1. 稀土是鈧、釔、鑭系種元素總稱，素有“工業(yè)味精”之美譽(yù)，是我國(guó)重要的戰(zhàn)略礦產(chǎn)資源．年我國(guó)稀土勘探在四川涼山取得新突破，預(yù)期新增稀土資源量萬(wàn)噸．將用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
2. 魯班鎖起源于我國(guó)古代建筑中的卯結(jié)構(gòu)．圖2是六根魯班鎖（圖1）中的一個(gè)構(gòu)件，從前面看這個(gè)構(gòu)件，可以得到的圖形是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列計(jì)算正確是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車無(wú)疑將成為未來(lái)汽車的發(fā)展方向．下面關(guān)于新能源汽車新勢(shì)力品牌的圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在一個(gè)不透明的盒子中裝有個(gè)白球，其余為黃球，它們除顏色不同外，其余都相同，若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，顏色是白球的概率為，則黃球的個(gè)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
6. 如圖，五線譜由等距離的五條平行橫線組成，現(xiàn)有一條截線與五線譜交于點(diǎn)，，．若線段，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A. B. 2C. 3D. 9
7. 《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題，其大意：個(gè)和尚分個(gè)饅頭，大和尚人分個(gè)饅頭，小和尚人分個(gè)饅頭．問(wèn)大、小和尚各有多少人？設(shè)大和尚有人，小和尚有人，則可列方程組為（ ）
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以原點(diǎn)為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的，可以得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A B. 或C. 或D.
9. 如下圖左，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸的夾角為，且點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B在x軸上方，設(shè)，那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
10. 如圖，在長(zhǎng)方形中，在線段上取一點(diǎn)M，使得，以點(diǎn)M為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)A、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，作直線交于點(diǎn)E，連接、，若，則等于（ ）
A. B. C. D.
二．填空題（共5小題15分）
11. 已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于44，則m的值是_________
12. 如圖，已知中，，，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．
13. 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，邊，分別在軸、軸的正半軸上，頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)的圖象與正方形的兩邊，分別相交于點(diǎn)，．若的面積為10，則的值為_(kāi)_____．
14. 如圖1，在正方形中，動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度自D點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)Q以2cm/s的速度自A點(diǎn)出發(fā)沿折線運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)停止，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒，記的面積為，且S與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖2所示，則圖像中m的值為_(kāi)____cm2．
15. 如圖：在四邊形中，，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，且，與相交于點(diǎn)，若，，與相交于點(diǎn)，三角形中，，則的正弦值為_(kāi)_______．
三．解答題（共8題）
16. （1）計(jì)算：；
（2）化簡(jiǎn)求值：．
17. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1）求的值；
（2）求的面積．
18. 某校為了解九年級(jí)學(xué)生對(duì)消防安全知識(shí)掌的情況，隨機(jī)抽取該校九年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并對(duì)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行收集、整理、描述和分析（測(cè)試滿分為100分，學(xué)生測(cè)試成績(jī)x均為不小于60的整數(shù)，分為四個(gè)等級(jí)：，部分信息如下：
信息一：
信息二：學(xué)生成績(jī)?cè)贐等級(jí)的數(shù)據(jù)（單位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）求所抽取的學(xué)生成績(jī)?yōu)镃等級(jí)的人數(shù)，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（2）求所抽取的學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；
（3）該校九年級(jí)共有360名學(xué)生，若全年級(jí)學(xué)生都參加本次測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的人數(shù)．
19. 某村為了提高廣大農(nóng)戶生活水平，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，決定推廣種植某特色水果． 該水果每千克成本為20元，每千克售價(jià)需超過(guò)成本，但不高于50元，某農(nóng)戶日銷售量（千克）與售價(jià)（元/千克）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，部分圖象如圖所示，設(shè)該水果的日銷售利潤(rùn)為元．
（1）分別求出與，與之間的函數(shù)解析式；
