一、單選題
1. 已知集合，，，則下列結論錯誤的是（ ）
A. B. 集合有7個元素C. D.
2. 下列各角中，與2286°角終邊相同的角是（ ）
A. 36°B. 126°C. 216°D.
3. 如圖，終邊在陰影部分（含邊界）的角的集合是
A.
B.
C.
D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5. 已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，則f（2022）等于（ ）
A. ﹣6B. ﹣3C. 0D. 3
6. 我們學過度量角有角度制與弧度制，最近，有學者提出用“面度制”度量角，因為在半徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度數(shù)為，則角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
7. 中國歷代書畫家喜歡在紙扇扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，若扇環(huán)所在圓的圓心角，則扇環(huán)的面積為（ ）
A. B. C. D.
8. 定義在上的函數(shù)滿足，且對任意的，，都有，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、多選題
9. 下列說法中，不正確的是（ ）
A. 第二象限角都是鈍角
B 第二象限角大于第一象限角
C. 若角與角不相等，則與的終邊不可能重合
D. 若角與角的終邊在一條直線上，則
10. 若函數(shù)的定義域為，最大值、最小值分別為，，則實數(shù)的值可能為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
11. 已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則（ ）
A. 的周期為2
B.
C. 的所有零點之和為14
D.
三、填空題
12. 已知某同學10次數(shù)學測試多項選擇題得分如下：8，12，10，13，9，12，15，11，14，16，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為________．
13. 已知隨機事件中，與相互獨立，且，，則__________.
14. 函數(shù)的定義域是_________．
四、解答題
15. （1）化簡：；
（2）已知角終邊上一點，求的值．
16. 已知扇形圓心角是，半徑為R，弧長為l．
（1）若，求扇形的弧長l；
（2）若，求扇形弧所在的弓形的面積；
（3）若扇形的周長是，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
17. 已知函數(shù)，且．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若，求函數(shù)的值域．
18. 贛州市是我國當今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之譽，是客家先民中原南遷的第一站，世稱“客家搖籃”，被命名為“國家歷史文化名城”、“中國優(yōu)秀旅游城市”.目前，贛州市形成了“紅色故都、客家搖籃、江南宋城、生態(tài)家園、世界橙鄉(xiāng)、堪輿圣地”六大旅游品牌年國慶假期，贛州旅游再次火爆“出圈”.據(jù)統(tǒng)計，10月1日至7日，全市共接待游客萬人次.為了解游客的旅游體驗滿意度，某研究性學習小組用問卷調查的方式隨機調查了100名游客，并將收集到的游客滿意度分值數(shù)據(jù)滿分100分分成六段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計100名游客滿意度分值的中位數(shù)結果保留整數(shù)
（2）用分層隨機抽樣的方法從中抽取5個人，再從這5個人中隨機抽兩人進行深入訪談，求2人滿意度分值在同一區(qū)間的概率;
（3）已知滿意度分值在的平均數(shù)，方差，在的平均數(shù)為，方差，試求滿意度分值在的平均數(shù)和方差
19. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)．對數(shù)運算與指數(shù)冪運算是兩類重要的運算.18世紀，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關系，并進一步指出：對數(shù)源出于指數(shù)．然而對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這成為數(shù)學史上的珍聞．
（1）試利用對數(shù)運算性質計算的值；
（2）已知為正數(shù)，若，求值；
（3）定義：一個自然數(shù)的數(shù)位的個數(shù)，叫做位數(shù)，例如23的位數(shù)是2，2024的位數(shù)是4．試判斷的位數(shù)．（注）
全南中學高一年級下學期3月份月考
高一數(shù)學試卷
一、單選題
1. 已知集合，，，則下列結論錯誤的是（ ）
A. B. 集合有7個元素C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出全集中的元素，根據(jù)集合的交并補運算逐項檢驗是否正確.
【詳解】由題意知共7個元素,故，，，所以A，B，D三項正確，C項錯誤.
故選：C
2. 下列各角中，與2286°角終邊相同的角是（ ）
A. 36°B. 126°C. 216°D.
【答案】B
【解析】
【分析】由終邊相同角的定義判斷即可.
【詳解】因為，
所以與角終邊相同的角是126°.
故選：B.
3. 如圖，終邊在陰影部分（含邊界）的角的集合是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】在間陰影部分區(qū)域表示的角的范圍是，然后再寫出終邊落在陰影部分的區(qū)域內的角的集合.
【詳解】解：在間陰影部分區(qū)域中邊界兩條終邊表示角分別為，.
所以陰影部分的區(qū)域在間的范圍是.
所以終邊在陰影部分區(qū)域的角的集合為：.
故選：C.
【點睛】本題考查了象限角，終邊相同的角的集合表示法，某一范圍內角的集合的表示法，屬于基礎.題.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】結合方式不等式的解法，利用充分條件和必要條件的定義求解.
