?專題14 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題
一．函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍.
求解步驟：
第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸(或直線)在某區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；
第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).
二．利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法
(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題（畫草圖時(shí)注意有時(shí)候需使用極限）．
(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
三．利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法
(1)分離參數(shù)()后，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的值域(最值)問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；
(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解；
(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解．
專項(xiàng)突破一　判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
一、單選題
1．函數(shù) 所有零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由題可知，，且，
故函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，且，
當(dāng)，且時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，且，故函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上必存在一點(diǎn)，使得，所以函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，
又函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，又，
所以函數(shù)共有3個(gè)零點(diǎn).故選：C.
2．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（???????）
A．1 B．0 C．3 D．2
【解析】當(dāng)時(shí)，，得，即，成立，
當(dāng)時(shí)，，得，設(shè)，，
，得或（舍），
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以時(shí)，函數(shù)取得最大值，，，，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，，存在1個(gè)零點(diǎn)，
綜上可知，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).故選：D
3．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(???????)
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】，
令，，則，故h(x)在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴存在唯一的，使得，即，即，，
∴當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
∴，
∴函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．故選：B．
4．已知，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（???????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，
令，，顯然在上單調(diào)遞減，而，，，
則存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
而，則存在使得，即在上存在唯一零點(diǎn)，又，令，，
則在上單調(diào)遞減，，，
于是得，則存在使得，即在上存在唯一零點(diǎn)，
綜上得：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選：C
5．已知a∈R，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．與a有關(guān)
【解析】令，得.
令，，只需看兩個(gè)圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

所以在R上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以與有且只有一個(gè)交點(diǎn).故選：A

6．已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（???????）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則.
所以，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.故選：A.
二、填空題
7．設(shè)函數(shù)滿足，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______.
【解析】因?yàn)棰?，所以②，①?-②，
得，即，則，
當(dāng)，或時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以的極小值為，極大值為，
因?yàn)榈牧泓c(diǎn)為0或3，所以由，
得或，即或，
因?yàn)榈臉O小值為，極大值為，所以方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，又有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.

8．已知函數(shù)則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為___________
【解析】時(shí)，，時(shí)，，遞減；
時(shí)，，遞增；
則時(shí)，取極小值也是最小值；
時(shí)，，時(shí)，，遞減；
時(shí)，，遞增；則時(shí)，取極小值也是最小值，
綜上所述，可作出圖象，在作兩條直線，
結(jié)合圖象可知，與有個(gè)交點(diǎn).

三、解答題
9．已知函數(shù).
(1)求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
(2)判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.
【解析】(1)由，
而，所以該函數(shù)在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為：
；
(2)函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）可知：，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以函?shù)在時(shí)有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因?yàn)椋院瘮?shù)在時(shí)有唯一零點(diǎn)，
所以函數(shù)f（x）有個(gè)零點(diǎn).
10．設(shè)函數(shù).
（1）討論在定義域上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，判斷在，上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解析】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 可得，
①當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
令，解得，故在上有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，
即在，上單調(diào)遞減，又，，
所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)．
11．已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，求導(dǎo)得，，
令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值；
（2），，當(dāng)時(shí)，∵，∴，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，故只有一個(gè)零點(diǎn)0．
12．已知函數(shù),．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí),判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解析】(1),故當(dāng)時(shí),,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),令,得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)設(shè),則,令,
解得,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；
故最大值為，所以有且只有一個(gè)零點(diǎn).
13．已知
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；
(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解析】(1)因?yàn)椋?br /> 所以，
令，，所以在單增，且，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
(2)因?yàn)?br /> 令，易知在上單調(diào)遞增，且，
故的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為即，，
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，故為上的增函數(shù)，
而，，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，若，則；，則；
故，
若，則，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
若，則，故在上無(wú)零點(diǎn)；
若，則，此時(shí)，
而，，
設(shè)，，則，
故在上為增函數(shù)，故即，
故此時(shí)在上有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
綜上：當(dāng)時(shí)，0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，2個(gè)零點(diǎn)；