（2）該農(nóng)戶決定從每天的銷售利潤(rùn)中拿出100元設(shè)立“救助基金”，以幫助其他鄰居共同致富，若捐款后該農(nóng)戶的剩余利潤(rùn)是900 元，求此時(shí)水果的售價(jià)；
（3）若該水果的日銷量不低于90千克，當(dāng)售價(jià)單價(jià)定為多少元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元．
20. 小偉站在一個(gè)深為3米的泳池邊，他看到泳池內(nèi)有一塊鵝卵石，據(jù)此他提出問(wèn)題：鵝卵石的像到水面的距離是多少米？小偉利用光學(xué)知識(shí)和儀器測(cè)量數(shù)據(jù)解決問(wèn)題，具體研究方案如下：
請(qǐng)你根據(jù)上述信息解決以下問(wèn)題：
（1）求的大??；
（2）求鵝卵石的像G到水面的距離．（結(jié)果精確到）
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
21. 如圖，在中，，點(diǎn)F在上，以為直徑的與邊相切于點(diǎn)D，與邊相交于點(diǎn)E，且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若的長(zhǎng)為，求圖中陰影部分的面積．
22. 實(shí)踐操作：
（1）在矩形中，，，點(diǎn)在上，連接繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好在上．求的值；
（2）在矩形中，，，現(xiàn)將紙片折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在上，折痕為（點(diǎn)、是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），再將紙片還原，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)（如圖②），求證：四邊形為菱形，并求當(dāng)時(shí)的菱形的面積；
拓展延伸：
（3）在矩形中，，，現(xiàn)將紙片折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，折痕為，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在直線上且，線段與射線交于點(diǎn)，射線與射線交于點(diǎn)．直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度．
23. 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于它的橫坐標(biāo)的三倍，則稱該點(diǎn)為“縱三倍點(diǎn)”．例如都是“縱三倍點(diǎn)”．
（1）下列函數(shù)圖象上只有一個(gè)“縱三倍點(diǎn)”的是______；（填序號(hào)）
①；②；③．
（2）已知拋物線（均為常數(shù)）與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，且該交點(diǎn)是“縱三倍點(diǎn)”，求拋物線的解析式；
（3）若拋物線（是常數(shù)，）的圖象上有且只有一個(gè)“縱三倍點(diǎn)”，令，是否存在一個(gè)常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
鞍山二中2025年02月26日九年數(shù)學(xué)驗(yàn)收
一．選擇題（共10小題30分）
1. 稀土是鈧、釔、鑭系種元素的總稱，素有“工業(yè)味精”之美譽(yù)，是我國(guó)重要的戰(zhàn)略礦產(chǎn)資源．年我國(guó)稀土勘探在四川涼山取得新突破，預(yù)期新增稀土資源量萬(wàn)噸．將用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的形式為，其中，為整數(shù)，的值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的數(shù)位相同，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：，
故選：D．
2. 魯班鎖起源于我國(guó)古代建筑中的卯結(jié)構(gòu)．圖2是六根魯班鎖（圖1）中的一個(gè)構(gòu)件，從前面看這個(gè)構(gòu)件，可以得到的圖形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了從不同方向看幾何體．找到從前面看到的圖形即可．
【詳解】解：從前面看這個(gè)構(gòu)件，可以得到的圖形是，
故選：C．
3. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了合并同類項(xiàng)、冪乘方、單項(xiàng)式的除法、同底數(shù)冪的乘法等知識(shí)．根據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算后即可得到答案．
【詳解】A. ，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B. ，故選項(xiàng)正確，符合題意；
C. ，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D. ，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B
4. 在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車無(wú)疑將成為未來(lái)汽車的發(fā)展方向．下面關(guān)于新能源汽車新勢(shì)力品牌的圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形的定義，一個(gè)圖形繞著某固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能夠與原來(lái)的圖形重合，則稱這個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，這個(gè)固定點(diǎn)叫做對(duì)稱中心；尋找對(duì)稱中心是解題的關(guān)鍵；根據(jù)中心對(duì)稱的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】A．找不到一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，不是中心對(duì)稱圖形，故該項(xiàng)符合題意；
B．找不到一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，不是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)符合題意；
C．可以找到一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)符合題意；
D．找不到一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，不是中心對(duì)稱圖形，故選不項(xiàng)符合題意；
故選：C．
