（考試總分：150分 考試時長：120分鐘）
一、單選題（本題共計8小題，總分40分）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A B. C. D.
4. 人類已進入大數(shù)據(jù)時代，數(shù)據(jù)量已從級別躍升到級別，據(jù)研究結(jié)果表明：某地區(qū)的數(shù)據(jù)量（單位：EB）與時間（單位：年）的關(guān)系符合函數(shù)，其中，．已知2022年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)成為，2023年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)邊為，則2024年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為（ ）
A 1.5EBB. 1.75EBC. 2EBD. 2.25EB
5. 已知函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
6. 若奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
7. 已知則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，為銳角，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題（本題共計3小題，總分18分）
9. 下列說法正確是（ ）
A. 函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱
B. 函數(shù)，且恒過定點
C. 已知命題，則的否定為：
D. 是的充分不必要條件
10. 若函數(shù)同時滿足：（1）對于定義域內(nèi)的任意x，有；（2）對于定義域內(nèi)的任意，，當(dāng)時，有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”，給出下列四個函數(shù)是“理想函數(shù)”的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 由知實數(shù)a，b滿足，則（ ）
A. ab的最大值為
B. 的最大值為
C.
D. 當(dāng)時，的最大值為
三、填空題（本題共計3小題，總分15分）
12. 已知圓心角為2的扇形，其弧長為5，則扇形的面積為___________．
13. 函數(shù)的值域是__________.
14. 已知函數(shù)在上恰有兩個零點，且在上單調(diào)遞減，則下列說法正確是________．
①若，則的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象
②
③在上有且僅有兩條對稱軸
④不存在，使得在上單調(diào)遞減
四、解答題（本題共計5小題，總分77分）
15. 計算
（1）已知.求的值.
（2）已知，且，，求角的值；
16. 已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是12.
（1）求的解析式；
（2）求使方程的根都在區(qū)間內(nèi)的實數(shù)的取值范圍.
17. 設(shè)命題p：函數(shù)定義域為；命題，使得不等式成立．
（1）如果p是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果p，q中只有一個真命題，求實數(shù)a的取值范圍．
18. 如圖，有一塊半徑為R的扇形草地OMN，，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場地ABCD作為兒童樂園使用，其中點A，B在弧MN上，且線段AB平行于線段MN．
（1）設(shè)，用分別表示AB和AD；
（2）當(dāng)為何值時，矩形場地ABCD面積S最大？最大值為多少？
19. 已知．
（1）當(dāng)時，求的值；
（2）若的最小值為，求實數(shù)的值；
（3）是否存在這樣的實數(shù)，使不等式對所有都成立．若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
安徽省合肥市第一中學(xué)淝河校區(qū)2024-2025學(xué)年高一
上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題
（考試總分：150分 考試時長：120分鐘）
一、單選題（本題共計8小題，總分40分）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合，利用交集定于求出.
【詳解】集合，，則.
故選：C
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡得到，即可求解.
【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.
故選：D
3. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解.
【詳解】由不等式，即，解得或，
又由函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
因為在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，
結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：D.
4. 人類已進入大數(shù)據(jù)時代，數(shù)據(jù)量已從級別躍升到級別，據(jù)研究結(jié)果表明：某地區(qū)的數(shù)據(jù)量（單位：EB）與時間（單位：年）的關(guān)系符合函數(shù)，其中，．已知2022年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)成為，2023年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)邊為，則2024年該地區(qū)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為（ ）
A. 1.5EBB. 1.75EBC. 2EBD. 2.25EB
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件得，解出，得到，將代入即可求出結(jié)果.
【詳解】由題可得，解得，所以，
當(dāng)時，，
故選：C.
5. 已知函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖象，得到，進而可求出，再根據(jù)圖象，當(dāng)時，函數(shù)取到最大值，得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】由圖易知，，，得到，
又，，所以，
又由圖知，，得到，
又，令，得到，所以，
故選：B.
6. 若奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，用代替，得到，聯(lián)立方程組，求得的解析式，進而求得的值.
【詳解】由，用代替，可得，
因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，
聯(lián)立，解得，，
所以，，則．
故選：D．
7. 已知則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的性質(zhì)，分別求得的范圍，即可求解.
【詳解】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得，即，所以，
又由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，
又因為，所以.
故選：D.
