第I卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知向量，，則（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計算可得.
【詳解】因為，，
所以，所以.
故選：D
2. 關(guān)于x的一元二次方程的解集為，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由方程的解集和根與系數(shù)關(guān)系得的關(guān)系，并由得a的正負(fù)，代入不等式后即可求解.
【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程的解集為，
，即，，即.
，
即，即，解得.
故選：A.
3. ①平行向量就是共線向量；②若向量與是共線向量，則、、、四點共線；③若非零向量與滿足，則、互為相反向量.其中正確的有（ ）個.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)共線向量、相反向量的定義判斷即可.
【詳解】對于①：平行向量就是共線向量，故①正確；
對于②：若向量與是共線向量，則直線直線或、、、四點共線，故②錯誤；
對于③：若非零向量與滿足，即，所以、互相反向量，故③正確.
故選：C
4. 甲、乙兩組數(shù)據(jù)整理成莖葉圖如圖所示，下列說法錯誤的有（ ）
①甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)比乙組小；
②乙組數(shù)據(jù)離散程度更小；
③甲組的分位數(shù)比乙組的分位數(shù)大10；
④甲組的極差比乙組的方差大；
⑤選擇甲組中任一數(shù)據(jù)，其在乙組中的概率為.
A. ①④⑤B. ①③④C. ①③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)計算出平均數(shù)、百分位數(shù)、方差即可判斷①、②、③、④，根據(jù)古典概型的概率公式判斷⑤.
【詳解】甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
所以甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)比乙組大，故①錯誤；
乙組數(shù)據(jù)比較集中，所以乙組數(shù)據(jù)離散程度更小，故②正確；
因為，所以甲組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為；
，所以乙組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為；
則甲組的分位數(shù)比乙組的分位數(shù)大，故③錯誤；
甲組極差為，
乙組的方差為，
所以甲組的極差比乙組的方差小，故④錯誤.
甲組數(shù)據(jù)有、在乙組數(shù)據(jù)中，則選擇甲組中任一數(shù)據(jù)，其在乙組中的概率為，故⑤正確.
故選：B
5. 已知為內(nèi)一點，且滿足，若的面積與的面積的比值為，則的值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】如圖，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，則在線段上，且，設(shè)，結(jié)合和計算即可求解.
【詳解】由，得，
如圖，分別是的中點，

則，
所以在線段上，且，
得，設(shè)，則，所以，
因為，，，
所以，則，解得.
故選：B
6. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，其在上單調(diào)遞減則大小關(guān)系為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析出函數(shù)關(guān)于對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；再判斷三個值的自變量與對稱軸的遠(yuǎn)近即可求得結(jié)果.
【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，其在 上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)關(guān)于對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
所以函數(shù)關(guān)于對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
所以關(guān)于對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
，，；
由于誰離對稱軸遠(yuǎn)誰就小，
可得，，，
故，
故答案為：A
7. 已知正實數(shù)，，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，令，則問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，利用基本不等式計算可得.
【詳解】因為，
令，則，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以的取值范圍是.
故選：C
8. 記表示命題成立且命題不成立，現(xiàn)給出三個命題A，B，C，則（ ）
A. “A是的充分不必要條件”是“是A的必要條件”的必要不充分條件
B. “是的必要不充分條件”是“A是的充分不必要條件”的既不充分也不必要條件
C. “是的充要條件”是“是的充分不必要條件”的充分不必要條件
D. “是的既不充分也不必要條件”是“是的充要條件”的必要不充分條件
【答案】D
【解析】
【分析】將每個選項的命題都用集合表示，再根據(jù)集合的運(yùn)算性質(zhì)判斷命題的充分條件和必要條件，從而可以逐一判斷.
【詳解】令三個命題A，B，C對應(yīng)三個數(shù)集，全集為，
對于A，命題“A是B的充分不必要條件”等價于命題：?，
命題“B是A的必要條件”，等價于命題：，
因此，但，所以是的充分不必要條件，故A錯誤；
對于B，命題“是的必要不充分條件”等價于命題：?，
命題“A是的充分不必要條件”等價于命題：?，因此，但，
所以是的充分不必要條件，故B錯誤；
對于C，命題“是的充要條件”等價于命題，即，
也即；命題“是的充分不必要條件”等價于命題?，
因此，但，所以是的充分不必要條件，故C錯誤；
對于D，命題“是的既不充分也不必要條件”等價于命題：與互不包含，
命題“是的充要條件”等價于命題，即，
因此，但，所以是的必要不充分條件，故D正確.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點：該題的解題關(guān)鍵點是將所有命題都用集合表示，把充分條件必要條件問題轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系和運(yùn)算問題，從而快速得解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. “計算是數(shù)學(xué)大廈的根基”，下列計算中正確的是（ ）
A. 若，則
B. 不等式的解集為
C. 若，則
D. 若，則的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用作差法及不等式的性質(zhì)判斷A，利用零點分段法解絕對值不等式，即可判斷B，利用特殊值判斷C，利用乘“1”法及基本不等式判斷D.
