注意事項(xiàng):
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.請保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.
一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的值是（ ）
A. 1B. C. iD.
【答案】D
【解析】
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算化簡即可得.
【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算，有.
故選：D
2. 若空間中三條不同直線滿足，且，則直線與直線必定（ ）
A. 平行B. 相交C. 垂直D. 異面
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)直線a,b,c的方向向量分別為，由條件證明，由此判斷結(jié)論.
【詳解】設(shè)直線a,b,c的方向向量分別為，則都不是零向量，
因?yàn)?，且?br>所以，，
所以.
所以直線與直線必定垂直.
故選：C.
3. 已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)定義，可得答案.
【詳解】由角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以
根據(jù)任意角三角函數(shù)定義，得.
故選：C
4. 已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)f′x的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，當(dāng)時，原函數(shù)斜率為零，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題可得函數(shù)的圖象為單調(diào)遞增，則其導(dǎo)函數(shù)恒成立，
排除A、D兩個選項(xiàng)，
對于B，當(dāng)，，對應(yīng)的原函數(shù)此時斜率為零，該選項(xiàng)滿足題意；
選項(xiàng)C不符合題意；
故選：B.
5. 若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的最大值是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】易知，由時，，根據(jù)在區(qū)間上是增函數(shù)，由求解.
【詳解】解：，
當(dāng)時，，
因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，
所以，則，
所以，
則的最大值是，
故選：A
6. 在中，.若于，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題，B，C，D三點(diǎn)共線，可設(shè)，然后由
可得答案.
【詳解】由圖及題，B，C，D三點(diǎn)共線，則.
又于，則
.
，
則.
故選：B
7. 已知拋物線上兩點(diǎn)滿足，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值為4，則（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
分析】設(shè)直線，聯(lián)立方程結(jié)合弦長可得，進(jìn)而求得，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性分析最值即可.
【詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線，
聯(lián)立方程，消去y可得，
則，且，
由題意可得，整理可得，
又因?yàn)椋?br>令，則，
構(gòu)建
當(dāng)，即時，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，即，
可得，解得，不合題意；
當(dāng)，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，即，
可得，解得，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法
1.數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解；
2.構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）．
8. 已知函數(shù)，若在存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別求出和時，函數(shù)的最小值，由題意，列出不等式，借助函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，有最小值，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
所以，無最小值，
因?yàn)樵诖嬖谧钚≈担?br>所以，
令，
因?yàn)楹驮谏暇鶈握{(diào)遞增，
所以在上均單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時，，即成立，
所以的解集為.
故選：D
二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 為了解某種新產(chǎn)品的加工情況，并設(shè)定工人每天加工該產(chǎn)品的最少數(shù)量.相關(guān)部門從工廠隨機(jī)抽查了100名工人在某天內(nèi)加工該產(chǎn)品的數(shù)量.現(xiàn)將這些觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，則（ ）

A. 樣本觀測數(shù)據(jù)的極差不大于50
B. 樣本觀測數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率為0.025
C. 樣本觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)
D. 若將工人每天加工產(chǎn)品的最少數(shù)量設(shè)為55，估計(jì)80%的工人能完成任務(wù)
【答案】ACD
【解析】
【分析】由頻率分布直方圖可求出極差判斷A；由頻率公式判斷B，分別求出平均數(shù)和中位數(shù)判斷C；由數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率判斷D.
【詳解】對于A，由頻率分布直方圖可知，樣本數(shù)據(jù)極差最大值為，故A正確；
對于B，由頻率分布直方圖可知，數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率為，故B錯誤；
對于C，由頻率分布直方圖可知，
數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
因?yàn)閿?shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率為，
數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率為，
所以中位數(shù)位于區(qū)間中，設(shè)為，
則，解得，
所以數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，，故C正確；
對于D，由C知，數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率為，故將工人每天加工產(chǎn)品的最少數(shù)量設(shè)為55，估計(jì)80%的工人能完成任務(wù).D正確.
故選：ACD
10. 已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足成等差數(shù)列，則（ ）
A. 成等比數(shù)列
B. 成等差數(shù)列
C. 成等比數(shù)列
D. 成等差數(shù)列
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可判斷A 的真假，根據(jù)條件，求等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，可判斷BCD的真假.
【詳解】對A：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，可設(shè)首項(xiàng)為（），公比為（），
則，所以，，成等比數(shù)列，故A正確；
對B：若等比數(shù)列的公比，則，，，
根據(jù)，，成等差數(shù)列，則，即，
這與矛盾，故不成立；
當(dāng)時，由.
所以，
兩邊同乘以得：，即，
所以，，成等差數(shù)列，故B正確；
對C：若，，成等比數(shù)列，則，
因?yàn)椋裕海?
