考試用時：90分鐘 滿分：120分
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1. 在空間直角坐標系中，點關于x軸對稱的點坐標是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間直角坐標系對稱點的特征即可求解.
【詳解】在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點坐標為.
故選：C.
2. 已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構成空間的一個基底的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，空間的一組基底，必須是不共面的三個向量求解判斷.
【詳解】對于A，設，即，解得，
所以，，共面，不能構成空間的一個基底，故A錯誤；
對于B，設，無解，
所以不共面，能構成空間的一組基底，故B正確；
對于C，設，解得，
所以共面，不能構成空間的一個基底，故C錯誤；
對于D，設，解得，
所以共面，不能構成空間的一個基底，故D錯誤.
故選：B.
3. 空間四邊形中，，，，點在上，，點為的中點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結合圖形和題設條件，利用向量的加減數(shù)乘運算即得.
【詳解】
如圖，連結，因，點為的中點，則，
于是，.
故選：B.
4. 若向量是空間中的一個基底，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序實數(shù)組，使得：，我們把有序實數(shù)組叫做基底下向量的斜坐標.設向量在基底下的斜坐標為，則向量在基底下的斜坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助待定系數(shù)法設，結合所給定義及其在基底下的斜坐標計算即可得.
【詳解】由題意可得，
設，
即有，
即可得，解得，即，
即向量在基底下的斜坐標為.
故選：A.
5. 已知，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用向量的夾角運算及數(shù)量積運算求解投影向量.
【詳解】因為，則向量在向量上的投影為，
所以向量在向量上的投影向量是.
故選:C．
6. 設O為坐標原點，向量，，，點Q在直線上運動，當取最小值時，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設，從而可得,的坐標，再利用空間向量的數(shù)量積運算求解的最小值，即可得的值．
【詳解】，，，點在直線上運動，
可設，
，，
，
當時，取得最小值，
.
故選：B．
7. 如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側面是正方形，且，，，若P是與交點，則異面直線與的夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平行六面體的結構特征及向量對應線段位置關系，結合向量加法、數(shù)乘的幾何意義,將、，用基底表示出來，在應用向量數(shù)量積的運算律即可.
【詳解】在平行六面體中,
四邊形是平行四邊形,側面是正方形,
又是的交點,
所以是中點,
因為,,,
所以，
所以
，
所以
又，
所以
，
可得,，
所以異面直線與的夾角的余弦值為.
故選：A.
8. 邊長為1的正方體中，，分別是，中點，是靠近的四等分點，在正方體內部或表面，，則的最大值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系，設，從而求得，再根據(jù)向量模長公式結合即可求解.
【詳解】
如圖，建立空間直角坐標系，設，
則，
所以，則，
因為，又，
所以，即，
所以，
又，所以，當且僅當，此時時，等號成立，
所以的最大值是.
故選：D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 關于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A. 若，則向量，的夾角是銳角
B. 空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面
C. 若對空間中任意一點O，有，則四點共面
D. 若分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不共面
【答案】BC
【解析】
【分析】舉反例判斷A，利用空間向量共面定理判斷B，利用空間向量的線性運算判斷C，利用空間向量的平移性質判斷D即可.
【詳解】對于A，當，的夾角為時，，故A錯誤，
對于B，由空間向量共面定理得，對于空間中的三個向量，
若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，故B正確，
對于C，因為，
所以，
所以四點共面，故C正確，
對于D，由向量平移性質可得，空間中任意兩個向量一定共面，故D錯誤.
故選：BC
10. 已知三棱錐如圖所示，G為重心，點M，F(xiàn)為中點，點D，E分別在上，，（），以下說法正確的是（ ）

A 若，則平面∥平面
B.
C.
D. 若M，D，E，F(xiàn)四點共面，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】對于A，由中位線得，結合線面平行、面面平行的判定定理即可得證；對于BC，直接由圖形的性質分解向量即可；對于D由B中結論變形為，由四點共面的充要條件即可判斷.
【詳解】對于A，若，即分別為的中點，又點為的中點，
所以，
又面，面，
所以面，同理可證面，
又面，
所以平面∥平面，故A正確；
對于BCD，如圖所示：

