新高考數(shù)學一輪專項（解三角形）訓練專題二 三角形的三線兩圓及面積問題（2份，原卷版+解析版）

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即：如圖，在中，為中點，則．

證明 在中，，在中，．
．
另外已知兩邊及其夾角也可表述為：．
證明 由，，
．
二．角平分線
角平分線定理：如圖，在中，是的平分線，則．
證法1 在中，，在中，，．
證法2 該結(jié)論可以由兩三角形面積之比得證，即．
三．高
高的性質(zhì)：分別為邊上的高，則
求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度．
四．外接圓
過三角形三個頂點的圓叫三角形的外接圓．其圓心叫做三角形的外心．
外接圓半徑的計算：R＝eq \f(a, 2sinA)＝eq \f(b, 2sinB)＝eq \f(c, 2sinC)．
外接圓半徑與三角形面積的關(guān)系：S△ABC＝eq \f(abc,4R)＝(R為△ABC外接圓半徑)．

五．內(nèi)切圓
與三角形三邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓．其圓心叫做三角形的內(nèi)心．
內(nèi)切圓半徑與三角形面積的關(guān)系：S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r為△ABC內(nèi)切圓半徑)，并可由此計算r．
考點一 三角形的三線兩圓問題
【例題選講】
[例1] (1)△ABC中，AC＝eq \r(7)，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(3\r(3),2) C．eq \f(\r(3)＋\r(6),2) D．eq \f(\r(3)＋\r(39),4)
答案 B 解析 設(shè)AB＝a，則由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·csB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(負值舍去)．∴BC邊上的高為AB·sinB＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)．
(2)在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC邊的中線AD＝eq \f(7,2)，則BC＝________．
答案 9 解析 如圖所示，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，EC．因為AD是BC邊上的中線，所以AE與BC互相平分，所以四邊形ACEB是平行四邊形，所以BE＝AC＝7．又AB＝4，AE＝2AD＝7，所以在△ABE中，由余弦定理得，AE2＝49＝AB2＋BE2－2AB·BE·cs∠ABE＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠ABE．在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs(π－∠ABE)，∴49＋BC2＝2(AB2＋AC2)＝2(16＋49)，∴BC2＝81，∴BC＝9．
(3)在△ABC中，B＝120°，AB＝eq \r(2)，A的角平分線AD＝eq \r(3)，則AC＝________．
答案 eq \r(6) 解析 如圖，在△ABD中，由正弦定理，得eq \f(AD,sin B)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，∴sin∠ADB＝eq \f(\r(2),2).
由題意知0°C．因為∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADBc，所以B>C．又B＋C＝120°，所以B>60°>∠BAD，所以AD>BD＝eq \r(7)，所以AD＝3eq \r(3)，所以cs ∠ADB＝eq \f(DA2＋DB2－AB2,2DA·DB)＝eq \f(27＋7－16,2×3\r(3)×\r(7))＝eq \f(\r(21),7)．故選B．
10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知A＝eq \f(π,3)，b＝1，△ABC的外接圓半徑為1，則
△ABC的面積S＝________．
10．答案 eq \f(\r(3),2) 解析 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝2R，得a＝eq \r(3)，sinB＝eq \f(1,2)，∵a>b，∴A>B，∴B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,2)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×1＝eq \f(\r(3),2)．
11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，則△ABC的外接圓
直徑為________．
11．答案 5eq \r(2) 解析 ∵S△ABC＝eq \f(1,2)ac·sin B＝eq \f(1,2)c·sin 45°＝eq \f(\r(2),4)c＝2，∴c＝4eq \r(2)，∴b2＝a2＋c2－2accs 45°
＝25，∴b＝5，∴△ABC的外接圓直徑為eq \f(b,sin B)＝5eq \r(2)．
12．△ABC的兩邊長分別為2，3，其夾角的余弦值為eq \f(1,3)，則其外接圓的直徑為________．
12．答案 eq \f(9\r(2),4) 解析 設(shè)另一條邊的邊長為x，則x2＝22＋32－2×2×3×eq \f(1,3)，∴x2＝9，∴x＝3．設(shè)csθ
＝eq \f(1,3)，則sin θ＝eq \f(2\r(2),3)，∴2R＝eq \f(3,sin θ)＝eq \f(3,\f(2\r(2),3))＝eq \f(9\r(2),4)．
13．已知三角形兩邊長分別為1和eq \r(3)，第三邊上的中線長為1，則三角形的外接圓半徑為________．
13．答案 1 解析 如圖，AB＝1，BD＝1，BC＝eq \r(3)，設(shè)AD＝DC＝x，在△ABD中，cs∠ADB＝eq \f(x2＋1－1,2x)
＝eq \f(x,2)，在△BDC中，cs∠BDC＝eq \f(x2＋1－3,2x)＝eq \f(x2－2,2x)，∵∠ADB與∠BDC互補，∴cs∠ADB＝－cs∠BDC，∴eq \f(x,2)＝－eq \f(x2－2,2x)，∴x＝1，∴∠A＝60°，由eq \f(\r(3),sin 60°)＝2R，得R＝1．