14．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解析】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
可得.
當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，，f（x）的變化如下表：
x
0





0
+
0
-

f（x）
極小值1

極大值

-1
所以的單調(diào)增區(qū)間為；的單調(diào)減區(qū)間為.
(2)由題意，函數(shù)，
可得
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
所以時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)椋詅（x）在上有0個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，令，可得.
由可知存在唯一的使得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，?br /> ①當(dāng)，即時(shí)，在上有0個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn).
綜上可得，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn).
15．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解析】(1)由題意，得
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
(2)由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋?br /> 所以由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可得，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上有1個(gè)零點(diǎn)
②當(dāng)時(shí)，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，
所以此時(shí)在上有2個(gè)零點(diǎn)
③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn).
綜上，當(dāng)或時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)在上有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)在上無(wú)零點(diǎn).
16．已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解析】(1)因?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，可得，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，
故當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)在無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，
同時(shí)，此時(shí)在無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，
若，即時(shí)，，故在無(wú)零點(diǎn)；
若，即時(shí)，，此時(shí)在有一個(gè)零點(diǎn)；
若，即時(shí)，，
又因?yàn)?，故在上一定存在一個(gè)零點(diǎn)；
又因?yàn)?，且，故在上也一定存在一個(gè)零點(diǎn)；
下證：
，
令，則，即在單調(diào)遞減，
故，即
故.故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在無(wú)零點(diǎn)；
時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).
專項(xiàng)突破二　 由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)
一、單選題
1．若函數(shù)有且只有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【解析】根據(jù)題意，時(shí)，，此時(shí)
時(shí)，;時(shí)，,
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
時(shí)，，所以在上無(wú)零點(diǎn)
從而時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得
，故選：D.
2．若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【解析】，.
令，解得，.
，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，
，，為增函數(shù).
所以，.
因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
等價(jià)于方程有三個(gè)不同的根.所以，解得.故選：D
3．若關(guān)于的方程有且只有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【解析】由，得（），令，
所以關(guān)于的方程有且只有2個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
所以在上遞增，在上遞減，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以a的取值范圍是，故選：D

4．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，定義域?yàn)椋?br /> 所以方程在上有兩不等實(shí)根，顯然
即方程在上有兩不等實(shí)根，令，
則直線與曲線在上有兩不同交點(diǎn)；
因?yàn)椋?br /> 令，則在上顯然恒成立，
因此在上單調(diào)遞減，
又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減；
因此，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以為使直線與曲線在上有兩不同交點(diǎn)，
只需，解得.故選：C.
5．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取極小值，極小值為，作出函數(shù)的圖象如圖：

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)
函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.
6．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 令，即，即，
設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
又，作出簡(jiǎn)圖，如圖所示，

要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
只需與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.
7．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，即有兩個(gè)交點(diǎn)，
令，則，
令，則恒成立，
所以在上遞減，且，
所以時(shí)，；時(shí)，；
所以時(shí)，；時(shí)，；
所以時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；
，又當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；
所以當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則有，即，
所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：A
8．已知函數(shù)）有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（???????）
A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，e）
【解析】令，所以或，
令，則，令，則，
當(dāng)時(shí)，，h(x)在（－∞，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，h(x)在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以g(x)在R上單調(diào)遞減，又，g（0）＝，
所以存在使得，
所以方程有兩個(gè)異于的實(shí)數(shù)根，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，k(x)在（－∞，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，k(x)在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，且．
所以，所以與的部分圖象大致如圖所示，

由圖知，故選：A．
9．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【解析】令得，令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
作出與的函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)直線與的圖象相切，切點(diǎn)為，
則，解得，，，或，，，
有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，與的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
或，即．故選：C．
10．已知恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的范圍為（???????）
A． B． C． D．
【解析】由，
得，即．
令，則，令可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴???在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，即僅有唯一的解．
依題意，方程有兩個(gè)不同的解，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，易得在單調(diào)遞增，在單調(diào)速減，，畫出的草圖

