一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】集合，集合，
所以.
故選：C.
2. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由全稱命題的否定是特稱可得命題“”的否定是.
故選：D.
3. 如圖，在平行四邊形ABCD中，為對角線的交點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故選：A.
4. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 33
【答案】B
【解析】函數(shù)，則，
所以.
故選：B.
5. 如圖，①②③④對應(yīng)四個冪函數(shù)的圖像，則①對應(yīng)的冪函數(shù)可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由圖可知，①對應(yīng)的冪函數(shù)：函數(shù)的定義域為，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，
且圖象呈現(xiàn)上凸趨勢，則指數(shù)的值滿足，排除選項AD；
又的定義域為R，的定義域為，故符合題意.
故選：C.
6. 已知a，b均為正實數(shù)，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由a，b均為正實數(shù)，，
得
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以.
故選：D.
7. 某中學(xué)的學(xué)生社團準(zhǔn)備進行一次針對本校學(xué)生在食堂加塞插隊行為的調(diào)查，為了消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能如實作答，學(xué)生社團精心設(shè)計了一份問卷：
學(xué)生社團隨機選取了400名學(xué)生進行問卷調(diào)查，問卷全部被收回，且有效．已知問卷中有115張勾選“是”．根據(jù)上述的調(diào)查結(jié)果，估計該校學(xué)生在食堂有加塞插隊行為的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依題意，拋擲一枚硬幣，得到正面或反面是等可能的，
則回答第一個問題的人數(shù)為人，回答第二個問題的人數(shù)為人，
又身份證號碼最后一個數(shù)是否為奇數(shù)是等可能，
則回答第一個問題選擇是的人數(shù)為，
因此回答第二個問題選擇是的人數(shù)為人，
所以估計該校學(xué)生在食堂有加塞插隊行為的概率為.
故選：A.
8. 已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意可得令，定義域為，
則，
所以，即為奇函數(shù)，
又由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在定義域上為增函數(shù)，
所以
，
等價于，解得或.
故選：B.
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列各組向量中，不能作為基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】要使平面中兩個向量作為基底，
必須滿足是非零向量，且不共線，即不存在倍數(shù)關(guān)系，故A正確；
對于B，由，B正確；
對于D，由，D正確；
對于C，兩向量不存在倍數(shù)關(guān)系，所以C錯誤.
故選：ABD.
10. 在高一年級隨機抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：
則下列說法正確是（ ）
A. 男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86
B. 男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于女生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)
C. 女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變
D. 女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變
【答案】BC
【解析】對于A：，所以男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是，
故A錯誤；
對于B: 男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，女生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為87，故B正確；
對于C：女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：
，故C正確；
對于D：女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，
但是極差變小，所以方差變小，故D錯誤.
故選：BC.
11. 定義域為R的函數(shù)滿足，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（ ）
A. 的圖像關(guān)于點對稱B. 的圖像關(guān)于點對稱
C. D. 若，則
【答案】ACD
【解析】由，得，所以，
所以的圖像關(guān)于點對稱，故選項A正確；
由得，即，
所以的圖像關(guān)于點對稱，
又因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，
則，所以，所以，
所以，即，所以是周期函數(shù)，且周期為，
故選項B錯誤，C正確；
若，且的圖像關(guān)于點對稱，所以，所以，
所以，所以，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，則______．
【答案】
【解析】由，得，而，
所以.
13. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是_______________．
【答案】
【解析】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
得.
14. 若，則的最大值為______．
【答案】1
【解析】因為，所以，所以，
則
，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，集合．
（1）當(dāng)時，求；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時，，
所以或，
又，所以或.