14．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若csC＝eq \f(2\r(2),3)，bcsA＋acsB＝2，則△ABC的外接
圓面積為( )
A．4π B．8π C．9π D．36π
14．答案 C 解析 由題意及正弦定理得2Rsin Bcs A＋2Rsin Acs B＝2Rsin(A＋B)＝2(R為△ABC的外
接圓半徑)．即2Rsin C＝2．又cs C＝eq \f(2\r(2),3)及C∈(0，π)，知sin C＝eq \f(1,3)．∴2R＝eq \f(2,sin C)＝6，R＝3．故△ABC外接圓面積S＝πR2＝9π．
15．已知圓的半徑為4，a，b，c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16eq \r(2)，則三角形的面積為________．
15．答案 eq \r(2) 解析 ∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R＝8，∴sin C＝eq \f(c,8)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(abc,16)＝eq \f(16\r(2),16)＝eq \r(2)
16．如圖所示，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中AB＝3，AD＝5，BD＝7，∠BDC＝45°，則BC＝________．
16．答案 eq \f(7\r(6),3) 解析 cs A＝eq \f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq \f(1,2)，∴A＝120°，∴C＝60°．從而eq \f(BC,sin 45°)＝eq \f(7,sin 60°)，∴BC＝
eq \f(7sin 45°,sin 60°)＝eq \f(7\r(2),\r(3))＝eq \f(7\r(6),3)．
17．在外接圓半徑為eq \f(1,2)的△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c
＋b)sin C，則b＋c的最大值是( )
A．1 B．eq \f(1,2) C．3 D．eq \f(\r(3),2)
17．答案 A 解析 根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，又a2＝b2＋c2－2bccs
A，所以cs A＝－eq \f(1,2)，A＝120°．因為△ABC外接圓半徑為eq \f(1,2)，所以由正弦定理得b＋c＝sin B·2R＋sin C·2R＝sin B＋sin(60°－B)＝eq \f(1,2)sin B＋eq \f(\r(3),2)cs B＝sin(B＋60°)，故當B＝30°時，b＋c取得最大值1．
18．在△ABC中，a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且BC邊上的高為eq \f(\r(3),6)a，則eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)取得最大值
時，內(nèi)角A的值為( )
A．eq \f(π,2) B．eq \f(π,6) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(π,3)
18．答案 D 解析 利用等面積法可得，eq \f(1,2)·a·eq \f(\r(3),6)a＝eq \f(1,2)·b·c·sinA，整理得a2＝2eq \r(3)bcsinA．∴eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)＝eq \f(c2＋b2,bc)
＝eq \f(a2＋2bccs A,bc)＝2eq \r(3)sinA＋2csA＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))，當A＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)時，eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)取得最大值，此時A＝eq \f(π,3)．
考點二 計算三角形的面積
【方法總結(jié)】
三角形面積問題的題型及解題策略
三角形的面積是與解三角形息息相關(guān)的內(nèi)容，經(jīng)常出現(xiàn)在高考題中，難度不大．解題的前提條件是熟練掌握三角形面積公式，具體的題型及解題策略為：
(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有關(guān)元素之后，直接求三角形的面積，或求出兩邊之積及夾角正弦，再求解．
(2)把面積作為已知條件之一，與正弦定理、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他各量．面積公式中涉及面積、兩邊及兩邊夾角正弦四個量，結(jié)合已知條件列方程求解．
【例題選講】
[例2](1)(2014·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，則△ABC的面積等于________．
答案 2eq \r(3) 解析 在△ABC中，由正弦定理得eq \f(2\r(3),sin60°)＝eq \f(4,sinB)，解得sinB＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×AB×2eq \r(3)＝eq \f(1,2)×eq \r(42－?2\r(3)?2)×2eq \r(3)＝2eq \r(3)．
(2)(2019·全國Ⅱ)△ABC的內(nèi)角內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，則△BDC的面積是________．
答案 解析 由余弦定理得，所以，即，解得（舍去），所以，．
(3)(2018·全國Ⅰ)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為__________．