8. 已知，為銳角，，則的最小值為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式，先進行化簡，然后代入到所求式子后，結(jié)合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，
所以的最小值為.
故選：A.
【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換以及基本不等式的運用，涉及誘導(dǎo)公式、兩角和的正切公式，考查化簡計算能力.
二、多選題（本題共計3小題，總分18分）
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)與圖象關(guān)于原點對稱
B. 函數(shù)，且恒過定點
C. 已知命題，則否定為：
D. 是的充分不必要條件
【答案】AC
【解析】
【分析】A：根據(jù)圖象上任意一點的對稱點所滿足的關(guān)系式判斷；B：令，由此確定出所過定點坐標(biāo)；C：通過修改量詞否定結(jié)論可得結(jié)果；D：根據(jù)與的互相推出情況進行判斷.
【詳解】對于A：設(shè)上任意一點，其關(guān)于原點的對稱點為，
所以，所以，所以，即為圖象上任意一點，故A正確；
對于B：令，所以，此時，所以過定點，故B錯誤；
對于C：修改量詞否定結(jié)論可得，故C正確；
對于D：不能推出，但一定能推出，所以是的必要不充分條件，故D錯誤；
故選：AC.
10. 若函數(shù)同時滿足：（1）對于定義域內(nèi)的任意x，有；（2）對于定義域內(nèi)的任意，，當(dāng)時，有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”，給出下列四個函數(shù)是“理想函數(shù)”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知得“理想函數(shù)”既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，由此判斷所給四個函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，能求出結(jié)果．
【詳解】函數(shù)同時滿足（1）對于定義域上的任意，恒有；
（2）對于定義域上的任意，，當(dāng)時，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”，
“理想函數(shù)”既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)，
對A：是偶函數(shù)，且不是單調(diào)函數(shù)，故A不是“理想函數(shù)”；
對B：是奇函數(shù)，且是減函數(shù)，故B是“理想函數(shù)”；
對C：是奇函數(shù)，但在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，故C不是“理想函數(shù)”;
對D：，定義域為，，
所以，所以是奇函數(shù)，且是上的減函數(shù)，故D是“理想函數(shù)”．
故選：BD
11. 由知實數(shù)a，b滿足，則（ ）
A. ab的最大值為
B. 的最大值為
C.
D. 當(dāng)時，最大值為
【答案】AC
【解析】
【分析】由不等式，可判定A正確；設(shè)，聯(lián)立方程組，結(jié)合，可判定B不正確；設(shè)，聯(lián)立方程組，可判定C正確；，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定D不正確.
【詳解】對于A中，由不等式，可得，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以A正確；
對于B中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，
由，解得，可得，
所以的最大值為，所以B不正確；
對于C中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，
由，解得，可得，
所以的最大值為，所以C正確；
對于D中，由，即，
設(shè)，則，
設(shè)，可得，可得，
因為，可得，即，
不妨設(shè)，可得
則，
所以
又因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以無最大值，所以D不正確.
故選：AC.
三、填空題（本題共計3小題，總分15分）
12. 已知圓心角為2的扇形，其弧長為5，則扇形的面積為___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合扇形的弧長和面積公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.
【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，
因為扇形的圓心角為且弧長為，可得，解得，
所以扇形的面積為.
故答案為：.
13. 函數(shù)的值域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】的定義域為，
由于函數(shù)和函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，
故值域為，
故答案為：
14. 已知函數(shù)在上恰有兩個零點，且在上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是________．
①若，則的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象
②
③在上有且僅有兩條對稱軸
④不存在，使得在上單調(diào)遞減
【答案】②③④
【解析】
【分析】利用函數(shù)圖象變換和誘導(dǎo)公式可以判定①錯誤；根據(jù)零點條件和單調(diào)性，列出不等式組，求解得到的范圍，從而判定②正確；利用三角函數(shù)的對稱軸求得的對稱軸，根據(jù)②中被判定正確得的范圍，對稱軸條數(shù)判斷 ③；根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，列出方程組，求得的范圍，再與②中的范圍對照，無交集，得出矛盾，判斷④錯誤.
【詳解】對①：
當(dāng)時，的圖象向右平移個單位，
得的圖象，故①錯；
對于②：當(dāng)時，．
余弦函數(shù)在的零點依次是，
在上恰有兩個零點，
所以（i）．
由，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
因為已知函數(shù)在上遞減，
所以存在實數(shù)使得，整理的.