又，所以，
所以，所以，這與矛盾，
故，，不可能成等比數(shù)列，故C錯誤；
對D：因?yàn)椋?，兩邊同乘以，得?br>可得，即，
所以，，成等差數(shù)列，故D正確.
故選：ABD
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)與，且，使得任意，恒有，則稱函數(shù)是廣義周期函數(shù).下列說法正確的有（ ）
A. 一次函數(shù)（為常數(shù)）是廣義周期函數(shù)
B. 若是廣義周期函數(shù)，則存在實(shí)數(shù)，使得是周期函數(shù)
C. 若有兩個不同的對稱中心，則是廣義周期函數(shù)
D. 若與都是廣義周期函數(shù)，則也是廣義周期函數(shù)
【答案】ABC
【解析】
【分析】把代入一次函數(shù)的解析式即可證明一次函數(shù)為廣義周期函數(shù)，根據(jù)廣義周期函數(shù)的定義可推出選項(xiàng)正確，利用對稱中心的結(jié)論可解決選項(xiàng).，選項(xiàng)可通過周期函數(shù)的結(jié)論來推.
【詳解】對于,由，只需使
故一次函數(shù)（為常數(shù)，且）是廣義周期函數(shù)，故正確；
對于,若是廣義周期函數(shù)，則存在常數(shù)與，且，使，
則,
令，得,即存在實(shí)數(shù)，使得，
此時，是周期函數(shù)，即正確；
對于,若有兩個不同的對稱中心和，
因?yàn)闉楹瘮?shù)的對稱中心，所以，
因?yàn)闉楹瘮?shù)的對稱中心，所以，
上面兩式做減法可得：，
所以
用去代替上式中的可得：，
故是廣義周期函數(shù)，故正確.
對于,因?yàn)榕c都是廣義周期函數(shù)，則存在常數(shù)與，恒有，
存在常數(shù)與，恒有.
設(shè)，因與沒有特定的數(shù)量關(guān)系，故得不到為廣義周期函數(shù).故錯誤.
故選：.
三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知長為2的線段的兩個端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出線段的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，再根據(jù)圓的定義寫出該點(diǎn)的軌跡方程.
【詳解】解：設(shè)線段的中點(diǎn)，
若不與原點(diǎn)重合時，則是直角三角形，且為直角，則,即的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，
方程為，
若有一個是原點(diǎn)，同樣滿足，
故線段的中點(diǎn)的軌跡方程是：.
故答案：
13. 如圖所示，將一個圓心角為的扇形紙板剪掉扇形，得到扇環(huán)，現(xiàn)將扇環(huán)圍成一個圓臺.若，則該圓臺的體積為______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用圓臺體積為一個大圓錐的體積減去一個小圓錐的體積，利用母線長可求得大圓錐的底面圓半徑，進(jìn)而求得圓錐的高，可求大圓錐的體積，同理求得小圓錐的體積，可求圓臺的體積.
【詳解】圓臺的體積為一個大圓錐的體積減去一個小圓錐的體積，
扇形所圍成的大圓錐的弧長為，所圍成底面圓的半徑為，
所以圓錐的高為，
故扇形所圍成的大圓錐的體積為.
同理可得扇形所圍成的小圓錐的體積為，
所以則該圓臺的體積為.
故答案為：.
14. 在中，角所對的邊分別為，且外接圓半徑為，則的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理和三角形的面積公式可得，又，利用余弦定理和三角形的面積公式可得，再由基本不等式可得，進(jìn)而得，即可求得的最大值.
【詳解】設(shè)的面積為，的外接圓半徑為，
由正弦定理，
則，
則，
由余弦定理，
則
，
由，得，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，
則的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是先由正弦定理和三角形的面積公式可得，再由余弦定理和三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可得.
四、解答題:本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 甲同學(xué)計(jì)劃去參觀某景點(diǎn)，但門票需在網(wǎng)上預(yù)約.該同學(xué)從第一天開始，每天在規(guī)定的預(yù)約時間段開始預(yù)約，若預(yù)約成功，便停止預(yù)約；若連續(xù)預(yù)約三天都沒成功，則放棄預(yù)約.假設(shè)該同學(xué)每天預(yù)約門票成功的概率均為0.7，
（1）求甲同學(xué)到第三天才預(yù)約成功的概率；
（2）記為甲同學(xué)預(yù)約門票的天數(shù)，求的分布列和期望.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式及互斥事件的概率求和公式可得答案.
（2）求出隨機(jī)變量的可能取值和概率可得答案；
【小問1詳解】
設(shè)甲同學(xué)到第三天才預(yù)約成功的事件為，
根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式，；
【小問2詳解】
隨機(jī)變量的可能取值為，
，
，
，
；
16. 如圖，在平行六面體中，，且，設(shè)與的交于點(diǎn).