5. 在一個(gè)不透明的盒子中裝有個(gè)白球，其余為黃球，它們除顏色不同外，其余都相同，若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，顏色是白球的概率為，則黃球的個(gè)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了根據(jù)概率公式計(jì)算概率，解分式方程等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)概率公式正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)“概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比”，列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為個(gè)，
根據(jù)題意可得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，
，
即：黃球的個(gè)數(shù)是個(gè)，
故選：C．
6. 如圖，五線譜由等距離的五條平行橫線組成，現(xiàn)有一條截線與五線譜交于點(diǎn)，，．若線段，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A. B. 2C. 3D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據(jù)平行線分線段成比例可得，進(jìn)而可求解，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．
【詳解】五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成，
，即：，
解得：，
故選C．
7. 《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題，其大意是：個(gè)和尚分個(gè)饅頭，大和尚人分個(gè)饅頭，小和尚人分個(gè)饅頭．問(wèn)大、小和尚各有多少人？設(shè)大和尚有人，小和尚有人，則可列方程組為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，建立等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
根據(jù)題意列方程組即可．
【詳解】解：根據(jù)題意列方程組得，，
故選： A．
8. 在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以原點(diǎn)為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的，可以得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. 或C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)：位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于位似比解答即可．本題考查了位似圖形的性質(zhì)：位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于位似比，熟練運(yùn)用位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵以點(diǎn)為位似中心，把縮小為原來(lái)的，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴當(dāng)在原點(diǎn)的同側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴當(dāng)在原點(diǎn)的兩側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
故選．
9. 如下圖左，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸的夾角為，且點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B在x軸上方，設(shè)，那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，先求出，過(guò)點(diǎn)B作軸于C，則，進(jìn)而可得，求出，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為，
∴，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作軸于C，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，
故選：D．
10. 如圖，在長(zhǎng)方形中，在線段上取一點(diǎn)M，使得，以點(diǎn)M為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)A、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，作直線交于點(diǎn)E，連接、，若，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了線段垂直平分線的作圖及其性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由長(zhǎng)方形和可得，再根據(jù)作圖可得直線是線段的垂直平分線，得出的度數(shù)，再利用求出的度數(shù)，最后在利用三角形內(nèi)角和定理即可解答．
【詳解】解：如圖，連接，
長(zhǎng)方形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
由作圖可得，直線是線段垂直平分線，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
．
故選：A．
二．填空題（共5小題15分）
11. 已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于44，則m的值是_________
【答案】1
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若，為方程的兩個(gè)根，則，與系數(shù)的關(guān)系式：，．先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，利用完全平方公式得，解出方程，再根據(jù)根的判別式判斷即可．
【詳解】解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，
則，
∴，
令，即，
解得：，
∵方程有實(shí)數(shù)根，
∴，
即：，
綜上所述：．
故答案為：1．
12. 如圖，已知中，，，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，進(jìn)而可得是等邊三角形，于是可得，，則，即是直角三角形，由勾股定理可得，由此即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖，連接，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，
是等邊三角形，
，，
，
為直角三角形，
由勾股定理可得：，
故答案為：．