【詳解】由，得，即，故充分；
由，得，即，則或，故不必要.
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
5. 已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，則f（2022）等于（ ）
A. ﹣6B. ﹣3C. 0D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】分析可得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此可得，即可求解，得到答案．
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)對任意的實數(shù)均有，即，
則有，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
則，故選B．
【點睛】本題主要考查了函數(shù)的周期的判定及其應用，其中解答中根據(jù)題設條件，求得函數(shù)的周期是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．
6. 我們學過度量角有角度制與弧度制，最近，有學者提出用“面度制”度量角，因為在半徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度數(shù)為，則角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)面度數(shù)的定義，可求得角的弧度數(shù)，繼而求得答案.
【詳解】設角所在的扇形的半徑為r，則，
所以，
所以，
故選：D．
7. 中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，若扇環(huán)所在圓的圓心角，則扇環(huán)的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設扇環(huán)所在圓的圓心為，結合扇形的弧長公式求出，，進而結合扇形的面積公式求解即可.
【詳解】如圖，設扇環(huán)所在圓的圓心為，圓心角，
根據(jù)，得到，
所以扇環(huán)面積.
故選：A.
8. 定義在上的函數(shù)滿足，且對任意的，，都有，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由條件，可知函數(shù)關于對稱，由對任意都有，可知函數(shù)在時單調遞增，然后根據(jù)單調性和對稱性即可得到，化簡即可求解．
【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，
又對任意的，，都有，
所以在上單調遞增，
若，則，
解得，
即的取值范圍是.
故選：C.
二、多選題
9. 下列說法中，不正確的是（ ）
A. 第二象限角都是鈍角
B. 第二象限角大于第一象限角
C. 若角與角不相等，則與的終邊不可能重合
D. 若角與角的終邊在一條直線上，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)象限角的定義即可判斷AB；根據(jù)終邊相同的角的關系即可判斷CD.
【詳解】對于A，是第二象限角，但不是鈍角，故A錯誤；
對于B，是第二象限角，是第一象限角，但，故B錯誤；
對于C，，則，但二者終邊重合，故C錯誤；
對于D，角與角的終邊在一條直線上，則二者的終邊重合或相差的整數(shù)倍，
故，故D正確.
故選：ABC.
10. 若函數(shù)的定義域為，最大值、最小值分別為，，則實數(shù)的值可能為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結合二次函數(shù)的性質求參數(shù)．
【詳解】由，得函數(shù)的對稱軸為，
當時，函數(shù)取的最小值為，
當或時，函數(shù)值為，
函數(shù)的定義域為，值域為，
所以，實數(shù)的值可能為．
故選：ABC
11. 已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則（ ）
A. 的周期為2
B.
C. 的所有零點之和為14
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意由的奇偶性和對稱性分析的周期可判斷A選項；結合已知和對稱性得，，，，進而利用周期性求和可判斷B選項；將的零點轉化為函數(shù)圖象的交點問題即可求解C選項；結合與的函數(shù)值的符號，根據(jù)奇函數(shù)的性質和周期性可判斷D選項.
【詳解】為偶函數(shù)，，
，且函數(shù)的圖象關于直線對稱，
又是定義在上的奇函數(shù)，，，
，且函數(shù)的圖象關于點對稱，
函數(shù)的周期為4，故A錯誤；
當時，，，
而，，，
，故B正確；
函數(shù)的零點可看作與的圖象交點的橫坐標，
作出與的圖象，
觀察圖象知，直線與的圖象共有7個交點，且它們關于點成中心對稱，
所有零點之和為，故C正確；
當時，，，與均為奇函數(shù)，
則當時，，，
當時，，
又與的周期都為4，
在上成立，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】結論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質判斷等問題，常見結論：(1)關于對稱：若函數(shù)關于直線軸對稱，則，若函數(shù)關于點中心對稱，則，反之也成立；(2)關于周期：若，或，可知函數(shù)的周期為.
三、填空題
12. 已知某同學10次數(shù)學測試多項選擇題得分如下：8，12，10，13，9，12，15，11，14，16，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為________．
【答案】14
【解析】
【分析】由百分位數(shù)的計算步驟求解即可；
【詳解】將這10次成績從小到大的順序排列如下：8，9，10，11，12，12，13，14，15，16，
∵
∴該組成績的上四分位數(shù)為排序后的第8個數(shù)字14．
故答案為：14
13. 已知隨機事件中，與相互獨立，且，，則__________.
【答案】0.94
【解析】
【分析】根據(jù)和事件的概率公式以及相互獨立事件的概率乘法公式可得答案.
【詳解】因為與相互獨立，
所以，
所以，
故答案為：0.94.
14. 函數(shù)的定義域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)偶次開方的被開方數(shù)為非負且對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0可以得到不等式組求解即可.