【詳解】對于A：因為，
所以，所以，
則，故A正確；
對于B：不等式，即，
即或或，
解得或或，
所以不等式的解集為，故B正確；
對于C：當(dāng)時，顯然滿足，但是，故C錯誤；
對于D：因為，，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故D正確.
故選：ABD
10. 關(guān)于事件與概率，下列說法中錯誤的是（ ）
A. 兩獨立事件、，、均不發(fā)生的概率為，發(fā)生且不發(fā)生的概率等于發(fā)生且不發(fā)生的概率，則事件發(fā)生的概率為
B. 現(xiàn)有A、B、C、D四人，以抽簽方式隨機(jī)分為兩組分別進(jìn)行比賽，已知A勝率為60%，B勝率為40%，則最終A、B均獲勝的概率為
C. 某一組數(shù)據(jù)編號，從中任一選擇一個編號其三位數(shù)字之和為奇數(shù)的概率比為偶數(shù)的概率大
D. 甲乙二人約定某天上午到10點交易，假設(shè)二人均在這段時間到達(dá)且在這段時間內(nèi)任意時刻到達(dá)的概率相等，約定先到者等后到者10分鐘，過時交易取消，則交易成功的概率為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率公式判斷A，根據(jù)全概率公式判斷B，根據(jù)古典概型的概率公式判斷C，根據(jù)幾何概型的概率公式判斷D.
【詳解】對于A：由題意，
即，解得,故A正確；
對于B：依題意分組一共有三種可能，
若、分在同一組，則、不可能都獲勝，此時、均獲勝的概率為；
若、分在同一組，則、為一組；
若、分在同一組，則、為一組；
所以、均獲勝的概率為，故B錯誤；
對于C：從一組數(shù)據(jù)編號中任一選擇一個編號其三位數(shù)字之和為奇數(shù)有：
，，，，，，，，，，，，，共個，
則三位數(shù)字之和為偶數(shù)的有個，
所以從中任一選擇一個編號其三位數(shù)字之和為奇數(shù)的概率比為偶數(shù)的概率大，故C錯誤；
對于D：以記為，設(shè)甲到達(dá)的時間為，乙到達(dá)的時間為，
則，
滿足條件的事件對應(yīng)的集合是：，
如圖所示：建立平面直角坐標(biāo)系，區(qū)域即圖中陰影部分，
所以，
因此兩人能夠交易成功的概率，故D錯誤.
故選：BCD
11. 已知與之間的關(guān)系可用如圖表示，其圖象是指數(shù)函數(shù)的一部分，若則（ ）
A.
B.
C.
D. 存在最大值為
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，得到，兩邊取自然對數(shù)，
得到，依次判定AB選項，結(jié)合基本不等式判斷C選項，
代入消元判斷D選項即可.
【詳解】由指數(shù)函數(shù)的定義，，
兩邊取自然對數(shù)得：，
故，
因為，故無法判斷，故A錯誤；
，故B錯誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；
，當(dāng)時取到最大值，故D正確，
故選：CD.
第II卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點，，，若O、A、B三點共線，則線段AB上靠近點A的三等分點的坐標(biāo)為__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)三點共線可求得，可求.再根據(jù)向量共線定理與向量加法運(yùn)算即可求解.
【詳解】，，
，.
∵O、A、B三點共線，
，解得或（舍去）.
，，.
設(shè)線段AB上靠近點A的三等分點為C，
則，.
故答案為：.
13. 定義在上的函數(shù)，若存在滿足，則實數(shù)的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先分析的單調(diào)性，不妨令，則，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到，且，再由求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】因為，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為存在滿足，
不妨令，則，
由得，則，故，
∴，
又，
∴，即，則，
∵，∴，，∵，
∴，則實數(shù)的最小值為．
故答案為：.