13. 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，邊，分別在軸、軸的正半軸上，頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)的圖象與正方形的兩邊，分別相交于點(diǎn)，．若的面積為10，則的值為_(kāi)_____．
【答案】24
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
首先得到，設(shè)，，根據(jù)代入求解即可．
【詳解】∵正方形的邊長(zhǎng)為6，
∴
設(shè)，，
∴，，，
∵的面積為10，
∴
∴
解得
∵反比例函數(shù)的圖象在第一象限
∴．
故答案為：24．
14. 如圖1，在正方形中，動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度自D點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)Q以2cm/s的速度自A點(diǎn)出發(fā)沿折線運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)停止，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒，記的面積為，且S與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖2所示，則圖像中m的值為_(kāi)____cm2．
【答案】
【解析】
【分析】由圖1和圖2可知：動(dòng)點(diǎn)P沿方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q沿方向運(yùn)動(dòng)，的面積逐漸變大，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，的面積逐漸最大，最大面積是 ，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q沿方向運(yùn)動(dòng)，的面積逐漸變小，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為acm，運(yùn)動(dòng)了t秒的面積最大，由題意可知：，得，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)Q在線段上，由三角形面積的求法，即可得答案．
【詳解】解：由圖1和圖2可知：動(dòng)點(diǎn)P沿方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q沿方向運(yùn)動(dòng)，的面積逐漸變大，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，的面積逐漸最大，最大面積是，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q沿方向運(yùn)動(dòng)，的面積逐漸變小，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為acm，運(yùn)動(dòng)了t秒的面積最大，由題意可知：
，
當(dāng)，的面積最大，
，
，（舍去），，
當(dāng)時(shí)，，
，可知點(diǎn)Q在線段上，
，
故答案為：1.2．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是求出的面積最大時(shí)，，判斷點(diǎn)Q在線段上．
15. 如圖：在四邊形中，，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，且，與相交于點(diǎn)，若，，與相交于點(diǎn)，三角形中，，則的正弦值為_(kāi)_______．
【答案】或
【解析】
【分析】設(shè)，則，根據(jù)題意得出，則有，由得到，得出是等腰直角三角形，進(jìn)而推出，得到，再利用三角形的內(nèi)角和定理得出，得到，設(shè)，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)正弦的定義即可解答．
【詳解】解：，
設(shè)，則，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得：，；
①當(dāng)，即時(shí)，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得：，
，
在中，；
②當(dāng)，即時(shí)，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得：，
，
在中，；
綜上所述，的正弦值為或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、等腰三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合題目條件找出圖中的等腰三角形是解題的關(guān)鍵．本題屬于幾何綜合題，需要較強(qiáng)的推理論證能力，適合有能力解決幾何難題的學(xué)生．
三．解答題（共8題）
16. （1）計(jì)算：；
（2）化簡(jiǎn)求值：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，負(fù)指數(shù)冪，零次冪，分式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的化簡(jiǎn)，分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
（1）化簡(jiǎn)二次根式，負(fù)指數(shù)冪，零次冪，再根據(jù)加減法即可求解．
（2）首先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的部分，并將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)分式乘法運(yùn)算法則計(jì)算求解．
【詳解】解：（1）
；
（2）
．
17. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1）求的值；
（2）求的面積．
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】（1）將代入得，，計(jì)算求解即可；
（2）由題意知，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)，，可知，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：將代入得，，解得；
∴的值為12；
【小問(wèn)2詳解】
解：由題意知，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
當(dāng)，，
∴，
∴，
∴，
∴的面積為9．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與幾何綜合．解題的關(guān)鍵在于求出坐標(biāo)．
18. 某校為了解九年級(jí)學(xué)生對(duì)消防安全知識(shí)掌的情況，隨機(jī)抽取該校九年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并對(duì)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行收集、整理、描述和分析（測(cè)試滿分為100分，學(xué)生測(cè)試成績(jī)x均為不小于60的整數(shù)，分為四個(gè)等級(jí)：，部分信息如下：