設中點為，連接，因為點G為重心，
所以點在線段上面，
所以
，故B正確；
對于C，
，故C正確；
因為，
所以，
若M，D，E，F(xiàn)四點共面，則，解得，故D錯誤.
故選：ABC.
11. 在平行六面體中，記，設，下列結論中正確的是（ ）.
A. 若點P在直線上，則
B. 若點P在直線上，則
C. 若點P在平面內，則
D. 若點P在平面內，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的基本定理可判斷A，B；結合四點共面的結論可判斷C，D.
【詳解】對于A，若點P在直線上，則，則，
由于三點共線，故，A錯誤；
對于B，若點P在直線上，則，而，
結合，得，B正確；
對于C，若點P在平面內，即四點共面，
則由，可知，C正確，
對于D，若點P在平面內，則，
則，
又，則，D正確，
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知空間兩點，，向量滿足，則實數(shù)_________.
【答案】0
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線列方程，解方程即可.
【詳解】由題意得,
因為，所以，
則，解得.
故答案為：0.
13. 在三棱錐中，平面，是邊長為2的正三角形，點F滿足，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得，，利用計算可得結論.
【詳解】因為平面，平面，所以，，
所以，，

因為，所以，
因為，所以，
因為，
．
故答案為：.
14. 已知異面直線所成的角為在直線上，在直線上，，，，，，則間的距離為_________.
【答案】或4
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量基本定理，以向量為基底表示向量，利用向量計算空間兩點間距離．
【詳解】以向量，，為基底，由題知：
，，，，，或，
，
當 時，，
，
當時，，
．
故答案為：或4
四、解答題：第15題和第16題各15分，第17題17分，共47分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在直三棱柱中，，，棱，N為的中點.

（1）求；
（2）求直線與所成角的余弦值.
【答案】（1）-1 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線性運算得到，，然后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算即可；
（2）利用數(shù)量積的運算律得到，然后求夾角的余弦值即可.
【小問1詳解】
因為，，所以，
.
【小問2詳解】
，
因為直棱柱，所以，，
所以，，
設直線與直線所成角為，
所則.
16. 已知空間四點，，，.
（1）若向量與互相垂直，求實數(shù)的值：
（2）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積：
（3）若D點在平面上，求實數(shù)n的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用空間向量垂直的坐標表示建立方程，求解參數(shù)即可.
（2）利用空間向量結合同角三角函數(shù)的基本關系求出，再利用三角形面積公式并結合題意求解即可.
（3）將點共面問題轉化為向量共面問題，利用向量共面的充要條件建立方程，求解即可.
【小問1詳解】
因為，，，，
所以，，，
所以，，
因為向量與互相垂直，所以，
化簡得，解得，
【小問2詳解】
因為，，且設夾角為，
所以，而恒成立，
所以，而，，
所以平行四邊形的面積為，
【小問3詳解】
因為D點在平面上，所以四點共面，
所以共面，而由題意得，，，
故存在，使得，所以，，
，解得，故實數(shù)n的值為.
17. 若，則稱為維空間向量集，為零向量，對于，任意，定義：
①數(shù)乘運算：；
②加法運算：；
③數(shù)量積運算：；
④向量的模：，
對于中一組向量，若存在一組不同時為零的實數(shù)使得，則稱這組向量線性相關，否則稱為線性無關，
（1）對于，判斷下列各組向量是否線性相關：
①；
②；
（2）已知線性無關，試判斷是否線性相關，并說明理由；
（3）證明：對于中的任意兩個元素，均有，
【答案】（1）①線性相關，②線性相關
（2）線性無關，理由見解析
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）（2）利用維空間向量線性相關的定義進行列式判斷即可得解；
（3）利用維空間向量的數(shù)量積與模的公式，結合完全平方公式即可得證.
【小問1詳解】
對于①，假設與線性相關，
則存在不全為零的實數(shù)使得，
則，即，
可取，所以線性相關，
對于②，假設線性相關，
則存在不全為零的實數(shù)使得，
則，得，
可取，所以線性相關.
【小問2詳解】
假設線性相關，
則存在不全為零的實數(shù)，
使得，
則，
因為線性無關，
所以，得，矛盾，
所以向量線性無關.
【小問3詳解】
設，
則，
所以，
又，
所以
，
當且僅當同時成立時，等號成立，
所以
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是利用類比法，類比平面向量到維空間向量，利用平面向量的性質與結論列式推理，從而得解.

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