14. 已知函數(shù)關(guān)于點對稱，其反函數(shù)為，若與的圖象關(guān)于點對稱，則關(guān)于x的不等式的解集為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由對稱性待定，研究的性質(zhì)，借助函數(shù)間對稱與圖象變換逐步求解研究各函數(shù)及性質(zhì).先由互為反函數(shù)可求，進(jìn)而求出，再由與的圖象關(guān)于點對稱可求出，轉(zhuǎn)化不等式h3ex+2+h12?e2x+110?e2x>10?13ex為同構(gòu)形式h3ex+2+13ex+2?2>1e2x?8?2+he2x?8，從而構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性分類討論求解不等式可得.
【詳解】由函數(shù)關(guān)于點對稱，
則，所以，
故，
解得，即，
所以函數(shù)的定義域為，值域為，
在和上都單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于對稱；
因為函數(shù)是的反函數(shù)，
由互為反函數(shù)的兩函數(shù)關(guān)于直線對稱可知，
函數(shù)的定義域為，且圖象關(guān)于對稱，
令，解得
故，其在和上都單調(diào)遞減；
函數(shù)的定義域為，且圖象關(guān)于對稱.
，其在和上都單調(diào)遞減，
且當(dāng)時，；當(dāng)時，；
又由與的圖象關(guān)于點對稱，
則函數(shù)的定義域為，且圖象關(guān)于對稱.
，其在和上都單調(diào)遞減，
且當(dāng)時，；當(dāng)時，；
故，則有，
由h3ex+2+h12?e2x+110?e2x>10?13ex，
由不可能小于1，故.
首先有3ex+2>312?e2x312?e2x>310?e2x≠0，解得或.
得h3ex+2+13ex>1e2x?10+10?h12?e2x，
則可化為h3ex+2+13ex+2?2>1e2x?8?2+he2x?8，
構(gòu)造函數(shù)，則，
又函數(shù)的定義域為，且在和上也都單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，；
當(dāng)e2x?83，即時，
恒有成立；
當(dāng)3ex+2>3e2x?8>3時，由在上單調(diào)遞減，
故由，可得，
解得，此時滿足不等式組3ex+2>3e2x?8>3，故.
故，或，驗證知滿足或.
綜上所述，不等式的解集為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題關(guān)鍵有二，一是理清各函數(shù)間的聯(lián)系， 逐步求解研究函數(shù)及性質(zhì)；二是同構(gòu)變換，轉(zhuǎn)化不等式為同構(gòu)形式h3ex+2+13ex+2?2>1e2x?8?2+he2x?8，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性求解不等式.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知，集合，.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若是的必要不充分條件，
①求的取值范圍；
②當(dāng)取最小值時，設(shè)是的反函數(shù)，求函數(shù)的值域.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計算可得；
（2）①令，依題意可得是的必要不充分條件，即真包含于，再對分類討論，分別求出集合，從而得到不等式組，解得即可；
②首先求出的解析式，再反解求出的解析式，最后再根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域計算可得.
【小問1詳解】
對于，
令，即，則，解得，
所以，
當(dāng)時，不等式即，解得或，
所以，
所以，，所以；
【小問2詳解】
①令，
因為是的必要不充分條件，所以是的必要不充分條件，
所以真包含于，
又，
由可得，
當(dāng)時，解得，即，不符合題意；
當(dāng)時，解得或，
即或，顯然不滿足真包含于，不符合題意；
當(dāng)時，解得，
即，顯然不滿足真包含于，不符合題意；
當(dāng)時，解得或，
即或，顯然不滿足真包含于，不符合題意；
當(dāng)時，解得，即，則，解得；
當(dāng)時，解得，即，符合題意；
當(dāng)時，解得，即，則，解得；
綜上可得，即的取值范圍為；
②由①可得，所以，，則，
又是的反函數(shù)，
令，則，所以，
所以，即，
所以，，
所以
，，
其中，
又，則，所以，所以，
即，所以，所以的值域為.
16. 在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位患者的年齡并得到如下頻率分布直方圖（每一組區(qū)間均是前閉后開），回答下列問題：
（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
【答案】（1）歲
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖計算可得；
（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．
【小問1詳解】
平均年齡
（歲）．
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖可得該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率為；
【小問3詳解】
設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：，，，
則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，
此人患這種疾病的概率為．
17. 在中，點D為邊上靠近A的三等分點，點M為形內(nèi)一點.

（1）如圖，若點M滿足求與的面積之比；
（2）若點O為的外心，點M滿足延長線交于點N，求k的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）延長至使，可以得到四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)，所以，又，所以，進(jìn)而得到答案.