（1）證明:平面；
（2）若，且，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先通過證明平面，得到，再通過等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)線面垂直的判定定理可證平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求直線與平面所成角的正弦.
【小問1詳解】
因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，且?br>所以為菱形，所以.
又，，平面，且，
所以平面.
因?yàn)槠矫?，所?
在和中：
（）.
所以.
又為中點(diǎn)，所以.
又，平面，且，
所以平面.
【小問2詳解】
由（1）可知，，，兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：
因?yàn)?，，?br>所以，，.
所以，，，.
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，得.
所以，，.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則.
17. 已知函數(shù)，其中.
（1）若在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為，求的值；
（2）若是的極小值點(diǎn)，證明:.
【答案】（1）；
（2）證明見解析；
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，根據(jù)切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積列方程求參數(shù)即可；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)易知可得，應(yīng)用分析法轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造且，問題化為，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值可得，應(yīng)用反證法證明時得到矛盾結(jié)論，即可證結(jié)論.
【小問1詳解】
由題設(shè)，則，
所以在點(diǎn)處的切線為，
令，則；令，則，
所以切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積，可得.
【小問2詳解】
由（1），且，，，
由是的極小值點(diǎn)，則且，可得，
要證，即，需證，即，
令且，只需證，而，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故，
綜上，只需，即即可，
若，則，故，
此時，且，
對于，則，顯然時，時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，
所以，故單調(diào)遞增，無極小值，不符合題設(shè)；
綜上，，故得證.
18. 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)為，焦距為，且離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的外心.
（i）若為等邊三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ii）若點(diǎn)在直線上，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)焦距為，離心率為即可求出，再由即可求出，進(jìn)而得橢圓的方程；
（2）（i）根據(jù)為等邊三角形，可設(shè)直線的方程為：，根據(jù)求得的值，點(diǎn)為外心，即為中垂線的交點(diǎn)；
(ii)設(shè)直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立方程組有，的外心點(diǎn)在直線上，
所以有，即可得，最后由點(diǎn)到直線的距離得，利用函數(shù)求出最值即可.
【小問1詳解】
因?yàn)闄E圓的焦距為，
又因?yàn)殡x心率為，所以，
由得，
所以橢圓的方程為；
【小問2詳解】
（i）因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?br>由對稱性可知關(guān)于軸對稱，
可設(shè)直線的方程為：，當(dāng)時，，
所以點(diǎn)，點(diǎn)，，
因?yàn)?，所以?br>化簡整理有：，解得或-（舍去），
又因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，即為的重心，
設(shè)，則有，所以；
（ii）當(dāng)直線的斜率為0時，線段的中垂線為軸，不滿足題意.
設(shè)直線的方程為：，則有：，
所以，
設(shè)，則有：，
設(shè)、為線段，的中點(diǎn)，則，，
可得線段的中垂線方程為，即①，
同理可得線段的中垂線方程為②，
聯(lián)立①②解得
，
由，可得，即，代入不等式，
解得且，則，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
設(shè)函數(shù)，，則在為減函數(shù)，
在為增函數(shù)，可得，進(jìn)而得.
綜上，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：圓錐曲線類的綜合解答題，解答思路一般并不困難，難點(diǎn)在于復(fù)雜的計(jì)算，并且大多都是字母參數(shù)的運(yùn)算，因此要求學(xué)生有較強(qiáng)的計(jì)算能力和推理能力.
19. 已知無窮數(shù)列滿足.對于集合，定義若，則；若，則.
（1）若，求集合；
（2）若，集合，且，求中元素個數(shù)的可能值；
（3）若，集合，對任意的，滿足，且，證明:.
【答案】（1）
（2）0或1 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由數(shù)列新定義可得；
（2）由數(shù)列新定義分、結(jié)合等比數(shù)列的求和公式討論即可；
（3）由數(shù)列新定義結(jié)合等比數(shù)列的求和公式證明即可；
【小問1詳解】
由題意可得，
因?yàn)椋约?
【小問2詳解】
，設(shè)，，
不妨設(shè)，，表示集合中元素個數(shù)，
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
由于，故，
當(dāng)，顯然找不到滿足條件的，
所以中元素個數(shù)的可能值為0或1.
【小問3詳解】
設(shè)，中最小元素為，
而，
由于最大，故，
那么，
由于，
所以，即，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能夠理解數(shù)列新定義，并結(jié)合等比數(shù)列的求和公式計(jì)算.2
3

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湖南省長沙市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

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湖南省長沙市2024屆高三上學(xué)期新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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