信息一：
信息二：學(xué)生成績(jī)?cè)贐等級(jí)的數(shù)據(jù)（單位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）求所抽取的學(xué)生成績(jī)?yōu)镃等級(jí)的人數(shù)，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（2）求所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；
（3）該校九年級(jí)共有360名學(xué)生，若全年級(jí)學(xué)生都參加本次測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的人數(shù)．
【答案】（1）7，補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析
（2）85 （3）120
【解析】
【分析】本題主要考查中位數(shù)以及用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．
（1）根據(jù)B組的人數(shù)和占比求出抽取學(xué)生總數(shù)，即可求出C等級(jí)的人數(shù)，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（2）根據(jù)中位數(shù)定義求解即可；
（3）先求出樣本中A等級(jí)人數(shù)的占比，再乘以360即可得出結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：（人）
C等級(jí)的人數(shù)為：（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
【小問(wèn)2詳解】
解：30個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，最中間的兩個(gè)是第15、16個(gè)，即84，85，
所以，中位數(shù)是；
【小問(wèn)3詳解】
解：（人），
即估計(jì)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的人數(shù)為120人．
19. 某村為了提高廣大農(nóng)戶的生活水平，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，決定推廣種植某特色水果． 該水果每千克成本為20元，每千克售價(jià)需超過(guò)成本，但不高于50元，某農(nóng)戶日銷售量（千克）與售價(jià)（元/千克）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，部分圖象如圖所示，設(shè)該水果的日銷售利潤(rùn)為元．
（1）分別求出與，與之間的函數(shù)解析式；
（2）該農(nóng)戶決定從每天的銷售利潤(rùn)中拿出100元設(shè)立“救助基金”，以幫助其他鄰居共同致富，若捐款后該農(nóng)戶的剩余利潤(rùn)是900 元，求此時(shí)水果的售價(jià)；
（3）若該水果的日銷量不低于90千克，當(dāng)售價(jià)單價(jià)定為多少元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元．
【答案】（1）；
（2）該食品的售價(jià)為30元/千克
（3）售價(jià)為35元時(shí)，每天獲利最大為1350元
【解析】
【分析】（1）設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為：，代入，，可求得和；根據(jù)利潤(rùn)（售價(jià)進(jìn)價(jià)）銷量，可表示出；
（2）根據(jù)利潤(rùn)（售價(jià)進(jìn)價(jià)）銷量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售價(jià)的范圍是否滿足要求；
（3）根據(jù)該水果的日銷量不低于90千克，可求得，由可知，該圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，從而判斷出時(shí)，有最大值，將代入，可求得答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為：，
把，代入得，
解得，
與函數(shù)關(guān)系式為：

即
【小問(wèn)2詳解】
解：由題意得，，
整理得，
解得，
答：此時(shí)水果的售價(jià)為30元/千克；
【小問(wèn)3詳解】
解：，
解得，
，
，對(duì)稱軸為直線，
∴該圖象開(kāi)口向下，
在時(shí)，隨的增大而增大，
時(shí)，取最大值，此時(shí)（元），
答：售價(jià)為35元時(shí)，每天獲利最大為1350元．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與利潤(rùn)問(wèn)題，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，一元二次方程與利潤(rùn)問(wèn)題，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
20. 小偉站在一個(gè)深為3米的泳池邊，他看到泳池內(nèi)有一塊鵝卵石，據(jù)此他提出問(wèn)題：鵝卵石的像到水面的距離是多少米？小偉利用光學(xué)知識(shí)和儀器測(cè)量數(shù)據(jù)解決問(wèn)題，具體研究方案如下：
請(qǐng)你根據(jù)上述信息解決以下問(wèn)題：
（1）求的大??；
（2）求鵝卵石的像G到水面的距離．（結(jié)果精確到）
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）根據(jù)，求出，然后結(jié)合即可求解；
（2）先求出，在中，利用正切定義求出，在中，，利用正切定義求出即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
21. 如圖，在中，，點(diǎn)F在上，以為直徑的與邊相切于點(diǎn)D，與邊相交于點(diǎn)E，且，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若的長(zhǎng)為，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）陰影部分的面積為．
【解析】
【分析】（1）連接OD，由推出是等邊三角形，再利用全等三角形判定定理證明，得到，再根據(jù)切線的判定定理即可證明；
（2）由的長(zhǎng)計(jì)算出半徑，再根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)求出的邊長(zhǎng)，利用陰影部分面積的面積扇形的面積，計(jì)算即可得到答案．
【小問(wèn)1詳解】
證明：如圖，連接OD，
與相切于點(diǎn)D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是的切線．
【小問(wèn)2詳解】