（2）由，得，設(shè)，由及向量的運(yùn)算法則可得，又因為，列得方程組，求解即可得的值.
【小問1詳解】
M是所在平面內(nèi)一點，延長至使.
，，
連接，因為向量和向量平行且模相等，則四邊形是平行四邊形.
由于，所以，又，所以，
在平行四邊形中，，所以與的面積之比為.
【小問2詳解】
，.
設(shè)，，，
，，
，
又，
，解得.
所以.

18. 記雙曲正弦函數(shù)雙曲余弦函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）證明：；
（2）已知函數(shù)，
①方程在上有且僅有一個實根，求的取值范圍；
②解關(guān)于的不等式：.
【答案】（1）證明見解析
（2）①；②答案見解析
【解析】
【分析】（1）將雙曲正、余弦函數(shù)解析式分別代入式子左邊與右邊，計算化簡得相同結(jié)果即證；
（2）①利用整體換元，將問題轉(zhuǎn)化為方程在 根的分布問題，結(jié)合函數(shù)圖象開口、對稱軸、判別式及區(qū)間端點值進(jìn)行分類討論求解；②仍利用整體換元、分解因式將不等式轉(zhuǎn)化為t?1t+a2>0，方程根的大小及與區(qū)間的關(guān)系，分類討論根的變化求解不等式可得.
【小問1詳解】
證明：左邊；
右邊
，
故式子左邊右邊，得證.
【小問2詳解】
① ，
令，由（1）得：，
又因為，
所以，
則有，令
即，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，
可得，即，
由題意，關(guān)于的方程在上有且僅有一個或兩相等實根，
令，則函數(shù)圖象開口向上，對稱軸，
判別式，
且有，，.
首先，由可得或.
（i）當(dāng)，即時，方程為，
解得，或，而，故不滿足題意；
（ii），即時，方程為，
解得，且，故不滿足題意；
（iii）當(dāng)，即時，
則由，，且圖象開口向上，
可知在上有且僅有一個實根，另一根在內(nèi)，滿足題意；
（iv）當(dāng)且，即時，
當(dāng)時，函數(shù)對稱軸，且，即，
由零點存在性定理可知在與內(nèi)各有一根，不滿足題意；
當(dāng)時，，，
故在內(nèi)有兩相等實根，滿足題意；
當(dāng)時，，，
故在內(nèi)無實根，不滿足題意；
當(dāng)時，函數(shù)對稱軸，且，即，
可知在內(nèi)無實根，不滿足題意；
（v）當(dāng)且，即時，
可知在內(nèi)無實根，不滿足題意；
綜上所述，或，故的取值范圍為.
②不等式fx>1?sinh2x即，
可化為不等式，
將，代入，
得，
化簡得解不等式，令，
則不等式可化為t2+a2t?1t?1>0?t3+a2t2?1?t>0?t?1t+1t+a2>0，
t?1t+a2>0，
（i）當(dāng)時，，則不等式 t?1t+a2>0，
解得或，由或，解得或；
（ii）當(dāng)時，，不等式 t?1t+a2>0即，
解得，且，由解得；
（iii）當(dāng)時，，不等式 t?1t+a2>0，
解得或，由或，解得或；
（iv）當(dāng)時，不等式 t?1t+a2>0，由，解得，
由，解得；
綜上所述，當(dāng)時， 所求不等式解集為x|x>ln?a2或 ；
當(dāng)時，所求不等式的解集為；
當(dāng)時，所求不等式的解集為或；
當(dāng)時，所求不等式的解集為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題的關(guān)鍵在于分類討論思想的應(yīng)用，如第（2）問中考查二次方程根的分布，需要綜合考慮判別式、端點值符號及對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，對參數(shù)分類討論求解.
19. 已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時，解不等式；
（2）證明：當(dāng)時，函數(shù)有唯一的零點x0，且恒成立.
【答案】（1）；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性直接求解即可；
（2）由在上單調(diào)遞增，利用零點存在性定理可知存在唯一的，
由化簡后可得，利用均值不等式及等號成立條件即可得證.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，由可得，
解得，即，
故不等式的解為.
【小問2詳解】
因為與均為增函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，
，
所以存在唯一的，使得，
即函數(shù)有唯一零點，
所以，即，
所以，即，
所以，
因為，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)與時等號成立.
當(dāng)時，由知，即，所以等號不成立，
所以.

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