異于的實數(shù)根，則，
令，則，
當時，，k(x)在（－∞，1）上單調(diào)遞增；
當時，，k(x)在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，且．
所以，所以與的部分圖象大致如圖所示，
由圖知，故選：A．
9．函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【解析】令得，令，則，
當時，，當時，，
在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
作出與的函數(shù)圖象如圖所示：
設(shè)直線與的圖象相切，切點為，
則，解得，，，或，，，
有兩個不同的零點，與的函數(shù)圖象有兩個交點，
或，即．故選：C．
10．已知恰有三個不同的零點，則實數(shù)a的范圍為（）
A．B．C．D．
【解析】由，
得，即．
令，則，令可得，
當時，，當時，，
∴ 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，即僅有唯一的解．
依題意，方程有兩個不同的解，即與有兩個不同的交點，令，則，易得在單調(diào)遞增，在單調(diào)速減，，畫出的草圖
觀察圖象可得，故選：D．
二、多選題
11．已知（）
A．若，則，使函數(shù)有2個零點
B．若，則，使函數(shù)有2個零點
C．若，則，使函數(shù)有2個零點
D．若，則，使函數(shù)有2個零點
【解析】
令，則，所以設(shè)，則
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減
在處取得極大值
當趨向于時，趨向于；當趨向于時，趨向于
又，且當時，；當時，
所以，是函數(shù)的拐點，，
所以在處的切線方程為，即
如圖所示，ACD正確，B錯誤，故選：ACD
12．已知函數(shù)有兩個零點、，則下列說法正確的是（）．
A．B．C．D．
【解析】由可得，令，其中，
所以，直線與曲線的圖象有兩個交點，
，令，可得，列表如下：
作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：
由圖可知，當時，函數(shù)與的圖象有兩個交點，A對；
接下來證明對數(shù)平均不等式，其中，且、均為正數(shù).
先證明，其中，即證，
令，，其中，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，，
所以，當時，，
接下來證明：，其中，即證，
令，即證，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，當時，，
所以，當時，，
由已知可得，兩式作差可得，所以，，
因為，故，，B錯，CD都對.
故選：ACD.
13．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)a可能的取值有（）
A．3B．2C．1D．0
【解析】函數(shù)有3個零點，即方程有3個不同的實根，
即函數(shù)與的圖象有3個不同的交點，
令，
當時，，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
故當時，，
又，當時，，
當時，在上遞增，
又，當時，，
如圖，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像可知，
要使函數(shù)與的圖象有3個不同的交點，
則a的范圖為.故選：CD.
14．已知函數(shù)在區(qū)間（1，＋∞）內(nèi)沒有零點，則實數(shù)a的取值可以為（）
A．－1B．2C．3D．4
【解析】，設(shè)
則在上，與有相同的零點.
故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點,即在區(qū)間內(nèi)沒有零點，，
當時，在區(qū)間上恒成立,則在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以，顯然在區(qū)間內(nèi)沒有零點.
當時, 令，得，令，得
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減增.在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以
設(shè)，則
所以在上單調(diào)遞減,且
所以存在，使得，
要使得在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則，所以，
綜上所述，滿足條件的的范圍是
由選項可知：選項ABC可使得在區(qū)間內(nèi)沒有零點，即滿足題意.
故選：ABC
15．已知函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)可能取到的值為（）
A．B．C．D．1
【解析】令，即，所以，
因為函數(shù)在上有兩個不同的零點，設(shè)，
則與在上有兩個不同的交點，
因為，
令，則，，因為在上，，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
且當時，；當時，，
因為與在上有兩個不同的交點，所以，
根據(jù)選項，符合條件的為B，C，故選：BC
三、填空題
16．已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【解析】由，得.設(shè)，則.
當時，，當時，，當時，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，故函數(shù)的圖象如圖所示：
故當時，函數(shù)有三個零點，即.
17．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______________.
【解析】因為函數(shù)有四個零點，
所以方程有4個不同的解，
所以函數(shù)的圖象與直線有4個不同的交點，
①當時，，則，
當時，，當時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以當時，有最大值，
當時，，當時，
②當時，，當時，有最小值
所以的圖象如圖所示
由圖可知，當時，函數(shù)的圖象與直線有4個不同的交點，
所以實數(shù)a的取值范圍是
18．已知函數(shù)有兩個零點，則正實數(shù)的取值范圍為______．
【解析】因為函數(shù)有兩個零點，
所以方程有兩個根，所以
所以方程其中有兩個根，
設(shè)，，
所以，令可得，
化簡可得，，
所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
作函數(shù)的圖象可得，
由圖象可得，當時，直線與函數(shù)，，的圖象有且僅有兩個交點，
所以當時，函數(shù)有兩個零點，
故答案為：．
19．若函數(shù)不存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是______.
【解析】因為函數(shù)不存在零點，
所以方程無實數(shù)根，
所以方程無實數(shù)根，即方程無實數(shù)根，
故令，
令，故恒成立，
所以，在上單調(diào)遞減，由于，
所以，當時，，即，當時，，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
所以，當方程無實數(shù)根時，即可.所以，實數(shù)a的取值范圍是
四、解答題
20．已知函數(shù)．
(1)求的導(dǎo)函數(shù)；
(2)若在上有零點，求的取值范圍．
【解析】(1)因為，所以
(2)由（1）知，因為，所以，
所以，從而在上單調(diào)遞增，
所以，．
因為在上有零點，所以，解得．
21．已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點，求的取值范圍．
【解析】(1)，，
（Ⅰ）當，即時，
，在單調(diào)遞減
（Ⅱ）當，即時，
，在單調(diào)遞增
（Ⅲ）當，即時，當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減
綜上所述，（Ⅰ）當時，在單調(diào)遞減
（Ⅱ）當時，在單調(diào)遞增
（Ⅲ）當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
(2)由（1）知：當時，
即，在無零點，當時，
即，在無零點
當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
，
只需即可，即，，
綜上所述，
22．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)至多有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)依題意：，
故當時，，當時，，當時，，
∴的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；
(2)令，得.