的長(zhǎng)為，，
，
，
，
，
，
，，
陰影部分的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定與性質(zhì)、扇形面積計(jì)算、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑、扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
22. 實(shí)踐操作：
（1）在矩形中，，，點(diǎn)在上，連接繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好在上．求的值；
（2）在矩形中，，，現(xiàn)將紙片折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在上，折痕為（點(diǎn)、是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），再將紙片還原，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)（如圖②），求證：四邊形為菱形，并求當(dāng)時(shí)的菱形的面積；
拓展延伸：
（3）在矩形中，，，現(xiàn)將紙片折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，折痕為，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在直線上且，線段與射線交于點(diǎn)，射線與射線交于點(diǎn)．直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，菱形的面積為；（3）線段的長(zhǎng)度為或
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形與折疊，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)；
（1）由矩形和旋轉(zhuǎn)可證明，， ，求出，再利用勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)度即可；
（2）由折疊可得垂直平分，得到，，，再證明得到，即可得到，則四邊形為菱形，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
在中，由勾股定理列方程求解即可；
（3）根據(jù)點(diǎn)在線段和線段外分情況討論，由折疊可得，，，得到，得到，再代入解方程即可．
【詳解】解：（1）∵矩形中，，，
∴，，，
∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵矩形中，，，
∴，，，，
∴，
由折疊可得垂直平分，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為菱形，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴菱形的面積為：；
（3）∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，，
由折疊可得：，，，
∵
∴，
∴，
∴，
解得；
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，如圖，，
由折疊可得：，，，
∵
∴，
∴，
∴，
解得；
綜上所述，線段的長(zhǎng)度為或．
23. 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于它的橫坐標(biāo)的三倍，則稱該點(diǎn)為“縱三倍點(diǎn)”．例如都是“縱三倍點(diǎn)”．
（1）下列函數(shù)圖象上只有一個(gè)“縱三倍點(diǎn)”的是______；（填序號(hào)）
①；②；③．
（2）已知拋物線（均為常數(shù)）與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，且該交點(diǎn)是“縱三倍點(diǎn)”，求拋物線解析式；
（3）若拋物線（是常數(shù)，）的圖象上有且只有一個(gè)“縱三倍點(diǎn)”，令，是否存在一個(gè)常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）①③ （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“縱三倍點(diǎn)”的定義逐項(xiàng)判斷即可；
（2）根據(jù)定義可得“縱三倍點(diǎn)”為，代入得出①，聯(lián)立根據(jù)題意得出②，聯(lián)立①②，即可求解；
（3）聯(lián)立 ，依題意得出得出 ．分三種情況：當(dāng)，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，求解即可
【小問(wèn)1詳解】
解：①聯(lián)立，解得：，
∴一次函數(shù)的圖象上的“縱三倍點(diǎn)”為，故①符合題意；
③聯(lián)立，即，
解得：
故②不合題意；
④聯(lián)立，解得：，
∴二次函數(shù)的圖象上只有一個(gè)“縱三倍點(diǎn)”，故③正確；
綜上分析可知，正確的是①③．
故答案為：①③．
【小問(wèn)2詳解】
解：
解得：
依題意經(jīng)過(guò)，則①
聯(lián)立
∴
∵拋物線（均為常數(shù)）與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴②
聯(lián)立①②得
解得：
∴拋物線解析式為；
【小問(wèn)3詳解】
解：聯(lián)立
即
依題意，，
∴
∴，
當(dāng)，即時(shí)，在處，w有最小值，
∴，解得：（舍去），（舍去），
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，w有最小值1，
∴存在常數(shù)，使得時(shí)，w的最小值恰好等于t，符合題意；
當(dāng)時(shí)，在處，w有最小值t，
∴，解得：（舍去），，
綜上所述：或
【點(diǎn)睛】本題主要考查了先定義運(yùn)算，一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是理解“縱三倍點(diǎn)”的定義，任意的一個(gè)“縱三倍點(diǎn)”一定在正比例函數(shù)的圖象上．
問(wèn)題
鵝卵石的像到水面的距離
工具
紙、筆、計(jì)算器、測(cè)角儀等
圖形
說(shuō)明
根據(jù)實(shí)際問(wèn)題畫(huà)出示意圖（如上圖），鵝卵石在C處，其像在G處，泳池深為，且，于點(diǎn)N，于點(diǎn)B，于點(diǎn)H，點(diǎn)G在上，A，B，G三點(diǎn)共線，通過(guò)查閱資料獲得．
數(shù)據(jù)
，．
問(wèn)題
鵝卵石的像到水面的距離
工具
紙、筆、計(jì)算器、測(cè)角儀等
圖形
說(shuō)明
根據(jù)實(shí)際問(wèn)題畫(huà)出示意圖（如上圖），鵝卵石在C處，其像在G處，泳池深為，且，于點(diǎn)N，于點(diǎn)B，于點(diǎn)H，點(diǎn)G在上，A，B，G三點(diǎn)共線，通過(guò)查閱資料獲得．
數(shù)據(jù)
，．

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