觀察圖象可得，故選：D．
二、多選題
11．已知（???????）
A．若，則，使函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
B．若，則，使函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
C．若，則，使函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
D．若，則，使函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
【解析】

令，則，所以設(shè)，則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
在處取得極大值
當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于；當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于
又，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
所以，是函數(shù)的拐點(diǎn)，，
所以在處的切線方程為，即
如圖所示，ACD正確，B錯(cuò)誤，故選：ACD
12．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，則下列說(shuō)法正確的是（???????）．
A． B． C． D．
【解析】由可得，令，其中，
所以，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
，令，可得，列表如下：









減
極小值
增
作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，A對(duì)；
接下來(lái)證明對(duì)數(shù)平均不等式，其中，且、均為正數(shù).
先證明，其中，即證，
令，，其中，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)，，
接下來(lái)證明：，其中，即證，
令，即證，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)，，
由已知可得，兩式作差可得，所以，，
因?yàn)椋?，，B錯(cuò)，CD都對(duì).
故選：ACD.
13．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a可能的取值有（???????）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即方程有3個(gè)不同的實(shí)根，
即函數(shù)與的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
令，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
故當(dāng)時(shí)，，
又，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，在上遞增，
又，當(dāng)時(shí)，，
如圖，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像可知，
要使函數(shù)與的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
則a的范圖為.故選：CD.

14．已知函數(shù)在區(qū)間（1，＋∞）內(nèi)沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值可以為（???????）
A．－1 B．2 C．3 D．4
【解析】，設(shè)
則在上， 與有相同的零點(diǎn).
故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn),即在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立,則在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以，顯然在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn).
當(dāng)時(shí), 令，得，令，得
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減增.在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以
設(shè)，則
所以在上單調(diào)遞減,且
所以存在，使得，
要使得在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則，所以 ，
綜上所述，滿足條件的的范圍是
由選項(xiàng)可知：選項(xiàng)ABC可使得在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，即滿足題意.
故選：ABC
15．已知函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)可能取到的值為（???????）
A． B． C． D．1
【解析】令，即，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)，
則與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
因?yàn)椋?br /> 令，則，，因?yàn)樵谏希?，?br /> 所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)榕c在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，
根據(jù)選項(xiàng)，符合條件的為B，C，故選：BC
三、填空題
16．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【解析】由，得.設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，故函數(shù)的圖象如圖所示：

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即.
17．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)有四個(gè)零點(diǎn)，
所以方程有4個(gè)不同的解，
所以函數(shù)的圖象與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，
①當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有最小值
所以的圖象如圖所示

由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是
18．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以方程有兩個(gè)根，所以
所以方程其中有兩個(gè)根，
設(shè)，，
所以，令可得，
化簡(jiǎn)可得，，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
作函數(shù)的圖象可得，

由圖象可得，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)，，的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
故答案為：．
19．若函數(shù)不存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)不存在零點(diǎn)，
所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
故令，
令，故恒成立，
所以，在上單調(diào)遞減，由于，
所以，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
所以，當(dāng)方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，即可.所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是
四、解答題
20．已知函數(shù)．
(1)求的導(dǎo)函數(shù)；
(2)若在上有零點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】(1)因?yàn)椋?br /> (2)由（1）知，因?yàn)?，所以?br /> 所以，從而在上單調(diào)遞增，
所以，．
因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，所以，解得．
21．已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】(1)， ，
（Ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，
，在單調(diào)遞減
（Ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，
，在單調(diào)遞增
（Ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
綜上所述，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
(2)由（1）知：當(dāng)時(shí)，
即 ，在無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，
即，在無(wú)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
，
只需 即可，即 ， ，
綜上所述，
22．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)依題意：，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；
(2)令，得.
∵，，結(jié)合f(x)單調(diào)性，作出f(x)圖像：