又，所以，解得，
又因為，所以，所以（ii），
由（i）（ii）得，故②正確；
對③：由于余弦函數(shù)的零點為,
所以函數(shù)的零點對應(yīng)，解得，.
由，得，所以，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
當(dāng)時， x≥7π3ω>7π3×4=7π12>π2，
所以函數(shù)在上有2條對稱軸，故③正確；
對④：若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則存在整數(shù)使得成立，
整理的.
所以，解得，又因為，所以.
2k+3≥ω>0，解得，又因為又因為，所以.
所以，所以：，
因為，所以與②的結(jié)論矛盾．
滿足條件的不存在，故④正確．
故答案為：②③④.
四、解答題（本題共計5小題，總分77分）
15. 計算
（1）已知.求的值.
（2）已知，且，，求角的值；
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和齊次式化簡，化為關(guān)于的式子，代入求值即可；
（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系及角的范圍得到和，從而利用余弦差角公式求出，從而求出角的值.
【小問1詳解】
因為，
所以.
【小問2詳解】
因為，所以，
因為，所以，
因為，所以，
故
，
因為，
所以.
16. 已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是12.
（1）求的解析式；
（2）求使方程的根都在區(qū)間內(nèi)的實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可設(shè)，且，由在區(qū)間上的最大值是12，可得，求出的值，從而可求出的解析式，
（2）轉(zhuǎn)化為方程的根都在區(qū)間內(nèi)，令，則可得從而可求出實數(shù)的取值范圍
【小問1詳解】
因為是二次函數(shù)，且的解集是，
所以可設(shè)，
且易知，所以在區(qū)間上的最大值是，
由已知得，所以，所以.
【小問2詳解】
方程等價于.
設(shè)，依題意有解得，
所以實數(shù)的取值范圍.
17. 設(shè)命題p：函數(shù)定義域為；命題，使得不等式成立．
（1）如果p是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果p，q中只有一個真命題，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，得到在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解；
（2）由（1）知，再由命題真命題，得到，根據(jù)中只有一個真命題，分類討論，即可求解.
【小問1詳解】
解：由命題函數(shù)定義域為，
設(shè)，則在上恒成立，
當(dāng)時，，不能恒成立，不符合題意（舍去）；
當(dāng)時，則滿足，解得，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.
【小問2詳解】
解：由（1）知，命題為真命題，則，
又由命題 ，使得不等式成立，
當(dāng)時，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以，
因為中只有一個真命題，
當(dāng)為真命題，為假命題時，可得，解得；
當(dāng)為假命題，為真命題時，可得，此時無解，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.
18. 如圖，有一塊半徑為R的扇形草地OMN，，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場地ABCD作為兒童樂園使用，其中點A，B在弧MN上，且線段AB平行于線段MN．
（1）設(shè)，用分別表示AB和AD；
（2）當(dāng)為何值時，矩形場地ABCD的面積S最大？最大值為多少？
【答案】（1），.
（2）當(dāng)時，最大，為
【解析】
【分析】借助三角函數(shù)表示和，進一步表示矩形的面積，可求矩形面積的最大值.
【小問1詳解】
如圖：過做于.
則，所以，.
【小問2詳解】
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時取“”.
故當(dāng)時矩形場地的面積最大且最大為.
19. 已知．
（1）當(dāng)時，求的值；
（2）若的最小值為，求實數(shù)的值；
（3）是否存在這樣的實數(shù)，使不等式對所有都成立．若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，的取值范圍為
【解析】
【分析】（1）先化簡，再代入進行求解；（2）換元法，化為二次函數(shù)，結(jié)合對稱軸分類討論，求出最小值時m的值；（3）換元法，參變分離，轉(zhuǎn)化為在恒成立，根據(jù)單調(diào)性求出取得最大值，進而求出的取值范圍.
【小問1詳解】
，
當(dāng)時，
【小問2詳解】
設(shè)，則，
，，其對稱軸為，
的最小值為，
則；
的最小值為；
則
綜上，或
【小問3詳解】
由，對所有都成立.
設(shè)，則，
恒成立，

在恒成立，
當(dāng)時，遞減，則在遞增，
時取得最大值
得,
∴
所以存在符合條件的實數(shù)，且m的取值范圍為

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