答案 eq \f(2\r(3),3) 解析 已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC?2sinBsinC＝4sinA·sinBsinC，所以sinA＝eq \f(1,2)，由b2＋c2－a2＝8>0知A為銳角，所以cs A＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(\r(3),2)＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(4,bc)，所以bc＝eq \f(8,\r(3))＝eq \f(8\r(3),3)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3)．
(4)(2017·浙江)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2．點D為AB延長線上一點，BD＝2，連接CD，則△BDC的面積是________，cs∠BDC＝________．
答案 eq \f(\r(15),2) eq \f(\r(10),4) 解析 在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(42＋22－42,2×4×2)＝eq \f(1,4)，則sin∠ABC＝sin∠CBD＝eq \f(\r(15),4)，所以S△BDC＝eq \f(1,2)BD·BCsin∠CBD＝eq \f(\r(15),2)．因為BD＝BC＝2，所以∠BDC＝eq \f(1,2)∠ABC，則cs∠BDC＝eq \r(\f(cs∠ABC＋1,2))＝eq \f(\r(10),4)．
(5)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若csA＝eq \f(4,5)，csC＝eq \f(5,13)，a＝1，則△ABC的面積S＝________．
答案 eq \f(126,169) 解析 在△ABC中，由csA＝eq \f(4,5)，csC＝eq \f(5,13)，可得sinA＝eq \f(3,5)，sinC＝eq \f(12,13)，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcsC＋csA·sinC＝eq \f(63,65)，又a＝1，由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13)．所以S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×1×eq \f(21,13)×eq \f(12,13)＝eq \f(126,169)．
(6)在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcsC＝3acsB－ccsB，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2，則△ABC的面積為________．
答案 2eq \r(2) 解析 因為bcsC＝3acsB－ccsB，由正弦定理得sinBcsC＝3sinAcsB－sinCcsB，即sinBcsC＋sinCcsB＝3sinAcsB，所以sin(B＋C)＝3sinAcsB．又sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，所以sinA＝3sinAcsB，又sinA≠0，解得csB＝eq \f(1,3)，所以sinB＝eq \r(1－cs2B)＝eq \r(1－\f(1,9))＝eq \f(2\r(2),3)．由eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2，可得cacsB＝2，解得ac＝6．所以S△ABC＝eq \f(1,2)ac·sinB＝eq \f(1,2)·6·eq \f(2\r(2),3)＝2eq \r(2)．
(7)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin2A，且c＝eq \r(6)，C＝eq \f(π,3)，則△ABC的面積是( )
A．eq \r(3) B．3eq \r(3) C．eq \r(3)或1 D．eq \r(3)或3eq \r(3)
答案 A 解析 ∵在△ABC中，C＝eq \f(π,3)，∴B＝eq \f(2π,3)－A，B－A＝eq \f(2π,3)－2A，∵sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin2A，∴sin C＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2A))＝2sin 2A，即sin C＋eq \f(\r(3),2)cs 2A＋eq \f(1,2)sin 2A＝2sin 2A，整理得eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6)))＝sinC＝eq \f(\r(3),2)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)．又A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，∴2A－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)，解得A＝eq \f(π,6)或eq \f(π,2)．當A＝eq \f(π,6)時，B＝eq \f(π,2)，tanC＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),a)＝eq \r(3)，解得a＝eq \r(2)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \r(3)；當A＝eq \f(π,2)時，B＝eq \f(π,6)，tanC＝eq \f(c,b)＝eq \f(\r(6),b)＝eq \r(3)，解得b＝eq \r(2)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)bc＝eq \r(3)．綜上，△ABC的面積是eq \r(3)．
(8)已知四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，試求四邊形ABCD的面積．
答案 8eq \r(3) 解析 連接AC，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcs D＝62＋42－2×4×6cs 60°＝28，在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，可得cs B＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(22＋42－28,2×2×4)＝－eq \f(1,2)．又0°