【詳解】要使函數(shù)有意義，需
解得：
即
故答案為：
四、解答題
15. （1）化簡：；
（2）已知角終邊上一點，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）應用指對數(shù)的運算性質化簡求值即可；
（2）應用誘導公式化簡及終邊上的點求正切函數(shù)值，即可得結果.
【詳解】（1）
；
（2）由題可知，
則
16. 已知扇形的圓心角是，半徑為R，弧長為l．
（1）若，求扇形的弧長l；
（2）若，求扇形的弧所在的弓形的面積；
（3）若扇形的周長是，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)弧長公式進行計算即可；
（2）由已知利用扇形面積，三角形面積公式即可得解弓形的面積
（3）由題意知，可得，然后結合二次函數(shù)的最值求法可得；
【小問1詳解】
．
【小問2詳解】
設弓形面積為．由題知．
．
【小問3詳解】
由已知得，，
所以．
所以當時，S取得最大值，
此時．
17. 已知函數(shù)，且．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若，求函數(shù)的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由可解得結果；
（2）換元為二次函數(shù)可求出結果.
【小問1詳解】
因，所以，
所以，得.
【小問2詳解】
由（1）知，，
設，因為，所以，
設，，
則當時，，
當時，.
所以函數(shù)的值域為.
18. 贛州市是我國當今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之譽，是客家先民中原南遷的第一站，世稱“客家搖籃”，被命名為“國家歷史文化名城”、“中國優(yōu)秀旅游城市”.目前，贛州市形成了“紅色故都、客家搖籃、江南宋城、生態(tài)家園、世界橙鄉(xiāng)、堪輿圣地”六大旅游品牌年國慶假期，贛州旅游再次火爆“出圈”.據(jù)統(tǒng)計，10月1日至7日，全市共接待游客萬人次.為了解游客的旅游體驗滿意度，某研究性學習小組用問卷調查的方式隨機調查了100名游客，并將收集到的游客滿意度分值數(shù)據(jù)滿分100分分成六段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計100名游客滿意度分值的中位數(shù)結果保留整數(shù)
（2）用分層隨機抽樣方法從中抽取5個人，再從這5個人中隨機抽兩人進行深入訪談，求2人滿意度分值在同一區(qū)間的概率;
（3）已知滿意度分值在的平均數(shù)，方差，在的平均數(shù)為，方差，試求滿意度分值在的平均數(shù)和方差
【答案】（1）
（2）；
（3），
【解析】
【分析】（1）頻率分布直方圖，所有組距對應的頻率之和為，利用這個性質可求出的值.中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排序后，位于中間位置的數(shù)（如果數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)）或中間兩個數(shù)的平均值（如果數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)），根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)需要通過計算累計頻率來確定.
（2）先根據(jù)分層隨機抽樣的原理確定從和中抽取的人數(shù)，然后利用組合數(shù)計算從個人中隨機抽兩人且在同一區(qū)間的概率.
（3）求的平均數(shù)和方差，可根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式，結合已知區(qū)間的平均數(shù)和方差進行計算.
【小問1詳解】
由，解得
滿意度分值在頻率為，
在的頻率為，
所以中位數(shù)落在區(qū)間內，
所以中位數(shù)為
【小問2詳解】
從中抽取2人，記為A，B，
從中抽取3人，記為a，b，c
所以5個人中隨機抽取兩人，所以抽取的結果有：，共有10種情況，
取到2人滿意度分值在同一區(qū)間有有4種情況，所以概率為，
人滿意度分值在同一區(qū)間的概率為；
【小問3詳解】
滿意度分值在的頻率為，人數(shù)為
在的頻率為，人數(shù)為30，
滿意度分值在的平均數(shù)，方差，
在的平均數(shù)，方差，
所以滿意度分值在的平均數(shù)，
滿意度分值在的方差為s22-2]
19. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)．對數(shù)運算與指數(shù)冪運算是兩類重要的運算.18世紀，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關系，并進一步指出：對數(shù)源出于指數(shù)．然而對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這成為數(shù)學史上的珍聞．
（1）試利用對數(shù)運算性質計算的值；
（2）已知為正數(shù)，若，求的值；
（3）定義：一個自然數(shù)的數(shù)位的個數(shù)，叫做位數(shù)，例如23的位數(shù)是2，2024的位數(shù)是4．試判斷的位數(shù)．（注）
【答案】（1）
（2）
（3）610
【解析】
【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質計算即可；
（2）令，則，根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的互化可得，利用對數(shù)的換底公式化簡原式即可；
（3）利用對數(shù)的運算性質可得，結合位數(shù)的定義即可得出結果.
【小問1詳解】
原式；
【小問2詳解】
由題意知，令，則，
所以，
所以；
【小問3詳解】
設，則，又，
所以，
所以，則，
所以的位數(shù)為610．

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