（2）因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，
則，所以，，
當(dāng)時，，，
由題意，解得；
當(dāng)時，，，
由題意，解得；
綜上實數(shù)的取值范圍為或．
16. 某校的體育組為了了解本校高一學(xué)生的體能狀況，隨機抽取了名高一學(xué)生進行體能測試，將所得評分（百分制）按體育組制定的體能測試評價標(biāo)準(zhǔn)整理，得到頻率分布直方圖．已知評分在[70，80）中的學(xué)生有100人．體能測試評價標(biāo)準(zhǔn)如下表：
（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；
（2）在抽取的體能等級為的學(xué)生中，按照測試評分的分組，分為兩層，通過分層抽樣抽取出三人進行體能訓(xùn)練．根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)體能訓(xùn)練后，測試評分在40,50中的學(xué)生的體能等級轉(zhuǎn)為的概率為，測試評分在中的學(xué)生的體能等級轉(zhuǎn)為的概率為，假設(shè)經(jīng)體能訓(xùn)練后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，求在抽取出的三人中，經(jīng)體能訓(xùn)練后至少有一人的體能等級轉(zhuǎn)為的概率.
解：（1）由已知條件可得，
又因為每組的小矩形的面積之和為1.
所以，解得.
（2）由（1）可知：，
所以調(diào)查評分在40,50中的人數(shù)是調(diào)查評分在中人數(shù)的，
若按分層抽樣抽取3人，則調(diào)查評分在40,50中有1人，在中有2人，
設(shè)事件“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B”.
因為經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，
所以，
所以，
故經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為·
17. 若函數(shù)的定義域、值域均為，則稱為區(qū)間上的方正函數(shù)．
（1）若為區(qū)間上的方正函數(shù)，求實數(shù)的值；
（2）是否存在實數(shù)對，使得函數(shù)為區(qū)間上的方正函數(shù)？若存在，請寫出符合要求的所有實數(shù)對，若不存在，請說明理由．
解：（1）因為，函數(shù)圖象開口向上，且對稱軸為，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由題意，為區(qū)間上的方正函數(shù)，
所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，，解得或（舍去）.
因此，若為區(qū)間上的方正函數(shù)，則實數(shù)的值為.
（2）不存在，理由如下：
對函數(shù)，因為，
所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，
又當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由奇函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.
如存在實數(shù)對，使得函數(shù)為區(qū)間上的方正函數(shù)，
則，即，
又，顯然，所以，，所以，
即，解得，這與矛盾.
故不存在實數(shù)對，使得函數(shù)為區(qū)間上的方正函數(shù).
18. 如圖1所示，在中，點在線段BC上，滿足是線段AB上的點，且滿足，線段CG與線段AD交于點．
（1）若，求實數(shù)x，y的值；
（2）若，求實數(shù)的值；
（3）如圖2，過點的直線與邊AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，設(shè)，，求的最小值．
解：（1）因為，所以，
所以，
所以.
（2）由題意可知：，
，
又因為三點共線，所以存在實數(shù)使得，
，
所以，解得：，
所以.
（3）易知，
由（2）知
，
又因為三點共線,所以，
又，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.
19. 已知函數(shù)為偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)的值；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義進行證明；
（3）設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，若關(guān)于的方程有唯一的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）因為是偶函數(shù)，所以f-x=fx，
即，整理得恒成立，
又不恒為0，所以，即.
（2）在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
證明如下：任取，設(shè)，
則
因，所以，
又因為，所以，所以，
即，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）函數(shù)的反函數(shù)為，
方程有唯一的實數(shù)解，
即有唯一的實數(shù)解，
又為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以有唯一的實數(shù)解，
令，則有唯一的正實數(shù)解，
即有唯一的正實數(shù)解，
當(dāng)即時，方程，解得，不滿足題意，
當(dāng)即時，記，則，
當(dāng)即時，函數(shù)開口向下，且，
，則必然與軸有兩個交點，
且分布在軸兩側(cè)，
即有唯一的正實數(shù)解，符合題意；
當(dāng)即時，函數(shù)開口向上，且，
則要使有唯一的正實數(shù)解，則，
解得；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或.男生
82
85
86
87
88
90
90
92
94
96
女生
82
84
85
87
87
87
88
88
90
92
測試評分
[0,40）
[90,100]
體能等級
E
D
C
B
A

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