∵，，結(jié)合f(x)單調(diào)性，作出f(x)圖像：
∴至多有兩個零點可轉(zhuǎn)化為與至多有兩個交點.
結(jié)合圖像可知，或，即實數(shù)a的取值范圍為.
23．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）且，
∴當時，，遞增；
當時：若時，，遞減；當時，，遞增；
∴時，在上遞增；時，在上遞減，在上遞增；
（2）由（1）知：時才可能存在兩個零點，且，
∴，可得.
24．已知函數(shù)．
（Ⅰ）當時，求的極值；
（Ⅱ）若在上有兩個不同的零點，求a的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）當時，，．由，得．
當時，，在上單調(diào)遞增，
當時，，在上單調(diào)遞減，
只有極大值，無極小值，且．
（Ⅱ）．當時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
從而至多有一個零點，不符合題意．
當時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
由得．
由得．
當時，，滿足在上有兩個不同的零點．
的取值范圍是．
25．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；
(2)證明：函數(shù)有且僅有兩個零點，且
【解析】(1)由函數(shù)，得，，
，則，
所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即；
(2)，，
因為函數(shù)在上遞增，所以函數(shù)在上遞增，
又，
所以存在唯一的實數(shù)，使得，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
故，又，所以函數(shù)在上存在唯一的零點，
則，由，得，
又，
所以函數(shù)在上存在唯一的零點，
即函數(shù)有且僅有兩個零點，且
26．已知函數(shù).
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)函數(shù)的定義域為，
當時，
易知，在上為減函數(shù)，
所以在上為減函數(shù)，且
當時，當時，
故函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
(2)有兩個零點，所以在上有兩個不等的實數(shù)根，
即在上有兩個不等的實數(shù)根，
即直線與有兩個交點，
當時，當時，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極大值為
又，當時，，當時，
由圖可得要使直線與有兩個交點，則，
故實數(shù)的取值范圍為.
27．已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)的極值；
(2)若函數(shù)在無零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】(1)由題知，當時，，
∴，令，．
∴時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增．
∴是的極小值點，∴的極小值為，無極大值．
(2)由題知，
∴，；令，
∴，∵，∴恒成立，
∴單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增．
①當時，∴，∴單調(diào)遞增
∴恒成立，即在上無零點，∴．
②當時，令，，，又單調(diào)遞增，
∴時，，時，，
∴在時單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，
∴，又∵時，
∴，，即在上有零點，不合題意；
綜上所述．
28．已知函數(shù)有兩個零點．
(1)求a的取值范圍；
(2)設(shè)是的兩個零點，證明：．
【解析】(1)由題意得有兩個零點等價于有兩個根；
令，則，
令，，故單調(diào)遞減，且，
故當時，,遞增，當時，,遞減，
故，要使有兩個根，需滿足，即，即a的取值范圍為；
(2)設(shè)是的兩個零點，則，
不妨設(shè)，由（1）可知，則，又因為在時遞減，
故要證明，即，只需證明，即；
設(shè) ，
則，
而當且僅當時取等號，
故，即，故單調(diào)遞增，
因為，故，即成立.
29．已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)在原點處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)．
【解析】(1)當時，，則，
所以，所以函數(shù)在原點處的切線方程為；
(2)因為，
所以，
令，解得或，因為，所以，
當變化時，與變化如下表：
所以，，
令，，所以當時，時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
即，即，
所以，所以且，
①當時，故，，
而時，，
所以在上有一個零點，此時有兩個零點；
②當時，因為，所以，
，
當時，所以在上無零點，從而只有一個零點，
當時，所以在上只有一個零點，從而只有兩個零點，
當時，所以在上有一個零點，，所以在上有一個零點，從而只有三個零點，
③當時，因為，所以，，
所以在上只有一個零點，
又，
當時，所以在上只有一個零點，
又易知在上只有一個零點，所以有三個零點，
綜上可得：當時只有一個零點；
當或時有兩個零點；
當且時有三個零點；
30．已知函數(shù)，其中，且.
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若只有一個零點，求的取值范圍.
【解析】(1)當時，，
，
易知在上單調(diào)遞增，且，
所以當時，，此時單調(diào)遞減；
當時，，此時單調(diào)遞增；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
(2)，令，
（1）當時，則，，
當時，，此時單調(diào)遞增；
當時，，此時單調(diào)遞減；
故，
則，在單調(diào)遞增，
又時，；時，；
所以此時在只有一個零點；
（2）當時，則，
恒成立，在單調(diào)遞增，
且，，
又，則，
故存在，使得，
當時，，當時，，
因為當時，，
所以當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；
當時，取得極小值，
由得，則，
當時，等號成立，
由，可得，解得，
綜合第一問可知，當時，只有一個零點；
綜上，若只有一個零點，則的取值范圍是
x
0
0
+
0
-
f（x）
極小值1
極大值
-1
減
極小值
增
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

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