∴至多有兩個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為與至多有兩個(gè)交點(diǎn).
結(jié)合圖像可知，或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
23．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）且，
∴當(dāng)時(shí)，，遞增；
當(dāng)時(shí)：若時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增；
∴時(shí)，在上遞增；時(shí)，在上遞減，在上遞增；
（2）由（1）知：時(shí)才可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，且，
∴，可得.
24．已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（Ⅱ）若在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，．由，得．
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
只有極大值，無(wú)極小值，且．
（Ⅱ）．當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
從而至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
由得．
由得．
當(dāng)時(shí)，，滿足在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
的取值范圍是．
25．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且
【解析】(1)由函數(shù)，得，，
，則，
所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即；
(2)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以函數(shù)在上遞增，
又，
所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
故，又，所以函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，
則，由，得，
又，
所以函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，
即函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且
26．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，
易知，在上為減函數(shù)，
所以在上為減函數(shù)，且
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
故函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
(2)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
即在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
即直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極大值為
又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

由圖可得要使直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
27．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)若函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】(1)由題知，當(dāng)時(shí)，，
∴，令，．
∴時(shí)，，單調(diào)遞減；
時(shí)，，單調(diào)遞增．
∴是的極小值點(diǎn)，∴的極小值為，無(wú)極大值．
(2)由題知，
∴，；令，
∴，∵，∴恒成立，
∴單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增．
①當(dāng)時(shí)，∴，∴單調(diào)遞增
∴恒成立，即在上無(wú)零點(diǎn)，∴．
②當(dāng)時(shí)，令，，，又單調(diào)遞增，
∴時(shí)，，時(shí)，，
∴在時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，
∴，又∵時(shí)，
∴，，即在上有零點(diǎn)，不合題意；
綜上所述．
28．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
(1)求a的取值范圍；
(2)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．
【解析】(1)由題意得有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于 有兩個(gè)根；
令，則，
令 ，，故單調(diào)遞減，且，
故當(dāng)時(shí)，,遞增，當(dāng)時(shí)，,遞減，
故，要使 有兩個(gè)根，需滿足，即，即a的取值范圍為；
(2)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，則 ，
不妨設(shè)，由（1）可知，則，又因?yàn)樵跁r(shí)遞減，
故要證明，即，只需證明，即；
設(shè) ，
則，
而 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故，即，故單調(diào)遞增，
因?yàn)?，故，即成?
29．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在原點(diǎn)處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，則，
所以，所以函數(shù)在原點(diǎn)處的切線方程為；
(2)因?yàn)椋?br /> 所以，
令，解得或，因?yàn)椋裕?br /> 當(dāng)變化時(shí)，與變化如下表：













單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減

所以，，
令，，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
即，即，
所以，所以且，
①當(dāng)時(shí)，故，，
而時(shí)，，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br /> ，
當(dāng)時(shí)，所以在上無(wú)零點(diǎn)，從而只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，從而只有兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，從而只有三個(gè)零點(diǎn)，
③當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，?br /> 所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，
又，
當(dāng)時(shí)，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，
又易知在上只有一個(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)零點(diǎn)，
綜上可得：當(dāng)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)且時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)；
30．已知函數(shù)，其中，且.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，
，
易知在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
(2)，令，
（1）當(dāng)時(shí)，則，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；
故，
則，在單調(diào)遞增，
又時(shí)，；時(shí)，；
所以此時(shí)在只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，則，
恒成立，在單調(diào)遞增，
且，，
又，則，
故存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，取得極小值，
由得，則，

當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
由，可得，解得，
綜合第一問(wèn)可知，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上，若只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是



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新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)培優(yōu)專題06 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（含解析）

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)培優(yōu)專題06 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（含解析）
高中數(shù)學(xué)高考6 第6講　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題　新題培優(yōu)練

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專題14_利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題-2023年新高考數(shù)學(xué)之導(dǎo)數(shù)專項(xiàng)重難點(diǎn)突破（新高考專用）

專題14_利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題-2023年新高考數(shù)學(xué)之導(dǎo)數(shù)專項(xiàng)重難點(diǎn)突破（新高考專用）
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